2023-2024学年北京市首都师范大学第二附属中学高一上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年北京市首都师范大学第二附属中学高一上学期12月月考数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，问答题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．集合，则间的关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】分别求解两个集合，再判断集合的关系.
【详解】，得，则，
，得，则，
所以.
故选：B
2．下列函数中，既是偶函数，又在上是增函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据函数的奇偶性的定义和判定方法，结合初等函数的单调性，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，函数，则，
所以函数为偶函数，且在区间上为单调递增函数，符合题意；
对于B中，函数的定义域为，所以函数为非奇非偶函数，不符合题意；
对于C中，函数，根据指数函数的性质，可得函数为非奇非偶函数，不符合题意；
对于D中，函数的定义域为，关于原点对称，
且满足，所以函数为偶函数，
当时，可得为单调递减函数，不符合题意.
故选：A.
3．函数的零点所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】判断函数的单调性，结合函数零点存在性定理，判断选项.
【详解】，，
且函数的定义域是，定义域内是增函数，也是增函数，所以是增函数，且，
所以函数的零点所在的区间为.
故选：B
【点睛】方法点睛：一般函数零点所在区间的判断方法是：1.利用函数零点存在性定理判断，判断区间端点值所对应函数值的正负；2.画出函数的图象，通过观察图象与轴在给定区间上是否有交点来判断，或是转化为两个函数的图象交点判断.
4．某校高一年级有180名男生，150名女生，学校想了解高一学生对文史类课程的看法，用分层抽样的方式，从高一年级学生中抽取若干人进行访谈.已知在女生中抽取了30人，则在男生中抽取了（ ）
A．18人B．36人C．45人D．60人
【答案】B
【解析】先计算出抽样比，即可计算出男生中抽取了多少人.
【详解】解：女生一共有150名女生抽取了30人，
故抽样比为：，
抽取的男生人数为：.
故选：B.
5．已知实数，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由不等式，求得，结合充要条件的判定方法，即可求解.
【详解】由题意，实数，，不等式，解得，
所以实数，，则“”是“”的充要条件.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了充要条件的判定，以及对数的运算性质，其中解答中熟记充要条件的判定方法，以及熟练应用对数的运算性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.
6．已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用的单调性，可比较a和b的大小，利用中间值1，可比较a与c的大小，即可得答案.
【详解】因为在R上为单调递增函数，所以，即，
又在上为单调递增函数，所以，所以.
故选：D
7．函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】确定奇偶性，再利用函数值的正负，与变化趋势，排除三个选项，得出正确答案．
【详解】首先，是偶函数，排除A；
时，，排除C；
当且时，，而，，排除D．
故选：B．
【点睛】本题考查由解析式先把函数图象，解题方法是排除法．可通过研究函数的性质如奇偶性、单调性、对称性等，特殊的函数值，函数值的正负及变化趋势等排除错误选项，得出结论．
8．若，则下列等式中正确是的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据对数的运算法则、换底公式判断．
【详解】当时，ABC均不成立，
由换底公式知D正确．
故选：D．
9．函数与函数的图像关于直线对称，则函数的单调递增区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由互为反函数的解析式的求法可得，
再结合复合函数的单调性的求法可将求的单调递增区间问题转化为求在的条件下函数的减区间,运算即可得解.
【详解】解:由函数与函数互为反函数,则,
令,
因为为减函数,
则的单调递增区间为在的条件下函数的减区间,
又函数在的条件下的减区间为,
故选C.
【点睛】本题考查了反函数的求法及复合函数单调性得求法，重点考查了复合函数单调性的判断，属中档题.
10．我们处在一个有声世界里，不同场合人们对声音的音量会有不同要求．音量大小的单位是分贝（dB），对于一个强度为I的声波，其音量的大小可由如下公式计算：（其中是人耳能听到声音的最低声波强度），则70dB的声音的声波强度是60dB的声音的声波强度的（ ）倍
A．倍B．倍C．10倍D．倍
【答案】C
【分析】由题设中的定义，将音量值代入，计算出声音强度与声音强度的值，即得．
【详解】由，可得，
所以，
同理得，
所以，
所以70 dB的声音的声波强度是60 dB的声音的声波强度的10倍.
故选：C.
二、填空题
11．已知点在幂函数的图象上，则 .
【答案】0
【解析】由幂函数的定义和已知条件即可求出，从而可求出.
【详解】解：由题意知，为幂函数，则，即，则，解得，
所以，
故答案为:0.
【点睛】本题考查了幂函数的定义，考查了幂函数解析式的求解，属于基础题.
12．函数在区间上的平均变化率为 .
【答案】7
【分析】利用平均变化率的定义，列式计算即可得解.
【详解】依题意，函数在区间上的平均变化率为.
故答案为：7
13．已知函数，则不等式的解集为 .
【答案】
【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数单调性分段解不等式即得.
【详解】函数，则不等式化为：或，
解得或，
所以不等式的解集为.
