2022-2023学年河南省济源市济源高级中学高一下学期3月月考数学试题含答案

这是一份2022-2023学年河南省济源市济源高级中学高一下学期3月月考数学试题含答案，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知复数是纯虚数（i是虚数单位），则实数a等于（ ）
A．−2B．2
C．D．−1
【答案】C
【分析】根据复数的运算法则，化简复数为，根据复数的概念，列出方程，即可求解.
【详解】根据复数的运算法则，可得，
因为复数是纯虚数，所以且，解得.
故选：C．
2．下列说法正确的是
A．若与共线，则或者
B．若，则
C．若中，点满足，则点为中点
D．若，为单位向量，则
【答案】C
【详解】分析：由与共线可得，错误；由与可以同垂直于可得错误；由向量加法法则可得正确；由单位向量方向不确定得错误.
详解：由与共线得，故“若与共线，则或者”不正确，错误；
由与可以同垂直于可得“若，则”不正确， 错误；
由平面向量加法法则可得“若中，点满足，则点为中点”正确，正确.
由单位向量的方向不确定得“若，为单位向量，则”不正确，错误，故选C.
点睛：本题主要考查平面向量的基本概念与基本运算，意在考查学生对基础知识掌握的熟练程度，属于中档题.
3．已知复数满足，则复数的共轭复数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】先利用复数的乘法化简复数，再求其共轭复数即可.
【详解】依题意得：，
故，
故选：B.
【点睛】本题考查复数的乘法运算，涉及共轭复数的求解，属基础题.
4．已知点，，，且满足，若点在轴上，则等于
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由题意得，
∴．
设点的坐标为，
∵，
∴，
∴，解得．
故选：C．
5．在△ABC中，，则边AC上的高为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由点B向AC作垂线，交点为D，设AD＝x，则CD＝4﹣x，利用勾股定理可知和中分别用勾股定理求，建立方程求解的值，再利用勾股定理求得BD.
【详解】由点B向AC作垂线，交点为D.
设AD＝x，则CD＝4﹣x，
∴，解得
.
故选：B.
【点睛】本题主要考查了三角形中勾股定理的应用.属基础题.
6．如图，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度是，则河流的宽度等于（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据题目所给俯角，求出内角，利用正弦定理求解即可.
【详解】从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为75°，30°，气球的高度是，
所以
所以，
由正弦定理可得，，，
所以.
故选：C.
7．已知向量 ，其中，且，则向量和的夹角是（ ）
A． B． C． D．π
【答案】A
【分析】先根据垂直关系计算得到，再根据夹角公式计算夹角.
【详解】由题意知，
∴.
设向量和的夹角θ，
则，又
所以θ＝.
故选：A
8．在锐角三角形中，分别是内角的对边，设，则的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由正弦定理得： ，为锐角，即，且 为锐角， ,所以，即，
，则的取值范围是，故选A.
二、多选题
9．已知集合，其中为虚数单位，则下列属于集合的元素是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】先求得集合，然后结合复数运算对选项逐一计算，由此确定正确选项.
【详解】依题意，
，A错误，
，B正确，
，C正确，
，D错误.
故选：BC.
10．设、是两个非零向量，则下列描述正确的有（ ）
A．若，则存在实数使得
B．若，则
C．若，则在方向上的投影向量为
D．若存在实数使得，则
【答案】AB
【分析】向量线性运算的几何应用、向量平行和垂直的性质直接求解
【详解】当时，则、方向相反且，则存在负实数，使得，A选项正确，D选项错误；
若，则、方向相同，在方向上的投影向量为，C选项错误；
若，则以、为邻边的平行四边形为矩形，且和是这个矩形的两条对角线长，则，B选项正确.
故选：AB.
三、单选题
11．在中，若，则该三角形的形状是( )
A．等腰三角形B．等边三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
【答案】A
【分析】利用对数的运算法则可求得，利用正弦定理求得 ,根据余弦定理求得的表达式进而建立等式，整理求得,判断出三角形为等腰三角形.
【详解】，
,
由正弦定理可得，
，
，
整理得，
的形状是等腰三角形，故选A.
【点睛】本题主要考查利用正弦定理、余弦定理判断三角形形状，属于中档题.判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形.
12．已知向量，满足，，若不等式对任意实数恒成立，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，设与的夹角为，分析可得恒成立，变形可得恒成立，结合二次函数的性质分析可得，即，结合的范围分析可得答案．
【详解】解：根据题意，设与的夹角为，
若不等式对任意实数恒成立，即恒成立，即恒成立，
又，, 则有恒成立，
必有，
故有，即，
又由，则；
故选：C．
四、填空题
13．已知向量与向量满足：，，且与的夹角为，则 ．
【答案】2
【分析】由向量模、数量积公式先求出，再由公式即可得解.
