2023-2024学年河北省邯郸市永年区第二中学高一上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年河北省邯郸市永年区第二中学高一上学期12月月考数学试题含答案，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由交集的定义求解即可.
【详解】因为，
所以.
故选：C.
2．已知函数，则（ ）
A．B．C．3D．
【答案】C
【分析】根据函数的解析式的求法和根式的运算求解.
【详解】，所以，
所以3，
故选:C.
3．函数的图像恒过定点（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据对数函数的性质计算可得.
【详解】对于函数，令，解得，
所以，即函数恒过点.
故选：D
4．已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由对数的单调性以及中间值法可得,，即可比较大小.
【详解】因为,,,
故，
故选：B
5．若，则p成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先求出分式不等式的解集，进而结合选项根据充分不必要条件的概念即可求出结果.
【详解】因为，即，因此等价于，解得或，
结合选项可知p成立的一个充分不必要条件是，
故选：D.
6．在我们的日常生活中，经常会发现一个有趣的现象：以数字1开头的数字在各个领域中出现的频率似乎要高于其他数字．这就是著名的本福特定律，也被称为“第一位数定律”或者“首位数现象”，意指在一堆从实际生活中得到的十进制数据中，一个数的首位数字是（，，，）的概率为．以此判断，一个数的首位数字是1的概率与首位数字是5的概率之比约为（ ）
（参考数据：，）
A．2.9B．3.2C．3.8D．3.9
【答案】C
【分析】根据所给定义及对数的运算性质计算可得.
【详解】依题意一个数的首位数字是的概率为，一个数的首位数字是的概率为，
所求的比为
．
故选：C
7．函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】分析函数的定义域、奇偶性及其在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.
【详解】对于函数，有，解得且，
所以，函数的定义域为，
因为，函数为奇函数，排除CD选项，
当时，，则，排除B选项.
故选：A.
8．意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为．设函数，若实数a满足不等式，则a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，写出函数的解析式，由函数的奇偶性和单调性列出不等式，解之即可.
【详解】由题意可知：的定义域为，
因为，所以函数为奇函数，
又因为，且在上为减函数，
由复合函数的单调性可知：在上为增函数，
因为，所以，
所以，解得：或，
所以实数的取值范围为，
故选：D.
二、多选题
9．某同学用二分法求函数的零点时，计算出如下结果：，，，，.下列说法正确的有（ ）
A．的零点在区间内B．的零点在区间内
C．精确到0.1的近似值为1.4D．精确到0.1的近似值为1.5
【答案】BC
【分析】根据函数的单调性和零点存在性定理求得正确答案.
【详解】是增函数，因为，，
所以零点在内，所以A错误，B正确，
又1.4375和1.40625精确到0.1的近似数都是1.4，所以C正确，D错误.
故选：BC
10．下列说法正确的是（ ）
A．化成弧度是
B．化成角度是
C．若角，则角为第二象限角
D．若一扇形的圆心角为，半径为，则扇形面积为
【答案】BC
【分析】利用角度与弧度的互化可判断AB选项；利用象限角的定义可判断C选项；利用扇形的面积公式可判断D选项.
【详解】对于A选项，，A错；
对于B选项，，B对；
对于C选项，，故角为第二象限角，C对；
对于D选项，，故扇形的面积为，D错.
故选：BC.
11．给出下列四个结论，其中正确的结论是（ ）
A．函数的最小值为
B．已知函数（，且）在上是减函数，则的取值范围是
C．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象关于轴对称
D．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象关于直线对称
【答案】AD
【分析】利用和的单调性判定选项A正确；利用对数式真数为正和函数的单调性判定选项B错误；利用换底公式得到，再判定图象的对称性，即判定选项C错误；利用反函数的图象性质判定选项D正确.
【详解】对于A：令，则，
因为是减函数，所以，
即函数的最小值为，
即选项A正确；
对于B：函数在上是减函数，
所以，解得，
即选项B错误；
对于C：因为，
所以与的图象关于轴对称，
即选项C错误；
对于D：因为与互为反函数，
所以它们的图象关于直线对称，
即选项D正确.
故选：AD.
12．给出定义：若，则称为离实数最近的整数，记作．在此基础上给出下列关于函数的四个结论，其中正确的是（ ）
A．函数的定义域为R，值域为
B．函数的图象关于直线对称
C．函数是偶函数
D．函数在上单调递增
【答案】ABC
【分析】根据函数的定义，画出函数的图象，根据图象判断即可.
