2023-2024学年辽宁省六校协作体高一上学期10月联考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年辽宁省六校协作体高一上学期10月联考数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】求出，进而求出交集.
【详解】，故.
故选：A
2．下列命题中为真命题的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用不等式的性质和反例可知ABC错误；采用作差法或不等式性质可证得D正确.
【详解】对于A，若，则，，即，A错误；
对于B，当，时，，此时无法得到，B错误；
对于C，当时，，C错误；
对于D，方法一：当时，，，D正确；
方法二：当时，；当时，；当时，；
综上所述：当时，，D正确.
故选：D.
3．命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】A
【分析】根据命题的否定即可得到答案.
【详解】根据命题的否定知“，”的否定是“，”.
故选：A.
4．若命题“，使得成立”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出给定命题的否定，结合全称量词命题为真命题求解作答.
【详解】命题“，使得成立”的否定为：，，
依题意，命题“，”为真命题，
当时，，而，
当且仅当，即时取等号，因此，
所以实数的取值范围是.
故选：D
5．已知集合M满足，则所有满足条件的集合M的个数是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】C
【分析】由题意可知集合M的个数等价于集合的非空子集的个数，即可得答案.
【详解】由题意可知，M中必含元素1，2，且至少含有3，4，5中的一个，
于是集合M的个数等价于集合的非空子集的个数，即．
故选：C.
6．设A，B，C，D是四个命题，若A是B的必要不充分条件，A是C的充分不必要条件，D是B的充分必要条件，则D是C的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用充分条件必要条件之间的关系进行推理判断即可.
【详解】因为是的必要不充分条件，所以，推不出，
因为是的充分不必要条件，所以，推不出，
因为是的充要条件，所以，，
所以由，，可得，
由推不出，推不出，可得C推不出D.
故D是C的充分不必要条件.
故选：B.
7．已知集合，，，则A，B，C之间的关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】化简各集合，明确各集合表示的数的特点，即可判断各集合的关系，即得答案.
【详解】由题意知，
，
，
由此可知集合表示被3除余1的数再除以6的数的集合，集合C表示被6除余1的数再除以6的数的集合，
故，
故选：A
8．已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是 （ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用基本不等式求出的最小值，即可得到，从而得到，解得即可.
【详解】因为，，且，
所以
，
当且仅当，即，时取等号，
所以，因为恒成立，所以，
即，解得，所以实数的取值范围是.
故选：C
二、多选题
9．设，．若，则实数可能的取值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】求出集合，再根据集合包含关系求解．
【详解】由题意，
若，则，
若，则，因为，所以或，即或．
故选：BCD．
10．下列命题不正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】ABC
【分析】对于A，举例判断，对于BCD，利用不等式的性质判断
【详解】对于A，若，则，所以A错误，
对于B，当时，则不等式的性质可得，所以B错误，
对于C，当，时，，所以C错误，
对于D，若，则由不等式的性质可得，所以D正确，
故选：ABC
11．已知关于x的不等式的解集为，则（ ）
A．
B．
C．不等式的解集为
D．不等式的解集为
【答案】ABD
【分析】根据一元二次不等式的解与二次方程的根之间的关系可得，即可结合选项逐一求解.
【详解】由于不等式的解集为，
所以和是的两个实数根，
所以，故，
，故AB正确，
对于C,不等式为，故，故C错误，
对于D, 不等式可变形为，
解得，故D正确，
故选：ABD
12．下列说法正确的有（ ）
A．的最小值为2
B．已知，则的最小值为
C．若正数x，y为实数，若，则的最大值为3
D．设x，y为实数，若，则的最大值为
【答案】BD
【分析】对于A选项，当时，，故A选项错误；对于C选项，可以利用基本不等式求出的最小值为3，所以C选项错误；对于BD选项，可以根据已知条件，结合不等式的性质，以及基本不等式的公式，即可求解.
【详解】对于A选项，当时，，故A选项错误，
对于B选项，当时，，
则，
当且仅当时，等号成立，故B选项正确，
对于C选项，若正数、满足，则，
，
当且仅当时，等号成立，故C选项错误，
对于D选项，，
所以,当且仅当时，等号成立，可得，
时取最大值，故的最大值为，D选项正确．
故选：BD．
三、填空题
13．设a，，若集合，则 ．
【答案】0
【分析】由集合相等的定义，结合元素的互异性，分类讨论求出，进而可得到答案.
【详解】由易知，，
由两个集合相等定义可知
若，得，经验证，符合题意；
若，由于，则方程组无解，
综上可知，，，
所以．
故答案为：0.
14．已知，，则的最大值是 ．
【答案】
【分析】运用待定系数法，设，进而求得，，再由不等式的性质，可得所求范围，即可得出最大值.
【详解】解：设，
由，，解得，.
则，
所以.
所以的最大值是.
故答案为：.
15．关于的一元二次方程的两个实数根分别是，且，则的值是 ．
【答案】
【分析】利用韦达定理和已知等式可构造方程求得可能的取值，代回方程验证方程是否有两个实根即可确定结果.
【详解】由题意知：，，，
即，解得：或；
当时，一元二次方程为，，方程有两个不等实根，满足题意；
当时，一元二次方程为，，方程无解，不合题意；
综上所述：.