【详解】由题意，，
所以 .
故答案为：2.
14．在△ABC中，已知C＝120°，sinB＝2sinA，且△ABC的面积为，则AB的长为 ．
【答案】
【解析】由正弦定理可得，，代入三角形的面积公式可求，，然后由余弦定理可求．
【详解】解：，
由正弦定理可得，，
，
，，
由余弦定理可得，，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理的简单应用，属于基础题．
15．已知的面积为，且，，则的长为 .
【答案】
【分析】求得的值，利用三角形的面积公式求得，结合余弦定理可求得的值，即为所求.
【详解】在中，，所以，
由，，
由余弦定理得，
因此，.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，同时也考查了三角形面积公式以及同角三角函数基本关系的应用，考查计算能力，属于中等题.
16．在中，，，，，，，则的值为 .
【答案】4；
【分析】运用向量的数量积的定义和向量的三角形法则，结合向量的平方即为模的平方，注意运用平面向量基本定理，将所有向量统一为、的式子，计算即可得到．
【详解】解：由，，，
即有，
则
．
故答案为：4．
【点睛】本题考查向量的数量积的定义和性质，主要考查向量的三角形法则和向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于中档题．
五、解答题
17．如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，求的值.
【答案】
【分析】在△CBA中根据余弦定理得，再利用正弦定理求解即可
【详解】在△CBA中，AB=40，AC=20，∠BAC=，由余弦定理得
由正弦定理得，，
18．为何实数时，复数 在复平面内所对应的点（1）在实轴上；（2）在虚轴上；（3）位于第四象限．
【答案】（1）（2）（3）
【详解】试题分析：（1）根据复数概念得虚部为零，解得值，（2）根据复数概念得实部为零，解得值，（3）根据复数几何意义得实部大于零，虚部小于零，解得.
试题解析：（1）若复数所对应的点在实轴上则，则；
（2）若复数所对应的点在虚轴上则，则；
（3）若复数所对应的点在第四象限
19．在△ABC中，设a，b，c分别为角A，B，C的对边，记△ABC的面积为S，若
（1）求角A的大小；
（2）若c=7，csB=，求a的值.
【答案】（1）；（2）5.
【分析】（1）运用面积公式及向量的数量积，得到，从面求出；
（2）由题意求出，再用正弦定理求出.
【详解】（1）由，得因为，所以
因为，所以
（2）中，，所以，
所以.
由正弦定理，得，解得
20．已知向量，，．
（1）若，求，的值；
（2）若向量满足，，求的坐标．
【答案】（1）；（2）或．
【分析】（1）由结合已知条件可得，从而可求出，的值；
（2）设，求出，的坐标，再由‖和，列方程组，从而可求出的值，进而可得的坐标
【详解】解：（1）向量，，，
由，所以，
所以，解得；
（2）设，则，，
由‖，且，
所以，
解得或，
所以或．
21．在中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若．
（1）求角A；
（2）若的面积为，求的周长．
【答案】（1）；（2）12.
【分析】（1）由正弦定理化简已知等式可得sinAsinB=sinBcsA，求得tanA=，结合范围A∈（0，π），可求A=．
（2）利用三角形的面积公式可求bc=8，由余弦定理解得b+c=7，即可得解△ABC的周长的值．
【详解】（1）由题意，在中，因为，
由正弦定理，可得sinAsinB=sinBcsA，
又因为，可得sinB≠0，
所以sinA=csA，即：tanA=，
因为A∈（0，π），所以A=；
（2）由（1）可知A=，且a=5，
又由△ABC的面积2=bcsinA=bc，解得bc=8，
由余弦定理a2=b2+c2-2bccsA，可得：25=b2+c2-bc=（b+c）2-3bc=（b+c）2-24，
整理得（b+c）2=49，解得：b+c=7，
所以△ABC的周长a+b+c=5+7=12．
【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
22．如图， 是直角斜边上一点，.
（1）若，求角的大小；
（2）若，且，求的长．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）本题首先可在中通过正弦定理以及得出，然后根据得出，即可求出角；
（2）本题首先可设并写出其余各边，然后可根据是直角三角形求出，最后在中通过余弦定理即可得出结果.
【详解】（1）在中，由正弦定理易知，
因为，所以，
因为，所以，
因为，所以，
故.
（2）设，则，，，
，，，
在中，由余弦定理易知，
即，解得，.