2023-2024学年云南省保山市B、C类学校高一上学期第三次质量监测数学试题含答案

这是一份2023-2024学年云南省保山市B、C类学校高一上学期第三次质量监测数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．设集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据交集运算可求.
【详解】依题意.
故选：C．
2．等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】用诱导公式先化简后求值.
【详解】.
故选:B.
3．下列函数中是增函数的为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项.
【详解】对于A，为上的减函数，A不是；
对于B，为上的减函数，B不是；
对于C，在上不单调，C不是；
对于D，为上的增函数，D是.
故选：D
4．二十四节气是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法，是中华民族劳动人民智慧的结晶．从立春起的二十四节气依次是立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒．二十四节气的对应图如图所示，从2022年4月20日谷雨节气到2022年12月7日大雪节气，圆上一点转过的弧所对圆心角的弧度数为（ ）．

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据弧度制的定义计算出每一小格所代表的弧度即可得出答案.
【详解】依题意，二十四节气将一个圆24等分，所以每一份的弧度数位，
从谷雨到大雪，二十四节气圆盘需要顺时针旋转15个格，
所以转过的弧所对圆心角的弧度数为.
故选：C
5．用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算得，，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】根据函数零点的存在性定理可知零点，结合对二分法的理解即可得出结果.
【详解】因为，
由零点存在性知：零点，
根据二分法，第二次应计算，即，
故选：D.
6．若，则（ ）
A．B．C．2D．
【答案】C
【分析】由已知表示出，再由换底公式化简可求.
【详解】∵，∴，
∴
.
故选：C．
7．设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】根据指数函数和对数函数的性质求出的范围即可求解.
【分析】因为在内单调递增，
则，，即，，
又因为在内单调递减，则，即，
所以.
故选：D．
8．给定函数.，用表示，中的较小者，记为，则的最大值为（ ）
A．-3B．2C．3D．
【答案】B
【分析】先求得的解析式，结合图象求得的最大值.
【详解】令，解得，