故答案为：
三、双空题
14．是集合的元素，且，若函数与的图像恰有两个交点，则的一组值可以是： ， .
【答案】
【分析】画出，，，和的函数图象，从而数形结合得到答案.
【详解】的图象如下：
的图象如下：
的图象如下：
的图象如下：
的图象如下：
可知，若函数与的图像恰有两个交点，
可令，此时满足要求，
可令，此时满足要求，
可令，也满足要求，
故答案为：（；其中一组也正确）
四、填空题
15．某池塘中原有一块浮草，浮草蔓延后的面积（平方米）与时间（月）之间的函数关系式是且，它的图象如图所示，给出以下命题：①池塘中原有浮草的面积是平方米；②第个月浮草的面积超过平方米；③浮草每月增加的面积都相等；④若浮草面积达到平方米，平方米，平方米所经过的时间分别为，则．其中正确命题的序号有 ．（注：请写出所有正确结论的序号）
【答案】①②④
【解析】直接利用函数的图象求出函数的解析式,进一步利用函数的额关系式再利用函数的性质的应用求出结果．
【详解】解：浮草蔓延后的面积（平方米）与时间（月）之间的函数关系式是且,函数的图象经过
所以 ,解得．
①当时,故选项A正确．
②当第个月时,,故②正确．
③当时,,增加,当时,,增加,故每月的增加不相等,故③错误．
④根据函数的解析式,解得,
同理,,
所以,
所以则．故④正确．
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查的知识要点：函数的性质的应用,定义性函数的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型．
五、问答题
16．计算：
（）．
（）．
【答案】（）；（）．
【分析】（）直接利用指数幂的运算法则求解即可，解答过程注意避免符号错误；（）直接利用对数的运算法则求解即可，化简过程注意避免出现计算错误.
【详解】（）
．
（）
．
【点睛】本题主要考查指数幂的运算法则以及对数的运算法则，属于基础题. 指数幂运算的四个原则：（1）有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算；（2）先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数；（3）底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数；（4）若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答（化简过程中一定要注意等价性，特别注意开偶次方根时函数的定义域）.
六、解答题
17．已知为正数，，
(1)求；
(2)若，求的值
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，根据指数与对数互化，表示出，，，再结合对数运算可得解；
（2）根据指对运算可得，结合条件可求得，再由与关系求得答案.
【详解】（1），均为正数，
设 ，，
，，，
，又，
.
（2），，，
，，，
，
又，解得，
由（1）知，，，
.
18．已知是定义在上的奇函数，且时，函数的解析式为.
(1)求的值
(2)若求函数的值域；
(3)求函数的解析式；
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据奇函数的性质，结合已知计算得出答案；
（2）根据奇函数的性质得出，再根据已知时的函数解析式得出其在上的值域，即可根据奇函数值域的特点得出其在上的值域，综合上述得出答案；
（3）根据奇函数的性质得出，当时，，将代入已知函数解析式，在根据奇函数性质即可得出时的函数解析式，综合已知与上述情况得出答案.
【详解】（1），则
是定义在上的奇函数，
.
（2）是定义在上的奇函数，
，
时，函数的解析式为，
时，单调递增，
则在上时，，即，
又是定义在上的奇函数，
时，，
综上所述：，函数的值域为.
（3）当时，
是定义在上的奇函数，
，
当时，函数的解析式为，
当时，，
则当时，，
又是定义在上的奇函数，
，
综上所述：.
七、证明题
19．已知函数.
(1)判断函数的奇偶性并证明.
(2)求函数的值域.
(3)求函数的反函数的解析式
【答案】(1)为奇函数，理由见解析
(2)
(3)，
【分析】（1）利用函数奇偶性判断出函数为奇函数；
（2）分离常数后得到函数的值域；
（3）求出，得到反函数，注意定义域.
【详解】（1）为奇函数，理由如下：
的定义域为R，
，
故为奇函数；
（2），
因为，所以，，，
故；
（3），故，
故，；
20．若函数满足下列条件：在定义域内存在，使得成立，则称函数具有性质：反之，若不存在，则称函数不具有性质.
(1)判断函数是否具有性质，若具有性质，求出对应的的值；若不具有性质，说明理由.
(2)已知函数具有性质，求的取值范围.
(3)证明函数具有性质.
【答案】(1)具有性质M，
(2)
(3)证明见详解
【分析】（1）将代入，求出即可判断；
（2）由题意，存在，使得，化简得有实根，分类讨论即可求出答案；
（3）将代入条件式，即判断方程有实数解，即函数有零点.
【详解】（1）将代入，可得，解得，
所以函数具有性质，且.
（2）由题意，的定义域为R，，
因为具有性质，所以存在，使得，代入得：，化简整理得有实根，
若，得，
若，由，即，解得，，
综上可得.
（3）将代入条件式，
可得，令，，
由，，
所以函数在上存在零点使得，
即成立，所以函数具有性质.