2023-2024学年广东省云浮市罗定中学城东学校高一上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年广东省云浮市罗定中学城东学校高一上学期12月月考数学试题含答案，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，单空题，计算题，问答题，证明题，应用题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．己知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先解不等式，然后按补集定义求补集，再用并集定义求解即可
【详解】或
所以，
故选：D
2．下列四组函数中，与表示同一函数的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】根据函数的定义：判断定义域是否相同，定义域相同时，对应法则是否相同，由此可得结论．
【详解】四个选项中函数的定义域都是实数集，AC选项中函数的定义域是，
D选项迥函数定义域是，定义域不相同，不是同一函数，
B选项定义域是，根据绝对值的定义知对应法则也相同，是同一函数．
故选：B．
3．若且，则函数的图象一定过点（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】令求出定点的横坐标，即得解.
【详解】解：令.
当时，，
所以函数的图象过点.
故选：C.
4．已知，，，则、、的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】结合对数函数和幂函数的性质即可判断大小关系.
【详解】因为函数在上单调递增，则，即.
又因为，所以.
故选：D.
5．已知幂函数在上单调递减，则a的取值范围是（ ）
A．1或B．C．1D．
【答案】C
【解析】利用幂函数定义得，解得：或，再分别代入检验函数的单调性，即可得解.
【详解】由幂函数定义得，解得：或．
当时，，利用幂函数性质知：在上单调递减；
当时，，利用幂函数性质知：在上单调递增，不符题意舍去.
故选：C.
6．函数是奇函数，且在内是增函数，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据题意得到函数在上是增函数，，进而结合函数的单调性和对称性求得答案.
【详解】因为函数且在上是增函数，，所以函数在上是增函数，.
于是，时，；时，；时，；时，.
所以，的解集为.
故选：D.
7．已知是定义在，上的偶函数，且在，上为增函数，则的解集为
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由偶函数定义域的对称性可求，从而可得在，上为增函数，在，上为减函数，距离对称轴越远，函数值越小，可求．
【详解】解：是定义在，上的偶函数，
，
，
在，上为增函数，
在，上为减函数，距离对称轴越远，函数值越小，
由可得，且，且，
解得，
故不等式的解集为．
故选：．
【点睛】本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．
8．若函数在上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意可得一次函数和指数函数都是减函数且临界点的函数值左侧大于等于右侧.
【详解】因为函数在上单调递减，
所以，解得，
所以实数的取值范围为.
故选：A.
二、多选题
9．函数y＝(a2－4a＋4)ax是指数函数，则a的值不可以是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】ACD
【分析】根据指数函数的定义，列出方程，得出a的值.
【详解】由指数函数的定义知a2－4a＋4＝1且a≠1，解得a＝3.
故选：ACD.
10．命题p：，是假命题，则实数b的值可能是（ ）
A．B．C．2D．
【答案】AB
【分析】根据特称命题与全称命题的真假可知：，，利用判别式小于即可求解.
【详解】因为命题p：，是假命题，
所以命题：，是真命题，也即对，恒成立，
则有，解得：，根据选项的值，可判断选项符合，
故选：.
11．对任意两个实数，，定义，若，，下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．函数是偶函数
B．方程有两个解
C．函数有4个单调区间
D．函数有最大值为0，最小值为-1
【答案】ABC
【分析】根据函数定义求出函数解析式，画出函数图象，通过图象观察函数的奇偶性、单调性、最值及零点，即可判断各项.
【详解】当，即或时，，
当，即时，，
则，作出函数图象可得，

由图知函数为偶函数，有两个零点，，
单调增区间为和，单调减区间为和，共4个单调区间，
当时，函数取得最大值为0，无最小值.
故选：ABC
12．(多选题)某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3km(不超过3km按起步价付费)；超过3km但不超过8km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元.下列结论正确的是（ ）
A．出租车行驶4km，乘客需付费9.6元
B．出租车行驶10km，乘客需付费25.45元
C．某人乘出租车行驶5km两次的费用超过他乘出租车行驶10km一次的费用
D．某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了9km
【答案】BCD
【分析】根据题意分别计算各个选项的情况，即可得答案.
【详解】对于A选项：出租车行驶4 km，乘客需付费8+1×2.15+1=11.15元，故A错误；
对于B选项：出租车行驶10 km，乘客需付费8+2.15×5+2.85×(10-8)+1=25.45元，故B正确；
对于C选项：乘出租车行驶5 km，乘客需付费8+2×2.15+1=13.30元，乘坐两次需付费26.6元，26.6>25.45，故C正确；
对于D选项：设出租车行驶x km时，付费y元，由8+5×2.15+1=19.75<22.6，知x>8，因此由y=8+2.15×5+2.85(x-8)+1=22.6，解得x=9，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】本题考查函数模型的应用，解题要点为认真审题，根据题意逐一分析选项即可，属基础题.