所以，

由图象可得：在上单调递增，在单调递减，
所以的最大值为.
故选：B.
二、多选题
9．下列不等式中不成立的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】AC
【分析】根据特值，不等式的性质及作差法逐项分析即得.
【详解】A. 若，当时，，故A满足题意；
B. 若，则，即，故B不满足题意；
C. 若，则，即，故C满足题意；
D. 若，则，即，故D不满足题意.
故选：AC.
10．下列结论正确的是（ ）
A．是第二象限角
B．第三象限角的集合为
C．终边在轴上的角的集合为
D．若角为锐角，则角为钝角
【答案】AC
【分析】根据终边相同角的表示，可以判断A错误，C正确；根据象限角的表示可以判断B错误；举特例可以判断D错误.
【详解】对于选项A：因为，且为第二象限角，
所以是第二象限角，故A正确；
对于选项B：第三象限角的集合为，故B错误；
对于选项C：终边在轴上的角的集合为，故C正确；
对于选项D：若角为锐角，即，则，所以角不一定为钝角，
例如，则为直角，故D错误；
故选：AC.
11．若函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的定义域为B．当时，
C．的解集为D．
【答案】ABD
【分析】根据对数函数的图象性质解决即可.
【详解】对于A：函数的定义域为，故A正确；
对于B：函数在上单调递减，所以当时，，故B正确；
对于C：函数在上单调递减，，即，解得，故C错误；
对于D：，故D正确.
故选:ABD．
12．已知是定义在上的奇函数， 是定义在上的偶函数，且， 在上单调递减，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】根据题意得出，在上的单调性，结合函数的单调性，逐项判断，即可求解.
【详解】因为是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，且两函数在上单调递减，在上单调递减，所以在上单调递增，在上单调递减，
因为是定义在上的奇函数，所以，
对于A，，由在上单调递增，得，
所以，
但因为与的大小无法判断，
所以与的大小无法判断，所以A错误；
对于B，，
因为在上单调递减，所以，因为，
所以，即，
而在上单调递减，所以，
即，故B正确；
对于C选项，因为在上单调递增，所以，
因为在上单调递减，所以，故C正确；
对于D选项，因为在上单调递减，所以，
所以，所以D正确.
故选:BCD.
三、填空题
13．函数（且）恒过定点为 ．
【答案】
【分析】根据，直接求定点.
【详解】由函数，可知当时，，
所以函数恒过点.
故答案为：.
14．如果，那么 ．
【答案】3
【分析】根据题意，分式分子分母同除以由已知化弦为切求解．
【详解】由，得.
故答案为：3.
15．已知一元二次方程的根是和2，则对应二次函数的零点是 ，对应一元二次不等式的解集是 .
【答案】 和 .
【分析】根据题意，结合零点的定义，求得函数的零点，再由一元二次函数与一元二次不等式的关系，即可求得不等式的解集.
【详解】由一元二次方程的根是和，
根据函数零点的定义，可得二次函数的零点是和，
结合一元二次函数与一元二次不等式的关系，
可得不等式的解集为.
故答案为：和；.
16．已知函数 若 ，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】通过分析在与两个区间段内的单调性知，在上单调递增，将抽象不等式转化为具体不等式，即可求出实数a的取值范围.
【详解】因为时，单调递增，且，
因为时，单调递增，，
所以在上单调递增，因为，
所以，所以.
故答案为：
四、解答题
17．求值：
(1)
(2).
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）指数的运算法则即可计算；
（2）对数的运算法则即可计算.
【详解】（1）.
（2）
.
18．如图，在平面直角坐标系中，角的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A点，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动．
(1)若点B的横坐标为，求的值；
(2)若为等边三角形，写出与角终边相同的角的集合；
(3)若，请写出弓形AB的面积S与的函数关系式．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据三角函数的定义得到，即可求解；
（2）由为等边三角形得到，结合终边相同角的表示，即可求解；
（3）根据扇形的面积公式和三角形的面积公式，求得扇形和三角形的面积，进而求得弓形的面积.
【详解】（1）设点，由单位圆的性质可得，
则，
所以，根据三角函数的定义得.
（2）若为等边三角形，则，
故与角终边相同的角β的集合为.
（3）若，则扇形的面积为，
由，
所以弓形的面积为.
19．（1）已知，且为第四象限角，求和的值；
（2）已知，求的值；
（3）已知，若是第二象限角，求的值．
【答案】（1），；（2），；（3）.
【分析】（1）由同角三角函数的基本关系求解；
（2）由同角三角函数的基本关系求解；
（3）由得的值，再由求解.
【详解】（1）因为为第四象限角，则，
，
.
（2）因为，所以，则.
又，故，则.
因为，所以，故，
所以.
（3），
所以，
所以，
所以,又因为是第二象限角，所以，，
所以.
20．著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．在数学的学习和研究中，常常借助图象来研究函数的性质．已知函数.

(1)在平面直角坐标系中作函数的简图，并根据图象写出该函数的单调减区间；
(2)解不等式.
【答案】(1)作图见解析，单调减区间为和
(2)
【分析】（1）直接利用指数函数与一元二次函数图象作图即可，根据图象写出函数单调递减区间求解；
（2）分段讨论解不等式，最后再求并集即可.
【详解】（1）简图如图所示：

由图可得该函数的单调减区间为和；
（2）①当时，得，所以；
②当时，，解得；
综上：不等式的解集为.
21．已知函数满足．
(1)求的解析式；
(2)若关于的方程有3个不同的实数解，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）用代替，再消去即可得解；
（2）令，讨论方程的实数解的情况，即可得出的范围．
【详解】（1）由①，
可得②，
联立①②可得．
（2）由题可知，即，
令，则关于的方程有3个不同的实数解，
，即，解得或，
则只需有两个不同的非零实数解，则，
所以的取值范围为．
22．已知函数.
(1)求函数的定义域，并判断其奇偶性；
(2)若关于的方程有解，求实数的取值范围.
【答案】(1)，奇函数
(2)
【分析】（1）由可求得定义域，计算化简可判断奇偶性；
（2）根据奇函数的性质和单调性可得有解，设，可得有解，即可求出.
【详解】（1）由解得或，所以的定义域为，
定义域关于原点对称，且，
所以为奇函数.
（2）由（1）可知：有解
有解
因为，，
又因为在上单调递增.
有解
设，则，
有解，有解，
当时，，所以，.