2023-2024学年甘肃省兰州市兰州一中高一上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年甘肃省兰州市兰州一中高一上学期12月月考数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据对数函数单调性解不等式化简集合A，由二次不等式化简B，直接计算并集即可.
【详解】，
，
故选：A
2．函数的零点所在的大致区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】函数在上是连续增函数，根据，根据零点存在定理可得零点所在的大致区间．
【详解】解：对于函数在上是连续增函数，
由于，，
所以，
根据零点存在定理可知，函数的零点所在的大致区间是，
故选：．
3．函数得单调递增区间是
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】外层函数是减函数，求内层函数的单调减区间，还要注意定义域.
【详解】令：
单调递减区间是
故选D
【点睛】本题考查指数函数单调性与复合函数单调性的判断，复合函数的单调性判断方法：同增异减，但要注意定义域的确定.
4．已知函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据与的取值范围一致，从而得到，进而求得函数的定义域.
【详解】由，得，
所以，所以．
故选：D.
5．已知的值域为R，那么a的取值范围是( )
A．(﹣∞，﹣1]B．(﹣1，)C．[﹣1，)D．(0，1)
【答案】C
【分析】先求出的值域，然后确定的值域所包含的集合，利用一次函数性质可得．
【详解】当x≥1时，f(x)=lnx，其值域为[0，+∞)，
那么当x<1时，f(x)=(1﹣2a)x+3a的值域包括(﹣∞，0)，
∴1﹣2a>0，且f(1)=(1﹣2a)+3a≥0，
解得：，且a≥﹣1.
故选：C.
6．已知（且，且），则函数与的图像可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由对数的运算性质可得ab＝1，讨论a，b的范围，结合指数函数和对数函数的图像的单调性，即可得到答案．
【详解】，即为，即有ab＝1；
当a＞1时，0＜b＜1，
函数与均为减函数，四个图像均不满足，
当0＜a＜1时，b＞1，
函数数与均为增函数，排除ACD，
在同一坐标系中的图像只能是B，
故选：B．
7．设＜＜＜1，则( )
A．aa＜ab＜baB．aa＜ba＜ab
C．ab＜aa＜baD．ab＜ba＜aa
【答案】C
【分析】先由题得到0＜a＜b＜1，再比较选项数的大小.
【详解】∵＜＜＜1，
∴0＜a＜b＜1.∴＝aa－b＞1.∴ab＜aa.
∵＝，,0＜＜1，a＞0，∴＜1.
∴aa＜ba.∴ab＜aa＜ba.
故答案为C
【点睛】（1）本题主要考查比较法和指数函数的性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.（2）比差的一般步骤是：作差→变形（配方、因式分解、通分等）→与零比→下结论；比商的一般步骤是：作商→变形（配方、因式分解、通分等）→与1比→下结论.如果两个数都是正数，一般用比商，其它一般用比差.
8．函数，若函数有6个不同的零点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】令，得出的范围，再转化“函数有6个不同的零点”为“有三个零点且有两解”，最后结合题意和图形即可得出的取值范围.
【详解】令，则，
又函数有6个不同的零点，
有三个零点且有两解，因此，
由函数的图像可知，的取值范围是，
故选：D.
【点睛】本题主要考查的是函数零点的应用、考查分段函数的应用，还考查学生的数型结合思想与数学转化能力，是中档题.
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．命题“，”的否定是“，”
B．若，则“”是“”的充分不必要条件
C．“”是“”的充要条件
D．若，，则
【答案】BD
【分析】对于A，由特称命题否定为全称命题分析判断，对于B，根据充分条件和必要条件的定义分析判断，对于C，举例判断，对于D，作差法分析判断
【详解】对于A，命题“，”的否定是“，”，所以A错误，
对于B，当时，，，而当时，，
所以“”是“”的充分不必要条件，所以B正确，
对于C，若，则，所以“”不是“”的充要条件，所以C错误，
对于D，因为，，所以，
所以，所以，所以D正确，
故选：BD
10．已知函数，下面说法正确的有（ ）
A．的图象关于原点对称
B．的图象关于y轴对称
C．的值域为
D．，且，
【答案】AC
【分析】根据函数奇偶性的定义和判定方法，可判定A正确，B不正确；化简函数为，结合，求得的取值范围，可判定C正确；结合函数的单调性，可判定D错误.
【详解】对于A中，由，可得函数为奇函数，函数的图象关于原点对称，故选项A正确，选项B错误；
对于C中，设，可得，所以，即，解得，
即函数的值域为，所以C正确；
对于D中，对，且，，可得函数为减函数，
而为单调递增函数，所以D错误.
故选：AC.
11．下列说法正确的是（ ）
A．函数且的图像恒过定点
B．若不等式的解集为或，则
C．函数的值域为
D．函数值域为．则实数的取值范围是
【答案】BCD
【分析】根据可判断A的真假；根据一元二次不等式的解集可确定，的值，从而确定B的真假；用换元法求函数的值域，判断C的真假；由函数的值域为，确定可求的取值范围，确定D的真假.
【详解】对于A：因为恒成立，
故函数恒过定点，故A错误；
对于B：因为不等式的解集为或，
可知：，可得，所以.故B正确；
对于C：设，则，，
则（当时取“”），故C正确；
对于D：函数的值域为，
故或，故D正确.
故选：BCD
12．已知函数，实数，满足，则（ ）
A．B．，，使得
C．D．
【答案】CD
【分析】根据函数解析式，作函数的图象，根据图象的特征，可得选项A、C的正误，根据基本不等式，可得选项B、D的正误.
