2023-2024学年江苏省盐城市东台市高一上学期阶段联测数学试题含答案

这是一份2023-2024学年江苏省盐城市东台市高一上学期阶段联测数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知全集，集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求得，再利用交集运算求解.
【详解】解：由已知得，
所以．
故选：B
2．已知函数，则的值等于（ ）
A．11B．2C．5D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，令求出x即可计算作答.
【详解】函数，令，得，
所以.
故选：C
3．已知，，，则a，b，c的大小关系为
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】分析：利用对数函数与指数函数的性质，将a，b，c与0和1比较即可.
详解：，
；
.
故.
故选：C.
点睛：对数函数值大小的比较一般有三种方法：①单调性法，在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底．②中间值过渡法，即寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“0”，“1”或其他特殊值进行“比较传递”．③图象法，根据图象观察得出大小关系．
4．已知p：，那么p的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】判断出的真子集，得到答案.
【详解】因为是的真子集，故是p的一个充分不必要条件，C正确；
ABD选项均不是的真子集，均不合要求.
故选：C
5．下列可能是函数（e是自然对数的底数）的图象的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据函数的定义域和部分区间的函数值确定正确选项.
【详解】函数的定义域为，所以AB选项错误.
当时，，所以D选项错误.
故选：C
【点睛】本小题主要考查函数图象的识别，属于基础题.
6．2023年2月27日，学堂梁子遗址入围2022年度全国十大考古新发现终评项目．该遗址先后发现石制品300多件，已知石制品化石样本中碳14质量N随时间t（单位：年）的衰变规律满足（表示碳14原有的质量）．经过测定，学堂梁子遗址中某件石制品化石样本中的碳14质量约是原来的倍，据此推测该石制品生产的时间距今约（ ）．（参考数据：，）
A．8037年B．8138年C．8237年D．8337年
【答案】B
【分析】由题意，，即，根据对数的运算性质求解即可.
【详解】由题意，，即，
∴，∴，
故选：B.
7．已知幂函数为偶函数，若函数在区间上为单调函数，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】用幂函数和偶函数定义确定，再用二次函数对称轴与单调区间的关系讨论即可.
【详解】因为函数为幂函数，则，得或．
当时，为偶函数，符合题意；
当时，为非奇非偶函数，不合题意，
所以，，
则，对称轴为直线．
①若函数在上为增函数，则，解得；
②若函数在上为减函数，则，解得．
综上所述，实数a的取值范围是
故选：B．
8．已知函数，若关于的方程有8个不等的实数根，则的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】画出函数的图象，利用函数的图象，判断的范围，然后利用二次函数的性质求解的范围．
【详解】解：函数，的图象如图：
关于的方程有8个不等的实数根，必须有两个不相等的实数根且两根位于之间，由函数图象可知，．令，
方程化为：，，
，开口向下，对称轴为：，
可知：的最大值为：，
的最小值为：2．
．
故选：．

【点睛】本题考查函数与方程的应用，函数的零点个数的判断与应用，考查数形结合以及计算能力，属于中档题．
二、多选题
9．下列函数中，既是偶函数又在区间上为增函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【分析】由偶函数排除两个选项，再判断单调性即得.
【详解】函数是非奇非偶函数，A不是；函数是上的奇函数，C不是；
函数、都是R上的偶函数，在上都为增函数，BD是.
故选：BD
10．下列说法正确的是（ ）
A．命题“”的否定是“，使得”
B．若集合中只有一个元素，则
C．关于的不等式的解集，则不等式的解集为
D．“”是“”的充分不必要条件
【答案】CD
【分析】因为命题的否定一定要否定结论，故A错误；B中方程应该对是否为0进行讨论，有两个结果，故B错误；根据一元二次不等式的解法确定C的真假；根据充要条件的判定对D进行判断.
【详解】对A：命题“”的否定是“，使得”，故A错误；
对B：当时，集合中也只有一个元素，故B错误；
对C：因为关于的不等式的解集为，故，不妨设，则由韦达定理可得，，所以不等式，故C正确；
对D：由“，”可得“”，但“”，比如时，“，”就不成立，故D成立.
故选：CD
11．已知，且，则（ ）
A．
B．的最大值为4
C．的最大值为9
D．的最小值为
【答案】AD
【分析】由条件变形后分解因式可判断;利用基本不等式结合解不等式可判断;由条件变形可得，结合的妙用可判断;由，代入，结合一元二次函数的性质可判断
【详解】由，且，
得即，故正确；
因为，当且仅当时，等号成立，
解得，故错误；
由变形得，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，故错误；
由变形得，
故，代入可得
故当时，取得最小值故正确，
故选：
12．对于定义域为的函数，若同时满足下列条件：①在内单调递增或单调递减；②存在区间，使在上的值域为，那么，把称为定义域内的闭函数，下列结论正确的是（ ）
A．函数是闭函数B．函数是闭函数
C．函数是闭函数D．函数是闭函数
【答案】ABD
【分析】分别判断各个选项中函数的单调性，由单调性可确定最值，由值域可构造方程组确定是否存在满足题意的区间，从而得到结论.
【详解】对于A，在上单调递增；当时，，则函数是闭函数，A正确；
对于B，在上单调递减；又，，令，
解得：，，
当时，，则函数是闭函数，B正确；
对于C，在上单调递增，但在内不是增函数，不符合闭函数定义，C错误；
对于D，定义域为，且在上单调递增；
又，，令，
是方程的两个不等实根，整理可求得或，
当时，，则函数是闭函数，D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数新定义问题，解题关键是充分理解闭函数的定义，通过函数单调性得到函数定义域和值域的关系，由此构造方程组可确定的取值，从而确定函数是否满足闭函数定义.
