2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市黑龙江实验中学高一上学期第二次阶段考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市黑龙江实验中学高一上学期第二次阶段考试数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】可解出集合B，然后进行交集的运算即可.
【详解】因为集合，
.
故选：B.
2．若角是第二象限角，则是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角
C．第一或第三象限角D．第二或第四象限角
【答案】C
【分析】根据第二象限角的范围确定半角的范围即可.
【详解】由题意可知，
当为偶数时，终边为第一象限角平分线，终边为纵轴正半轴，
当为奇数时，终边为第三象限角平分线，终边为纵轴负半轴，
即的终边落在直线及轴之间，即第一或第三象限.
故选：C.
3．已知函数在区间上是增函数，则的范围是
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】试题分析：因为函数在区间上是增函数，而其函数的 对称轴为x=,那么可知，区间，故有，，选A.
【解析】本试题主要考查了一元二次函数的单调性的运用．
点评：解决该试题的关键是理解题目中给出的区间是二次函数单调增区间的子区间的关系即可，那么求解对称轴，得到不等式．
4．幂函数在上是减函数，且，则m可能等于（ ）
A．0B．1C．2D．0或1
【答案】B
【分析】利用幂函数的单调性求得，再进行检验即可得解.
【详解】由于幂函数在上递减，所以，则，
由于，所以，
当时，为奇函数，不满足，舍去；
当时，为偶函数，满足；
综上，.
故选：B.
5．要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移1个单位B．向右平移1个单位
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
【答案】A
【分析】可将函数变形为，即可得出答案.
【详解】因为，
所以，只需将函数向左平移1个单位，即可得到函数的图象.
故选：A.
6．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用对数函数和指数函数的性质结合中间值比较即可.
【详解】因为，而，
所以．因为，所以．故．
故选：C.
7．设函数，命题“，”是假命题，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由命题“”是假命题可得其否定为真命题，结合不等式恒成立问题的解决方法可求的取值范围.
【详解】因为命题“”是假命题，
所以是真命题，
又可化为，即，
当时，，
所以在上恒成立，
所以其中,，
当时有最小值为，此时有最大值为，
所以，故实数的取值范围是
故选：C
8．已知是奇函数，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据是奇函数求出，得到，判断出的单调性，再利用单调性和奇偶性可得恒成立，由可得答案.
【详解】∵是奇函数，∴即恒成立，
即，
则，解得，又∵，∴，则，
所以，
，是奇函数，
因为在是单调递减函数，在是单调递增函数，由复合函数的单调性性判断得，函数在上单调递减，又为奇函数，所以在上单调递减；由恒成立得，
可得恒成立，
则，即恒成立，
所以恒成立，解得.
故选：B.
二、多选题
9．给出以下命题，其中真命题有（ ）
A．若函数的定义域为，则函数的定义域为
B．若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的取值集合为
C．若在上是减函数，则
D．函数，若，，则的最小值为4
【答案】ACD
【分析】根据对数函数与指数函数的性质及抽象函数定义域的求法可判定A，利用充分必要条件的定义可判定B，利用复合函数的单调性可判定C，利用对数函数的图像与性质及基本不等式可判定D.
【详解】对于A项，易知，故A正确；
对于B项，由题意可知{或}，即或，
故B错误；
对于C项，易知对称轴为，
根据复合函数及对数函数、二次函数的单调性可知：，
故C正确；
对于D项，因为，，
由对数函数的图像与性质可知，
所以，当且仅当时取得等号，故D正确.
故选：ACD
10．下列四个命题是真命题的是（ ）
A．若在上有两个零点，则m的取值范围为
B．函数（其中，且）的图像过定点
C．函数的增区间为
D．已知在上是增函数，则实数a的取值范围是
【答案】ABD
【分析】根据根分布可判断A的正误，根据解析式的特点可判断B的正误，根据同增异减可判断C的正误，根据分段函数各段上的单调性结合分段处的高低可判断D的正误.