故答案为：.
16．若不等式对一切恒成立，则实数x的取值范围是 .
【答案】
【分析】利用变换主元法将看成自变量，将看成参数即可求解.
【详解】解：不等式对一切恒成立
将看成自变量，将看成参数，将不等式化为：
对一切恒成立
令
即对一切恒成立
等价于即
解得：或
所以实数x的取值范围是：
【点睛】关键点睛：当所给不等式或者等式有两个变量时，将已知变量看成自变量，所求变量看成参数，即变换主元法进行求解.
四、解答题
17．已知集合，，．
(1)求集合和；
(2)若全集，求．
【答案】(1)，
(2)或
【分析】（1）利用分式不等式和绝对值不等式的解法可分别求出集合、；
（2）求出集合，利用并集和补集的定义可求得集合.
【详解】（1）解：，.
（2）解：因为或，或，
因此，或.
18．集合，集合，
(1)若，求实数的取值范围.
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分类讨论是否为空集，当时，根据子集关系列式，解不等式可得结果；
（2）先求时，实数的取值范围，再求其补集即可得解.
【详解】（1）①当时，，
此时,解得，
②当时，为使，需满足，解得，
综上所述：实数的取值范围为.
（2）先求时，实数的取值范围，再求其补集，
当时，由（1）知，
当时，为使，需满足或，
解得，
综上知，当或时，，
所以若，则实数的取值范围是.
19．设集合.
(1)讨论集合与的关系；
(2)若，且，求实数的值.
【答案】(1)答案见解析
(2)或
【分析】（1）解方程得到，分两种情况，得到的关系；
（2）根据交集结果得到，分类讨论，求出实数的值.
【详解】（1），
当时，；
当时，，是的真子集.
（2）当时，因为，所以，所以.
当时，解得（舍去）或，此时，符合题意.
当时，解得，此时符合题意.
综上，或.
20．已知一元二次不等式的解集为A，关于x的不等式的解集为B（其中）．
(1)求集合B；
(2)在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题的______中，若问题中的实数m存在，求m的取值范围：若不存在，说明理由．
问题：是否存在实数m，使得______？（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）由，得，从而根据m的范围，分类讨论，解一元二次不等式即可；
（2）由（1），若选择①，则，从而列式求得m的取值范围；若选择②，，根据m的范围，分类讨论，利用交集运算得结论；若选择③，，则，由此可求出m的取值范围．
【详解】（1）解：由，即．
①时，；
②时，或；
③时，；
④时，不等式无解；
⑤时，．
综上所述：当时，；当时，；
当时，；当时，；当时，．
（2）由（1），若选择①，则，
由（1）可知：只有当，，则有，所以；
另外，当时，也成立，
所以选择①，则实数m的取值范围是；
若选择②，，
由（1）可知：当，，时，都能符合条件；
当，，则有，所以
所以选择②，则实数m的取值范围是或；
若选择③，，则，
由（1）可知：只有当时，成立；
另外，当时，也成立
所以选择③，则实数m的取值范围是．
21．科技创新是企业发展的源动力，是企业能够实现健康持续发展的重要基础．某科技企业最新研发了一款大型电子设备，并投入生产应用，经调研，该企业生产此设备获得的月利润（单位：万元）与投入的月研发经费x（，单位：万元）有关：当投入的月研发经费不高于36万元时，；当投入月研发经费高于36万元时，．对于企业而言，研发利润率是优化企业管理的重要依据之一，y越大，研发利润率越高，反之越小．
(1)求该企业生产此设备的研发利润率y的最大值以及相应月研发经费x的值；
(2)若该企业生产此设备的研发利润率不低于1.9，求月研发经费x的取值范围．
【答案】(1)当月研发经费为30万元时，研发利润率取得最大值2
(2)
【分析】(1)利用基本不等式以及函数的单调性分别求出分段函数的最值即可求解；
(2)解一元二次不等式求解.
【详解】（1）当时，，
当且仅当，即时，取等号；
当时，，
因为在上单调递减，
所以．
因为，所以当月研发经费为30万元时，研发利润率取得最大值2．
（2）若该企业生产此设备的研发利润不低于1.9，
由（1）可知，此时月研发经费．
于是，令，整理得，
解得．
因此当研发利润不小于1.9时，月研发经费的取值范围是．
22．已知.
(1)设，若关于的不等式的解集为，且的充分不必要条件是，求的取值范围；
(2)方程有两个实数根，
①若均大于，试求的取值范围；
②若，求实数的值．
【答案】(1)
(2)①；②.
【分析】（1）由的充分不必要条件是，则是的真子集，则，解不等式即可得出答案.
（2）①若均大于，由根与系数的关系可得，解不等式即可得出答案.②由若可得，将，代入化简即可得出答案.
【详解】（1）由，得，
即，即，
又，∴，即，
∵的充分不必要条件是，
∴是的真子集，
则，解得，则，
即实数的取值范围是.
（2）方程为，
①若均大于，则满足，
解得，故，即的取值范围为.
②若，则，
则，即，即，
解得或，由，得或.
所以，即实数的值是.