三、填空题
13．函数则 .
【答案】
【分析】根据分段函数特点逐步代入即可.
【详解】因为则，故.
故答案为：-2
四、单空题
14．已知函数满足：，求函数的解析式 ．
【答案】
【分析】利用换元法即可求解.
【详解】令，则，，
代入有，
因此，；
故答案为：.
五、填空题
15．已知函数的零点为，则，则 ．
【答案】2
【分析】根据函数的单调性及零点存在定理即得.
【详解】∵函数，函数在上单调递增，
又，
∴，即.
故答案为：2.
16．已知定义在上的偶函数满足，若，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】判断函数的单调性，结合单调性和奇偶性即可得关于实数的不等式，从而可求出其取值范围.
【详解】因为在上递增，所以在上递增.
因为为偶函数，所以等价于，
即，解得，
故答案为: .
六、计算题
17．化简或计算下列各式：
(1)
(2)已知，用a，b表示
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用指数幂的运算法则化简求解即可；
（2）利用对数运算法则及换底公式计算化简即可.
【详解】（1）；
（2）
，
又，所以
七、问答题
18．已知集合，，.
（1）若，求实数a取值范围；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）将元素1代入集合B中的不等式中，解不等式求解即可．
（2）根据充分条件和必要条件的定义转化为集合关系进行求解即可.
【详解】（1）若，则，得；
（2）由，得，即，
所以，，
因为“”是“”的充分不必要条件，所以B是A的真子集，
即，解得.
即实数a的取值范围是.
【点睛】关键点睛：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，以及不等式的求解，根据定义将充分不必要条件转化为集合关系是解决本题的关键．
19．已知二次函数.
(1)若为偶函数，求在上的值域；
(2)当时，恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）函数为二次函数，其对称轴为x＝a−1．由f（x）为偶函数，可得a＝1，再利用二次函数的单调性判断函数f（x）在[−1，3]上的值域；
（2）f（x）＞ax恒成立可转化为恒成立，可以先将参数单独提出来，再利用均值不等式判断的范围即可．
【详解】（1）根据题意，函数为二次函数，其对称轴为.
若为偶函数，则，解得，
则，又由，则有，
即函数的值域为.
（2）由题意知时，恒成立，即.
所以恒成立，
因为，所以，当且仅当，即时等号成立.
所以，解得，所以a的取值范围是.
20．已知函数（，且）的图象关于坐标原点对称．
（1）求实数的值；
（2）比较与的大小，并请说明理由．
【答案】（1）；（2）当时， ；当时， ，理由见解析
【分析】（1）将图象关于坐标原点对称转化为函数为奇函数，从而有在函数的定义域内恒成立，进而求得的值，再进行检验；
（2）根所在（1）中求得的值，得到，再求得的值，对
分两种情况讨论，从而得到的大小关系.
【详解】解：（1），．
又函数的图象关于坐标原点对称，为奇函数，
在函数的定义域内恒成立，
，
，
在函数的定义域内恒成立，
或．
当时，函数的真数为，不成立，
．
（2）据（1）求解知，，
，．
当时，函数在上单调递增，
，；
当时，函数在上单调递减，
，．
【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求解析式中参数值、对数函数的单调性比较大小，考查数形结合思想、分类讨论思想的运用，在比较大小时，注意对分和两种情况讨论.
八、证明题
21．已知函数是定义在上的奇函数，且.
(1)求的解析式；
(2)先判断函数在上的单调性，并证明；
【答案】(1)
(2)增函数；证明见解析
【分析】（1）利用奇函数性质及列方程计算求解即可；
（2）利用单调性的定义证明即可.
【详解】（1）根据题意，是奇函数，
则有，则有，解可得；
所以，又，所以，解可得，所以；
（2）在上为增函数；
证明如下：设，则，
因为，所以，，，，
则有，即，所以在上为增函数.
九、应用题
22．某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲（其覆盖面积为k），这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲的覆盖面积为，三月底测得凤眼莲的覆盖面积为，凤眼莲的覆盖面积（单位：）与月份（单位：月）的关系有两个函数模型与可供选择．
(1)试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式；
(2)求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份．
（参考数据：）．
【答案】(1)选择模型符合要求，
(2)六月份
【分析】（1）根据指数函数与幂函数的增长速度即可选得哪一个模型，再利用待定系数法即可求出该模型的解析式；
（2）由（1）结合已知可得，再结合已知数据即可得出答案.
【详解】（1）函数与在上都是增函数，
随着的增加，函数的值增加的越来越快，
而函数的值增加的越来越慢，
由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，因此选择模型符合要求，
根据题意可知时，；时，，
所以，解得，
故该函数模型的解析式为；
（2）当时，，元旦放入凤眼莲的覆盖面积是，
由，得，
所以，
又，
所以，即凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是六月份．