【详解】对于A，因为在上有两个零点，
所以，解得，故A正确.
对于B，，故其图象过定点，故B正确.
对于C，由可得，所以或，
在上，为减函数，而在上为增函数，
故在为减函数，故C错误.
对于D，因为在上是增函数，
所以，故，故D正确.
故选：ABD.
11．下列说法正确的有（ ）
A．若，则的最大值是
B．若x，y，z都是正数，且，则的最小值是3
C．若，，，则的最小值是2
D．是定义在实数集上的偶函数，且在上单调递增，，则不等式的解集为
【答案】AB
【分析】对于A，凑分母，结合基本不等式，可得答案；对于B，根据基本不等式，结合“1”的妙用，可得答案；对于C，根据基本不等式的变式，整理出关于所求整式的二次不等式，可得答案；对于D，根据题意可得函数在上单调递减，从而可得不等式等价于或，从而可得出答案
【详解】对于A，因为，所以，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，故的最大值为，故A正确；
对于B，因为x，y，z都是正数，且，
所以，，，
所以，
所以，
当且仅当，即，即时等号成立，
所以的最小值为3，故B正确；
对于C，因为，，所以，即（当且仅当时等号成立），
因为，所以，所以，
所以，解得（舍去）或，
当且仅当时等号成立，所以的最小值为4，故C错误；
对于D，因为函数是偶函数，且在上单调递增，所以函数在上单调递减，
又因，所以，
不等式等价于或，
即或，
所以或，
即不等式的解集为，故D错误
故选：AB
12．已知函数的定义域为，对于任意的实数，都有.且当时，.则下列结论正确的是（ ）
A．
B．对于任意的，有
C．函数在上单调递增
D．若，则不等式的解集为
【答案】ABD
【分析】令，，结合可求得，知A正确；令，由可推导证得B正确；令，由可知C错误；将所求不等式转化为，结合单调性可得自变量大小关系，解一元二次不等式可知D正确.
【详解】对于A，令，，则；
由时，得：，，A正确；
对于B，令，则；
当时，，，，
对于任意，，B正确；
对于C，设，
；
，，即，又，
，在上单调递减，C错误；
对于D，，，
则可化为：，
又在上单调递减，，即，
解得：，即不等式的解集为，D正确.
故选：ABD.
三、填空题
13．给出下列说法：
（1）弧度角与实数之间建立了一一对应；
（2）终边相同的角必相等；
（3）锐角必是第一象限角；
（4）小于的角是锐角；
（5）第二象限的角必大于第一象限角，
其中正确的是 (把所有正确说法的序号都填上).
【答案】（1）（3）
【分析】根据弧度的意义、终边相同的角、锐角、象限角的意义可判断.
【详解】根据弧度的意义，可知角的弧度数是与实数一一对应的，（1）正确；
终边相同的角有无数个，它们的关系可能相等，也可能不等，（2）不正确；
锐角一定是第一象限角，但第一象限角不一定是锐角，（3）正确；
小于的角可能是负角，（4）不正确；
象限角不能比较大小，（5）不正确.
∴（1）（3）是正确的.
故答案为：（1）（3）
14．小明在学习在二分法后，利用二分法研究方程在（1，3）上的近似解，经过两次二分后，可确定近似解所在的区间为 .
【答案】
【分析】设，计算，，，，得到答案.
【详解】设，则，，
，；，，
故近似解所在的区间为.
故答案为：
15．已知函数有且仅有2个零点，则的范围是 ．
【答案】或
【分析】根据函数的定义分类讨论，时，由函数的单调性，零点存在定理得其有一个零点，然后由在上只有一个零点得结论，注意分类讨论．
【详解】设，在上递增，由，可得在上有一个零点，只需函数，在有一个零点即可，时，，此时有一个零点，符合题意，若，只需即可，可得，的取值范围是或，
故答案为：或.
16．已知函数，若关于的方程有六个不相等的实数根，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】作出的图象，将原方程等价转化为或，通过图象易得只有两个解，故的图象和的图象有四个交点即可，通过图象可得的范围.
