2023-2024学年云南省大理市下关第一中学教育集团高一上学期段考（二）数学试题含答案

这是一份2023-2024学年云南省大理市下关第一中学教育集团高一上学期段考（二）数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．若集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据集合补集和并集的运算求解即可.
【详解】或，
,
则，
故选:B
2．设，，，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】利用对数指数函数的单调性求出a,b,c的范围即得解.
【详解】由题得，
，
，
所以.
故选：C
【点睛】本题主要考查指数对数函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
3．已知函数的定义域是，则函数的定义域（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据抽象函数的定义域计算规则计算可得.
【详解】因为函数的定义域是，所以，
令，解得，所以函数的定义域为.
故选：D
4．设函数f（x）=lg2x+2x-3，则函数f（x）的零点所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为函数，所以f（1）==﹣1＜0，f（2）==2＞0，所以根据根的存在性定理可知在区间（1，2）内函数存在零点．
故选：B．
点睛：一是严格把握零点存在性定理的条件；
二是连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分条件，而不是必要条件；
三是函数f(x)在[a，b]上单调且f(a)f(b)＜0，则f(x)在[a，b]上只有一个零点.
5．函数的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】判断函数的奇偶性，根据奇偶性排除AC，根据函数在上的符号排除D，可得答案.
【详解】函数的定义域为，定义域关于原点对称，
因为，
故函数为偶函数，其图象关于轴对称，故AC不正确；
当时，，，故，故D不正确.
故选：B.
6．素数也叫质数，部分素数可写成“”的形式（是素数），法国数学家马丁·梅森就是研究素数的数学家中成就很高的一位，因此后人将“”形式（是素数）的素数称为梅森素数．2018年底发现的第51个梅森素数是，它是目前最大的梅森素数．已知第8个梅森素数为，第9个梅森素数为，则约等于（参考：在，很大的条件下；）（ ）．
A．7B．8C．9D．10
【答案】C
【解析】由的值约等于，令，化指数式为对数式求解即可．
【详解】因为， ，，两数远远大于1，
所以的值约等于，设，
则，即，
因此有，因为，
以，即约等于9．
故选：C．
7．函数的单调递增区间为（ ）
A．B．
C．和D．和
【答案】C
【分析】首先求出函数的定义域，在分析内、外层函数的单调性，结合复合函数的单调性判断即可.
【详解】对于函数，令，解得且，
所以函数的定义域为，
又函数，
所以在，上单调递增，在，上单调递减，
又函数在定义域上单调递减，
根据复合函数的单调性，可知的单调递增区间为和.
故选：C
8．已知函数，则（ ）
A．B．C．4D．2
【答案】C
【分析】根据题意，由解析式可得，即可得到结果.
【详解】因为，
所以，
所以
故选:C.
二、多选题
9．已知集合，，则（ ）
A．集合有8个子集B．集合中有6个元素
C．D．
【答案】AC
【分析】求出集合的子集判断A，求出集合判断B，并集运算判断C，根据集合关系判断D.
【详解】集合的子集为：共8个，所以选项A正确；
由集合，所以，
所以集合中有5个元素，所以选项B错误；
由及知，所以选项C正确；
因为，但是，所以不成立，所以选项D错误.
故选：AC.
10．已知不等式的解集为或，则（ ）
A．
B．
C．不等式的解集为
D．不等式的解集为
【答案】BCD
【分析】根据一元二次不等式的解集，先求得的关系式，然后对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】因为不等式的解集为或，
则，且关于的方程的两根分别为，
由根与系数的关系可得，所以.
对于A，，A错误；
对于B，不在不等式的解集内，令，则有，B正确；对于C，，
该不等式的解集为，C正确；
对于D，不等式即为，
化简可得，解得，
因此，不等式的解集为，D正确.
故选：BCD
11．下列结论中，正确的结论有（ ）
A．如果，那么取得最大值时的值为
B．如果，，，那么的最小值为6
C．函数的最小值为2
D．如果，，且，那么的最小值为
【答案】ABD
【分析】A.将其配成顶点坐标式即可得出答案；
B.将其配成代入即可得其最小值；
C. 函数，当且仅当此时无解
D.根据题意构造，将“1”替换为，代入用基本不等式.
【详解】对于A： 如果，那么，
当时取得最大值，故A正确；
对于B：如果，，，
则
整理得，所以或（舍去），
当且仅当时取得最小值，故B正确；
对于C： 函数，
当且仅当此时无解，不能取得最小值2，故C错误；
对于D： 如果，，且，
那么
，
当且仅当即时取得最小值，故D正确.
故选：ABD
12．若函数，则（ ）
A．B．
C．在上是增函数D．为偶函数
【答案】ABD
【分析】，然后可逐一判断.
