2023-2024学年湖南省长郡中学名校联考联合体高一上学期第二次联考数学（A卷）含答案

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时量：120分钟 满分：150分
考试范围：必修第一册第1章一第5章5.4
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1. 已知集合，且，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用元素与集合的关系，列式求解即得.
【详解】依题意，，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：D
2. 已知幂函数的图象经过点，则等于（ ）
A. 2B. C. 1D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据幂函数的定义得到，代入点的坐标求出，从而得到答案.
【详解】由题意得，且，解得，
所以.
故选：B
3. 若，且，则角α是（ ）
A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角
【答案】A
【解析】
【分析】先由条件判断出与的符号，进而判断角的终边所在的象限.
【详解】，
又，，
因此角为第一象限角.
故选：A.
4. 下列命题正确的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】利用全称量词命题、存在量词命题的真假判断方法，逐项判断即得.
【详解】对于A，当时，，A错误；
对于B，当时，，B正确；
对于C，当时，，当时，，C错误；
对于D，，，D错误.
故选：B
5. 已知角的顶点为平面直角坐标系的原点，始边与x轴非负半轴重合，若角的终边所在直线的方程为，则的值为（ ）
A. B. C. 3D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】利用三角函数的定义即可得解.
【详解】因为角的终边所在直线的方程为，
在角的终边取一点，则，
所以，则.
故选：C.
6. 已知条件P：，条件Q：，则P是Q的（）
A 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】利用对数函数与指数函数的性质，结合充分必要条件的定义即可得解.
【详解】当条件P：成立时，
因为为上增函数，又，所以，
又为上减函数，所以成立，所以是的充分条件；
当时，取，满足条件，
但此时无意义，所以不是的必要条件，
故是的充分不必要条件.
故选：A.
7. 计算（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用指数运算及根式运算计算即得.
【详解】.
故选：C
8. 已知，，，则实数a，b，c的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定的各个等式，分别构造函数，利用零点存在性定理确定所在区间即可得解.
【详解】依题意，设，函数与互为反函数，
其图象关于直线对称，且的图象在直线上方，的图象在直线下方，
因此当时，；当时，函数递增，递减，则递增，
显然，
即有，根据零点存在性定理，得，
设，函数在R上递减，在R上递增，则在R上递减，
显然，即有，根据零点存在性定理，得，
令，当时，是奇函数，其图象如图，
观察图象知，，即当时，，
当时，，
显然，，
即有，根据零点存在性定理，得，
所以.
故选：B
【点睛】思路点睛：某些数或式大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，构造函数，分析并运用函数的单调性解题，它能起到化难为易、化繁为简的作用.
二.选择题：本题共4小题，每小题5分，共20.分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列命题正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】BD
【解析】
【分析】根据不等式的性质分析AD，利用幂函数的性质分析B，利用特殊值分析C，从而得解.
【详解】对于A，因为，所以，
所以，即，故A错误；
对于B，因为，函数在上单调递增，所以，故B正确；
对于，当时，，故C错误；
对于D，因为，所以，
所以，所以，故D正确.
故选：BD.
10. 下列结论正确的是（ ）
A. 函数的最小正周期是
B. 函数是奇函数
C. 函数在区间单调递减
D. 若直线与函数相交于两点P，，则|PQ|的最小值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】求出最小正周期判断A；利用奇偶性定义判断B；由余弦函数单调性判断C；由正切函数的周期列式计算判断D.
【详解】函数的最小正周期，A错误；
由，得函数是奇函数，又其定义域为，B正确；
由，得，则函数在区间上单调递减，C正确；
由直线与函数相交于两点，
得，则的最小值为，D正确.
故选：BCD
11. 已知，，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用基本不等式判断AB，利用基本不等式“1”的妙用判断C，由基本不等式结合对数运算法则判断D．
【详解】对于A，因为，，
所以，则，
当且仅当，即时，等号成立，故A正确；
对于，因为，所以，
当，即时，等号成立，故B正确；
对于C，由，得，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，故C错误；
对于D，因为，所以，
由，得，
所以，
则，
当且仅当，即时，等号成立，故D正确.
故选：ABD.
12. 已知函数是定义在实数集上的奇函数，且，当时，的值域为，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 是周期为2的周期函数
C. 当时，的值域
D. 当时，的值域为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据周期性和奇函数可判断AB，由奇函数的对称性可判断C，结合周期性以及奇函数的对称性可判断D.
【详解】对于AB，因为是定义在实数集上的奇函数，且，
所以，
则是周期为2的周期函数，，故A错误，B正确；
对于C，令，则的定义域为，
又，所以是奇函数，
当时，的值域为，
故当时，的值域为，
进而可得时，的值域为，故C正确，
对于D，当时，，则的值域为，
即的值域为，
又，故值域为，
又时，的值域为，
因此时，的值域为，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知函数是定义在上的偶函数，则等于__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用分段函数的性质与偶函数的性质即可得解.
【详解】因为是定义在上的偶函数，
所以.
故答案为：.
14. 化简：___________.