【详解】作出的图象，如图所示：
由
得，
所以或.
因为只有两个零点，所以有四个零点
作函数和函数的图象，
可知当时，的图象和的图象有四个交点，解得，
故的取值范围是，
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了根的存在性及根的个数的判断，转化为求函数图象交点的个数，并用图象法进行解答是本题的关键，考查数形结合思想，属于中档题．
四、解答题
17．（1）计算：；
（2）已知，求的值．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】（1）根据指数幂的运算化简求值，即可求得答案；
（2）根据对数的运算法则化简求值，可得的值，再结合指数的运算即可求得答案.
【详解】（1）原式．
（2），
所以
18．已知函数，其中
(1)解关于x的不等式；
(2)若的解集为，求的最小值.
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）不等式可化为，分类讨论求解即可；
（2）根据不等式的解集可得，再由“1”的技巧及均值不等式求解.
【详解】（1）由可得，
即
①当时，，解得，
②当时，，解得，
③当时，，解得，
综上，时，不等式解集，时，不等式解集，时，不等式解集.
（2）由可得，
由题意，故，
，
当且仅当，即时等号成立.
即的最小值为.
19．研究发现，放射性元素在一定时间内会通过核衰变过程转换成其他元素，放射性水平随着时间的推移而呈指数级下降，已知放射性元素在t时刻的放射性水平满足关系式，其中是初始水平，k为常数．
(1)若放射性元素X在时的放射性水平是时的，求k的值；
(2)设表示放射性元素的放射速率，当放射速率低于时，该元素的放射性水平趋于“绝零”，求使得（1）中放射性元素X的放射性水平趋于“绝零”的最小整数t．（参考数据：）
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由题可列出方程，利用指数式对数式互化即得；
（2）由题可得，进而可得，即得.
【详解】（1）由题可知，，．
因为，所以，
所以即．
（2）由（1）可知，，
由，得，
即．
因为，
所以，
所以所求的最小整数．
20．已知
(1)解上述不等式；
(2)在（1）的条件下，求函数的最大值和最小值及对应的的值.
【答案】(1)
(2)函数的最大值为，此时对应的，函数的最小值为，此时对应的.
【分析】(1)根据对数函数的单调性和定义域列出不等式组，解之即可求解；
(2) 令，将函数换成关于的二次函数，根据二次函数的性质，求其在的最值即可求解.
【详解】（1）由题意得，解得：，
所以不等式的解集为.
（2）因为，
令，由（1）知：，则，
则函数可化为，
所以当，即时，函数取最小值；
当，即时，函数取最大值.
故函数的最大值为，此时对应的，函数的最小值为，此时对应的.
21．设函数（且）的图像经过点，记．
(1)求A；
(2)当时，求函数的最值．
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）由题意可解得，然后根据对数函数的单调性求解不等式，即可得到结果；
（2）根据题意，由换元法，令，，然后根据二次函数的性质即可求得最值.
【详解】（1）由函数（且）的图像经过点可得，解得，
故，且定义域为{x|x>0}，
由可得，
所以，即，
由，解得，
故．
（2），，
令，，
函数等价转换为，对称轴为．
所以在单调递减，在单调递增，故．
又，，所以．
22．已知.
(1)求函数的表达式，并判断其奇偶性；
(2)判断并证明函数的单调性；
(3)关于的不等式在上有解，求实数的取值范围.
【答案】(1)，奇函数；
(2)证明见详解；
(3)
【分析】（1）利用换元法求解析式，利用奇偶性定义判定即可；
（2）利用定义法证明单调性即可；
（3）利用（2）的结论可得取值范围，观察不等式利用整体思想分离参数计算即可.
【详解】（1）令，所以，
显然，即为奇函数；
（2）设，
则，
易知，即在R上单调递增；
（3）易知①，
由（2）知在R上单调递增，则，
即①式可化为：在上有解，
欲满足题意只需即可，
显然，即.