【详解】因为，所以A选项正确．
因为，
所以，B选项正确，D选项正确，
对于，因为在R上单调递增，所以根据复合函数的单调性可得在R上是减函数，C选项错误，
故选：ABD.
三、填空题
13．已知，则 .
【答案】6
【分析】利用诱导公式求得的值，然后在所求分式的分子和分母中同时除以，可将所求分式转化为只含的代数式，代值计算即可.
【详解】由诱导公式可得，因此，.
故答案为：6.
14．已知函数，则其值域为 .
【答案】
【分析】令，将问题转化为求二次函数在区间上值域的问题，结合二次函数单调性，即可求得结果.
【详解】解：令，∵，∴，
∴，
又关于对称，
即时，函数取得最小值，即，
即时，函数取得最大值，即，
,.
故答案为：.
15．已知关于的方程在上有两个不同的实数解，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】参变分离后画出函数图象，数形结合得到，进而求出的取值范围.
【详解】由题意得：，因为，所以，画出函数图象如下：要想保证有两个不同的实数解，则只需与函数图象有两个交点，显然，解得：
故答案为：
16．已知函数为上的偶函数，且对，的都有恒成立，则使成立的x取值范围为 .
【答案】或
【分析】判断出的对称性、单调性，由此转化不等式，从而求得的取值范围.
【详解】函数为上的偶函数，故关于对称，
对，的都有恒成立，
故在上单调递减，在上单调递增，
要使成立，需满足，，
两边平方得，
解得：或
故x的取值范围为或
故答案为：或
四、解答题
17．设全集，已知集合，．
(1)若，求；
(2)若，求实数a的取值范围．
【答案】(1)或；
(2).
【分析】（1）由已知解出集合A，B，根据并集的运算即可得出答案；
（2）若，根据集合间关系列出不等式，即可求出实数a的取值范围.
【详解】（1）当，，
由得，所以或，
或；
（2）已知，
由（1）知或，
因为，且，
∴且，
解得，
所以实数a的取值范围为.
18．已知函数（，且）.
(1)若函数的图象过点，求实数a的值；
(2)若，当时，求函数的取值范围；
(3)求关于x的不等式的解集.
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【分析】（1）由题意列式求解，
（2）由指数函数性质求解，
（3）由指数函数性质，根据的取值分类讨论求解，
【详解】（1）由题意得，，故，
（2），当时，，
由指数函数性质得
（3）不等式即，
当时，由得，原不等式的解集为，
当时，由得，原不等式的解集为，
19．已知函数（，且），过点.
（1）求实数a的值；
（2）解关于x的不等式.
【答案】（1）2（2）
【解析】（1）将点代入函数计算得到答案.
（2）根据函数的单调性和定义域得到，解得答案.
【详解】（1）∴ .
（2）的定义域为，并在其定义域内单调递增，
∴，不等式的解集为.
【点睛】本题考查了函数解析式，利用函数单调性解不等式，意在考查学生对于函数知识的综合应用.
20．中共中央政治局会议中明确提出支持新能源汽车加快发展.发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略举措.2023年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2500万元，每生产百辆，需另投入成本万元，且，由市场调研知，若每辆车售价5万元，则当年内生产的车辆能在当年全部销售完.
(1)求出2023年的利润万元关于年产量百辆的函数关系式;
(2)当2023年的年产量为多少百辆时，企业所获利润最大?并求出最大利润.
【答案】(1)
(2)当产量为百辆时，取得最大利润，最大利润为2100万元.
【分析】（1）根据题意求解即可；
（2）利用基本不等式和二次函数的性质求分段函数的最值即可.
【详解】（1）由题意知利润收入-总成本，
所以利润，
故2023年的利润万元关于年产量百辆的函数关系式为
.
（2）当时，，
故当时，
当时，，
当且仅当，即时取得等号;
综上所述，当产量为百辆时，取得最大利润，最大利润为2100万元.
21．已知函数最小值为，周期为.
(1)求实数的值；
(2)当时，求函数的值域.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由函数的最小值可得，再利用周期公式可求得，
（2）由，得，再利用正弦函数的性质可求得函数的值域.
【详解】（1）由题意，
所以
（2）由题意，
因为，所以，
于是，
所以
所以函数的值域为
22．设函数的定义域是，且对任意的正实数都有恒成立，当时，.
(1)判断并证明函数在上的单调性：
(2)若，求不等式的解集.
【答案】(1)在上为增函数，证明见解析
(2)或
【分析】（1）已知条件结合函数单调性的证明方法即可得解.
（2）通过适当变形，把已知不等式转化为方便运用单调性的形式即可.
【详解】（1）在上为增函数.
设，则即，
，故，即，
故在上为增函数；
（2）由得：，
，
所以，
解得或，
所以不等式的解集为：或.