三、填空题
13．已知函数，则= .
【答案】4
【分析】根据解析式，由内而外，逐步计算，即可得结果.
【详解】因为，
所以，
所以，
故答案为：4
【点睛】本题考查求分段函数的值， 属基础题.
14．若不等式对于任意恒成立，则实数k的取值范围为 ．
【答案】
【分析】反解出，即求恒成立.
【详解】不等式对于任意恒成立，
即，设，
则，即实数k的取值范围为.
故答案为：.
15．已知定义域为的奇函数，则的解集为_______．
【答案】
【分析】根据奇函数的性质及定义域的对称性，求得参数a，b的值，求得函数解析式，并判断单调性. 等价于，根据单调性将不等式转化为自变量的大小关系，结合定义域求得解集.
【详解】由题知，，
所以恒成立，即．
又因为奇函数的定义域关于原点对称，
所以，解得，
因此，，
由单调递增，单调递增，
易知函数单调递增，
故等价于
等价于
即，解得．
故答案为：
16．设，.若对于任意，总存在，使得成立，则a的取值范围是 .
【答案】
【分析】首先求出、的值域，由题意可得的值域包含在的值域内，解不等式可求出的取值范围．
【详解】解：，
当时，，
当时，，
由，可得，则，
则．
故的值域为，在上的值域.由条件，只须，∴.
故答案为：
四、解答题
17．（1）化简求值：；
（2）已知，求的值．
【答案】（1）8；（2）7
【分析】（1）根据对数的运算性质，化简求解即可得出答案；
（2）平方根据指数幂的运算性质可得出，再次平方即可得出答案.
【详解】（1）原式
；
（2）由两边平方得，
，
所以，
所以，，
所以，．
18．已知函数的定义域为A，集合，．
(1)求；
(2)若是的充分条件，求实数a的取值范围．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）根据解析式有意义求集合A，解一元二次不等式得集合B，然后根据集合运算可得；
（2）根据集合包含关系列不等式组求解即可.
【详解】（1）由得：，即，
∴，
解得：，即，
∴．
（2）由题意知，
由（1）知：，显然
所以有，解得：；
所以实数a的取值范围为．
19．（1）已知，求函数的最大值；
（2）已知，，且，求的最小值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）变形后利用基本不等式可求得结果；
（2）变形后利用基本不等式可求得结果
【详解】（1）∵，∴，故.
.
∵，∴，
当且仅当，即或(舍)时，等号成立，故当时，.
（2），，，
∴
，
当且仅当，且，即时等号成立，
∴当，时，.
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
20．已知函数．
(1)解关于x的方程；
(2)若不等式对任意恒成立，求实数k的取值范围．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）利用指数函数的性质，直接解方程即可得解；
（2）将问题转化为恒成立，再利用指数函数的性质与二次函数的最值即可得解.
【详解】（1）根据题意得，，即，
解得或舍去，
所以；
（2）不等式对任意恒成立，即恒成立，
当时，有，
所以，
则，
所以实数的取值范围为．
21．设函数是定义在上的奇函数.
(1)求的值，并判断的单调性（不需证明）；
(2)求不等式的解集；
(3)若，且在上的最小值为，求的值.
【答案】(1)，在上为增函数
(2)
(3)
【分析】（1）利用奇函数的性质即可求得，利用指数函数的单调性，结合增函数的性质即可判断的单调性；
（2）利用（1）中结论，将问题转化，从而得解；
（3）先由题意求得，再利用换元法将问题转化为的最小值问题，分类讨论的取值范围，结合二次函数的性质即可得解.
【详解】（1）是定义在上的奇函数，
，即，解得，
此时，其定义域为，
又，
所以是定义在上的奇函数，故，
因为当时，与在上单调递增，
在上为增函数.
（2）因为是奇函数，
所以由，得，
又因为是增函数，所以，解得，
所以不等式的解集为.
（3）因为，所以，解得或（舍去），
所以，
令，因为为增函数，
又，所以，
令，则其开口向上，对称轴为，
当，则时，有最小值为，解得或（舍去）；
当时，在上单调递增，
所以，解得（舍去）；
综上所述，.
22．已知定义在上的函数，且为偶函数．
(1)求的值；
(2)解不等式；
(3)设函数，命题：，使成立．是否存在实数，使命题为真命题？如果存在，求出实数的取值范围；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)或；
(3)存在，.
【分析】（1）根据求解即可；
（2）将代入再化简得，求解即可；
（3）由基本不等式可得，所以将问题转化为，即，再结合二次函数的性质求解即可.
【详解】（1）解：因为为偶函数，且定义域为，所以，
即，
整理得，即得，
所以．
（2）解：因为，即得，
即．
所以，
上不等式等价于，
所以或．
所以或，
所以原不等式的解集为或；
（3）解：因为，所以，
当且仅当，即时，取得最小值，为．
若命题为真命题，则需．
而，
设，因为，所以，
则，
因为的对称轴为，所以
当，即时，最小值为，
所以时满足题意．
当，即时，最小值为，
解得，显然无解．
当，即时，
最小值为，
解得，又，所以．
综合可知，时，命题为真命题，
即得实数的取值范围是．
【点睛】结论点睛：.