【详解】画出函数的图象，如图所示．由图知，则，故A错，C对．
由基本不等式可得，所以，则，故B错，D对．
故选：CD．
三、填空题
13．已知幂函数在为增函数，则实数a的值为 .
【答案】4
【分析】利用幂函数的定义以及幂函数的单调性，列式求解即可.
【详解】因为为幂函数，
所以，解得或，
又在为增函数，
所以；
故答案为：4.
14．请写出一个同时满足下列三个条件的函数：
（1）是偶函数；（2）在上单调递减；（3）的值域是.
则 .
【答案】 (答案不唯一).
【分析】举出符合条件的函数即可.
【详解】如，
，，所以是偶函数；
时，，所以在上单调递减；
，的值域是.
故答案为：.答案不唯一.
15．已知函数（且）的图象恒过定点A，若点A在一次函数的图象上，其中实数m，n满足，则的最小值为 ．
【答案】4
【解析】根据指数函数的性质，可以求出点，把点代入一次函数，得出，然后利用不等式的性质进行求解．
【详解】∵函数且的图象恒过定点，可得 ，∵点在一次函数的图象上，∴，∵，所以 ，当且仅当时取得等号；
故答案为：4
【点睛】求得指数函数过定点是解决该题的关键．基本不等式最值注意“1”的妙用.
16．已知定义在上函数为单调函数，且对任意的实数，都有，则 ．
【答案】0
【分析】根据题意，分析可得为常数，设，变形可得，分析可得，可解得的值，即可得的解析式，将代入可得答案.
【详解】因是定义在上得单调函数，所以为定值，
设，由题意知，
则，令，得，
所以，所以，所以.
故答案为：0.
四、解答题
17．化简求值：
(1)；
(2)已知，求的值．
【答案】(1)
(2)4
【分析】（1）根据实数指数幂的运算法则及对数的运算性质求解即可；
（2）利用，即可求得的值，再平方即可求得的值，代入所求，即可得答案.
【详解】（1）=
．
（2）因为，所以，所以，所以，
所以，即，所以，
所以．
18．已知集合，集合．
(1)求；
(2)已知，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求出集合，再求其并集即可；
（2）求出集合，再由题意可得是的真子集，从而可求出实数的取值范围.
【详解】（1）由得，则，
由得，解得，则，所以；
（2），因为是的充分不必要条件
所以是的真子集，所以，即
19．已知幂函数经过点．
(1)求此幂函数的表达式和定义域；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)，定义域为；
(2).
【分析】（1）设，由，求出的值，可得出函数的解析式，进一步可求得该函数的定义域；
（2）分析可知函数是定义在上的减函数，根据所求不等式可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】（1）解：设，则，可得，解得，
所以，，
由可得，所以，函数的定义域为.
（2）解：由幂函数的性质可知，函数的定义域为，且在定义域上为减函数，
由可得，可得.
20．噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题.实践证明，声音强度分贝由公式b为非零常数给出，其中为声音能量.
（1）当声音强度满足时，求对应的声音能量满足的等量关系式；
（2）当人们低声说话，声音能量为时，声音强度为30分贝；当人们正常说话，声音能量为时，声音强度为40分贝.已知声音能量大于60分贝属于噪音，且一般人在大于100分贝小于120分贝的空间内，一分钟就会暂时性失聪，则声音能量在什么范围时，人会暂时性失聪.
【答案】（1）；（2）I.
【解析】（1）由题得出，根据对数运算法则化简即可得出；
（2）由题可列出，求出，再根据对数函数的单调性解不等式即可.
【详解】解：（1）当声音强度，满足时，
有，即，
得，，
，则；
（2）由题意，，解得.
，
由，得，解得，
故I时，人会暂时性失聪.
21．若函数在区间上的最大值为9，最小值为1.
(1)求a，b的值；
(2)若方程在上有两个不同的解，求实数k的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）令，则，根据二次函数的性质即可求出；
（2）令，方程化为，求出的变化情况即可求出.
【详解】（1）令，则，
则题目等价于在的最大值为9，最小值为1，
对称轴，开口向上，
则，解得；
（2）令，则，于是方程可变为，即，
因为函数在单调递减，在单调递增，
且，
要使方程有两个不同的解，则与有两个不同的交点，所以.
22．已知函数.
(1)若为偶函数，求实数m的值；
(2)当时，若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围；
(3)当时，关于x的方程在区间上恰有两个不同的实数解，求实数m的取值范围.
【答案】(1)-1；
(2)；
(3)
【分析】（1）根据偶函数解得：m=-1，再用定义法进行证明；
（2）记，判断出在上单增，列不等式组求出实数a的取值范围；
（3）先判断出在R上单增且，令，把问题转化为在上有两根，令，，利用图像有两个交点，列不等式求出实数m的取值范围.
【详解】（1）定义域为R.
因为为偶函数，所以，即，解得：m=-1.
此时，
所以
所以为偶函数，
所以m= -1.
（2）当时，不等式可化为：，
即对任意恒成立.
记，只需.
因为在上单增，在上单增，
所以在上单增，
所以，
所以，解得：，
即实数a的取值范围为.
（3）当时，在R上单增，在R上单增，所以在R上单增且.
则可化为.
又因为在R上单增，所以，换底得：
，即.
令，则，问题转化为在上有两根，
即，
令，，分别作出图像如图所示：
只需，解得：.
即实数m的取值范围为.
【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．