【答案】4
【解析】
【分析】利用对数运算及换底公式计算即得.
【详解】.
故答案为：4
15. 已知函数，若在R上是增函数，则实数a的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用分段函数的单调性，列出不等式组并求解即得.
【详解】由函数在R上是增函数，得，解得，
所以实数a的取值范围是.
故答案为：
16. 已知函数（），.记表示，中的最小者，设函数（），若关于x的方程有3个不同的实数根，则实数m的取值范围为___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据给定函数，按分类讨论，结合函数图象求解即得.
【详解】当时，，则，则在上没有实数解；
当时，，
若，则，，则不是的实数解，
若，则，因此，则是的实数解；
当时，，则只需讨论在区间的实数解的个数，
由，得，即问题等价于与图象的交点个数，
由于，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
结合在区间上的图象知，当时，有3个实数解，
所以实数取值范围为.
故答案为：
【点睛】思路点睛：涉及给定函数零点个数求参数范围问题，可以通过分离参数，等价转化为直线与函数图象交点个数，数形结合推理作答.
四.解答题；本题共6小题.共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 己知.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用给定等式，结合诱导公式化简即可求得.
（2）由（1）的结论，利用齐次式法计算即得.
【小问1详解】
由，
得，即，
所以.
【小问2详解】
由（1）知，，
所以
18. 已知全集为R，集合，集合.
（1）当时，求；
（2）若，求实数取值范围.
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）解分式不等式求出，根据补集和交集的概念求出答案；
（2）分和两种情况，得到不等式，求出答案.
【小问1详解】
，
时，，
故或，或；
【小问2详解】
因为，
当时，，解得，
当时，需满足，解得，
综上，实数的取值范围是.
19. 已知二次函数满足：，不等式的解集为，函数，.
（1）求函数解析式；
（2）证明；函数为单调递增函数.并求函数的最大值.
【答案】（1）；
（2）证明见解析，.
【解析】
【分析】（1）设出二次函数解析式，再结合给定的解集列出方程求解即得.
（2）求出函数，利用函数单调性定义推理即得，由此求出最大值.
【小问1详解】
设，由，得，则，
又不等式的解集为，则1，2是方程的两根，且，
因此，解得，
所以函数解析式为.
【小问2详解】
由（1）知，
，且，
显然，
而，则，于是，即，
所以函数在区间单调递增，.
20. 1903年前苏联（俄罗斯）航天之父齐奥尔科夫斯基推导出火箭的理想速度公式为：，其中为火箭的初始质量，为火箭燃烧完毕熄火后的剩余质量，称为火箭的质量比，为火箭的发动机的喷气速度.100多年来，所有的大小火箭都遵循齐奥尔科夫斯基公式的基本规律.已知某型号火箭的发动机的喷气速度为第一宇宙速度7900m/s.
（1）当该型号火箭的质量比为10时，求该型号火箭的理想速度；
（2）经过材料更新和技术改进后，某型号火箭的发动机的喷气速度提高到了原来的2倍，质量比缩小为原来的，若要使火箭的理想速度至少增加3950m/s.求在材料更新和技术改进前质量比的最小整数值，参考数据：，，.
【答案】（1）；
（2）7.
【解析】
【分析】（1）将给定数据代入公式计算即得.
（2）利用给定的信息，列出不等式，再解指对数不等式即得.
【小问1详解】
依题意，.
【小问2详解】
技术改进前的理想速度，
技术改进后的理想速度，
要使火箭理想速度至少增加，
则，即，
因此，
即，所以，
所以在材料更新和技术改进前质量比的最小整数值为7.
21. 已知函数，.
（1）当时，解不等式；
（2）设，若对任意，当时.都有，求正实数的取值范围.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用对数函数的单调性解不等式即得.
（2）探讨函数的单调性，求出在上的最值，再借助恒成立的不等式求解即得.
【小问1详解】
由，得，
由，得，且，
于是，解得，即，
所以不等式的解集为.
【小问2详解】
由是增函数，在上单调递减，得函数在上为减函数，
因此，
因为当，满足，则只需，
则，即对任意成立，
由，得函数的图象对称轴，
于是函数在上单调递增，则，解得，
所以的取值范围为.
【点睛】结论点睛：函数的定义区间为，
(1)若，总有成立，则；
(2)若，总有成立，则；
(3)若，使得成立，则；
(4)若，使得成立，则.
22. 已知定义在上的函数是偶函数，定义在上的函数是奇函数，且满足.
（1）求函数与的解析式；
（2）设函数，若，，求实数m取值的集合.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）利用奇偶函数的性质，结合方程组法即可得解；
（2）利用换元法与基本不等式，将转化为二次函数，从而分类讨论其最值即可得解.
【小问1详解】
因为为偶函数，所以，
又因为为奇函数，所以，
因为，
所以，即，
联立，解得，
所以，.
【小问2详解】
，
所以，
令，当，即时，等号成立，
设，其中，则开口向上，对称轴为，
当时，函数在上为減函数，在上为增函数，
则，解得；
当时，在上单调递增，
则，解得，则；
综上，，故实数取值的集合为.