2023-2024学年江苏省盐城市盐城中学高一上学期第二次阶段性质量检测数学试题含答案

这是一份2023-2024学年江苏省盐城市盐城中学高一上学期第二次阶段性质量检测数学试题含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解.
【详解】因为可得：
当时，，充分性成立；
当时，，必要性不成立；
所以当，是的充分不必要条件.
故选：A.
2．一个扇形的弧长与面积的数值都是3，则该扇形圆心角的弧度数为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】C
【分析】由扇形的弧长公式和面积公式列方程组求解．
【详解】设扇形的圆心角的弧度数为α，半径为r，则解得
故选：C．
3．某海外实验室在研究某种人类细菌的过程中发现，细菌数量N（单位）与该人类细菌被植入培养的时间t（单位：小时）近似满足函数关系，其中为初始细菌含量．当时间（单位：小时），该细菌数量为（单位），则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用已知数据代入求得参数，再求即可.
【详解】因为，时，该细菌数量为，
故有：，
所以，故，
故选：B．
4．已知，，，则x，y，z的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用对数运算法则以及对数函数单调性可限定出x，y，z的取自范围，即可得出结论.
【详解】根据题意可得，，
利用对数函数单调性可知，即；
又，可得；
而，即；
综上可得.
故选：C
5．若，则α不可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用同角三角函数的平方关系及三角函数在各象限的符号即可求解.
【详解】显然，
因此，从而，
对于A，因为为第四象限角，所以，A可能；
对于B，因为为第二象限角，所以，B不可能；
对于C ，因为为第三象限角，所以，C可能；
对于D，因为为第四象限角，所以，D可能.
故选：B
6．已知实数，满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．不存在
【答案】A
【分析】由题设条件可得，从而利用换底公式的推论可得，代入要求最小值的代数式中，消元，利用均值不等式求最值
【详解】
又，则
当且仅当即时取等号
故选：A
7．已知是定义在R上的奇函数，若对任意，均有．且，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用函数单调性的定义以及函数的单调性和奇偶性综合解抽象函数不等式.
【详解】因为，所以，所以，
设函数，则函数在单调递增，且，
当时，不等式等价于，即，
即，解得，
又因为是定义在R上的奇函数，所以，
所以当时，不等式无解，
因为是定义在R上的奇函数，所以为偶函数，且在单调递减，
当时，不等式等价于，即，
即，解得，
综上不等式的解集为，
故选：D.
8．已知函数满足条件：对于任意的，存在唯一的，使得，当成立时，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题可知时与时函数值域相等，据此可得，从而可根据求得，进而求得.
【详解】设当时，的值域为A，当时，的值域为B.
则根据题意可得，
当时，在上单调递增，
则，即，
则，∵，
即且，
则，
故选：C.
二、多选题
9．下列四个选项中正确的有（ ）
A．点在第三象限，则是第二象限角
B．若三角形的两内角，满足，则此三角形必为钝角三角形
C．
D．若，则
【答案】ABD
【分析】根据在第三象限，得从而可对A项判断；根据是三角形的内角，且0即可对B项判断；
利用诱导公式可对C项判断；由可求得或，从而可对D项判断.
【详解】对于A：因为在第三象限，所以，所以是第二象限角，故A项正确.
对于B：因为是三角形的内角，且，则，所以此三角形必为钝角三角形，故B正确；
对于C：因为，故C项错误；
对于D：因为，所以，所以得：或，
当时，则，
当时，则，故D项正确.
故选：ABD.
10．已知函数，若的值域为，则的取值可以是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】AB
【分析】结合图象，对选项逐一分析即可得.
【详解】在同一坐标系中画出函数及的图象，
结合图象，当时，
有时，，
当时，，
其中，
故的值域为为，不符合题意，故舍去；
当时，易得时，，
当时，，
此时，故的值域为，符合要求；
当时，易得时，，
当时，，故的值域为，符合要求；
综上所述，的取值可以是3、4，不能是5或6.
故选：AB.
11．已知函数，，对任意，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】对选项A，根据指数的运算性质即可；对选项B，可判断出是奇函数，即可判断；对选项C，通过作差法比较即可；对选项D，根据函数的单调性和奇偶性转化不等式，再通过判别式即可判断.
【详解】对选项A，，，故选项A错误；
对选项B，，，则，故选项B正确；
对选项C，
不妨设，则，故，故选项C正确；
对选项D，因为是奇函数，在上递减
则要使恒成立
只需：
只需：
只需：
而，故，故选项D正确
故选：BCD
12．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若函数有4个零点，则实数k的取值范围为
B．关于x的方程有个不同的解
C．对于实数，不等式恒成立
D．当时，函数的图象与x轴围成的图形的面积为1
【答案】AC
【分析】根据函数的表达式，作出函数的图像，对于A，C利用数形结合进行判断，对于B，D利用特值法进行判断.
【详解】当时，；当 时，；
当，则， ；
当，则， ；
当，则， ；
当，则，；
依次类推，作出函数的图像：
对于A，函数有4个零点，即与有4个交点，如图，直线的斜率应该在直线m, n之间，又，，，故A正确；
对于B，当时，有3个交点，与不符合，故B错误；
对于C，对于实数，不等式恒成立，即恒成立，由图知函数的每一个上顶点都在曲线上，故恒成立，故C正确；
对于D， 取，，此时函数的图像与x轴围成的图形的面积为，故D错误；
故选：AC
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
三、填空题
13．幂函数在上单调递增，则（且）的图象过定点 .
【答案】
【分析】根据幂函数的定义和单调性可求出的值，可得出函数的解析式，令真数为，可求得函数的图象所过定点的坐标.
【详解】因为幂函数在上单调递增，则，解得，
所以，，令，可得，且，
故函数的图象过定点.
故答案为：.
14．已知角的始边与轴非负半轴重合，终边上一点，若，则 ．
【答案】
【分析】根据同角的三角函数关系式，结合三角函数的定义进行求解即可.
【详解】角的始边与轴非负半轴重合，终边上一点，
所以，
因为，
所以角的终边在第四象限，
因此有，
又因为，
所以令，所以，
故答案为：
15．已知是关于x的方程的两个根，则 ．
【答案】/
【分析】根据根与系数关系可以求得，然后利用，求出的值，然后即可求解.
【详解】由题意得：，是的两个根，即：，解得：或，
由根与系数的关系得：，所以：，
即：，解得：，（舍去），
.
故答案为：.
16．已知函数，对于任意实数，当时，记的最大值为.
①若，则 ；
②若则的取值范围是 ．
【答案】 3
【分析】①先计算，利用数形结合，画出图像，根据新定义，可得结果；
②先计算，利用数形结合，画出图像，根据新定义，结合分类讨论的方法，可得结果.
【详解】①当时，
，
则
，
作出的图像，如下图：

可知当时，取到最大值，
最大值；
②由题意得：，
∴，，
又，
可得的图象如图所示，

∵，
∴区间长度为2，
当时，
，
所以；
当时，
，
所以，
∴的取值范围为：.
故答案为：；.
【点睛】关键点睛：本题主要考查函数与方程的应用，求出函数的解析式，利用数形结合以及函数最值的性质是解决本题的关键.
四、解答题
17．已知集合是函数的定义域，集合.
（1）当时，求；
（2）当时，求实数的取值范围.
【答案】（1）（2）
【分析】(1) 当时,化简集合A与B，进而求并集即可；
（2）由可知，转化为不等式组，即可得到结果.
【详解】（1）依题意得：，
即，解得，即
当时，
所以
（2）集合
由，得，
故，解得.
故实数的取值范围为.
【点睛】本题考查了集合的包含关系，考查集合的运算以及不等式的解法，考查计算能力，是一道基础题．
18．在平面直角坐标系中，角的始边为轴的非负半轴，终边经过点，求下列各式的值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)-1
(2)2
【分析】根据三角函数的定义，，再利用三角恒等变换，分别化简两个式子，将正切值代入，即可得到答案；
【详解】（1）根据三角函数的定义，．
原式；
（2）原式．
19．已知二次函数满足．
(1)求的最小值；
(2)若在上有两个不同的零点，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据函数的对称性可得出，再由均值不等式求解即可；
（2）根据零点的分布列出不等式组求解即可.
【详解】（1）因为满足，
所以．
化简得．
因为对任意恒成立，
所以，即．
，当且仅当时，等号成立．
所以当时，取得最小值为．
（2）由（1）知．对称轴方程为，
因为在上有两个不同的零点，
所以
解得．
所以ab的取值范围是．
20．如图，是矩形，矩形上方是一个以为直径的半圆，且，，点、在及线段、上运动，且.
(1)当和之间的距离为（如图1）时，求此时的面积；
(2)设和之间的距离为，试将的面积表示成关于的函数并求出的最大值.
【答案】(1)
(2)，的最大值为
【分析】（1）取线段的中点，则，可知，利用勾股定理求出，利用三角形的面积公式可求得的面积；
（2）分、两种情况讨论，结合三角形的面积公式可得出的解析式，结合分段函数的基本性质可求得函数的最大值.
【详解】（1）解：取线段的中点，则，
在矩形中，，，则半圆的半径为，由题意可知，
所以，，
所以，.
（2）解：①当时，点在线段上运动（不包括点），
此时点到直线的距离为，则；
②当时，取线段的中点，则，
，，
此时，，
所以，.
当时，；
当时，，当且仅当时，等号成立.
综上所述，，的最大值为.
21．已知在定义域内单调的函数满足恒成立．
(1)设，求实数的值；
(2)解不等式；
(3)设，若对于任意的恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由题意列方程求解；
（2）由函数的单调性转化后求解；
（3）参变分离后转化为最值问题，由换元法结合基本不等式求解.
【详解】（1）由题意得，，
由于在上单调递增，
观察，可得；
（2）由于在定义域内单调，所以为常数，
由（1）得，在上单调递增，
，
故原不等式可化为，
由，解得，
故原不等式的解集为；
（3），
可化为
对于任意的恒成立，
设，则，，
由基本不等式得，当且仅当即时等号成立，
故当时，
故，当且仅当等号成立.
实数的取值范围为.
22．设函数的定义域为，若函数满足条件：存在，使在上的值域为（其中），则称为区间上的“倍缩函数”．
(1)若存在，使函数为上的“倍缩函数”，求实数的取值范围；
(2)给定常数，以及关于的函数，是否存在实数，使为区间上的“1倍缩函数”．若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在；；
【分析】（1）根据函数是“倍缩函数”，结合题意中的定义即可求解；
（2）由题意可得，然后分类讨论，从而求解出的值，从而求解.
【详解】（1）由题意得，为“倍缩函数”，则，
因为在其定义域上为单调递增函数，
在其定义域上单调递增，
由复合函数可得在区间上单调递增，
所以，解得，
所以为的两个解，令，，
得有两大于零的不同的根，所以，解得.
故的取值范围为.
（2）存在，，，理由如下：
由题意得为区间上的“倍缩函数”，
所以，
所以当时，因为，故此种情况不符合题意；
所以当时，，此时在区间上单调递减，
所以，解得：，故此种情况不符合题意；
当时，，此时在区间上单调递增，
所以，解得，
所以是方程的两正根，所以，得，
此时：，，故此种情况符合题意；
当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
当时，有最小值，故此种情况不符合题意.
综上所述：存在，使为区间上的“1倍缩函数”.