【详解】根据的定义知函数的定义域为，，即，所以，函数的值域为，A正确；
函数的图象如图所示，由图可知的图象关于直线对称，B正确；
由图象知函数是偶函数，C正确；
由图象知D不正确．
故选：ABC．
【点睛】本题的关键在于理解的含义，然后写出函数的解析式，根据解析式作出函数的图象，进而通过图象判断函数的性质.
三、填空题
13．已知角的终边经过点，则 ．
【答案】/
【分析】根据三角函数的定义求解即可.
【详解】∵角的终边经过点，
∴，，，
∴．
故答案为：．
14．计算： ．
【答案】9
【分析】利用指数幂的运算及对数的运算法则，对式子进行运算即可.
【详解】原式.
故答案为：9
15．已知，，且，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】先得到，然后利用的代换的方法，结合基本不等式求得的最小值.
【详解】因为，所以，
则（当且仅当时，等号成立）．
故答案为：
16．已知函数是上的单调函数，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据函数单调性即可求出实数a的取值范围.
【详解】因为且，所以当时，函数只能单调递减，
所以函数在上单调递减，
所以，解得，即实数a的取值范围是.
故答案为：
四、解答题
17．设全集U=R，函数的定义域为集合A，集合.
（1）若，求A∩B；
（2）若求实数a的取值范围.
【答案】（1）；（2）或.
【解析】（1）由二次根式的性质及指数不等式可得、，再由集合的交集即可得解；
（2）由补集的概念可得或，再由集合间的关系即可得解.
【详解】由可得，所以，
由指数不等式可得，
（1）当时，，
所以；
（2）因为或，，，
所以或，
所以实数a的取值范围为或.
【点睛】本题考查了函数定义域、指数不等式的求解及集合的运算，考查了由集合的包含关系求参数，属于基础题.
18．已知，且为第三象限角.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）；（2），.
【解析】（1）将化为即可求出；
（2）由，即可求出.
【详解】（1），
；
（2），即
，即，
为第三象限角，，.
19．燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5lg2，单位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量．
(1)试计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？
(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？
【答案】(1)80(2) 15 m/s.
【详解】解：(1)由题意知，当燕子静止时，它的速度为0，代入题目所给公式可得
0＝5lg2，解得Q＝10，
即燕子静止时的耗氧量为10个单位．
(2)将耗氧量Q＝80代入公式得
v＝5lg2＝5lg28＝15(m/s)，
即当一只燕子耗氧量为80个单位时，它的飞行速度为15m/s.
20．若函数为奇函数．
(1)求a的值；
(2)求函数的定义域；
(3)求函数的值域．
【答案】（1）；（2）{x|x≠0}；（3）或.
【详解】试题分析：（1）由奇函数定义可得f(－x)＋f(x)＝0，即可求参；
（2）由3x－1≠0，即可得定义域；
（3）由0＞3x－1＞－1或3x－1＞0即可得值域.
试题解析：
函数y＝f(x)＝＝a－.
(1)由奇函数的定义，可得f(－x)＋f(x)＝0，即2a－－＝0，∴a＝－.
(2)∵y＝－－，∴3x－1≠0，即x≠0.
∴函数y＝－－的定义域为{x|x≠0}．
(3)∵x≠0，∴3x－1≠0，∴0＞3x－1＞－1或3x－1＞0.
∴－－＞或－－＜－.
即函数的值域为.
21．已知幂函数在定义域内单调递增．
(1)求的解析式；
(2)求关于x的不等式的解集．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）取，再验证单调性得到答案.
（2）根据函数的单调性和定义域得到不等式，解得答案.
【详解】（1）幂函数在定义域内单调递增，
故，解得或，
当时，在上单调递减，在上单调递增，不满足；
当时，在上单调递增，满足；
故.
（2）在上单调递增，，
故，解得或，即.
22．已知函数.
(1)写出函数的定义域并判断其奇偶性；
(2)若，求实数的取值范围.
(3)若存在使得不等式成立，求实数的最大值.
【答案】(1)定义域为，偶函数
(2)
(3).
【分析】（1）根据函数奇偶性的定义和判定方法，即可求解；
（2）根据题意，由不等式，得出不等式组，即可求解；
（3）根据题意，转化为，结合对数型函数的单调性，求得，列出不等式，即可求解.
【详解】（1）解：由函数有意义，则满足，解得，
所以函数的定义域为，关于原点对称，
又由，
所以函数为定义域上偶函数.
（2）解：由函数，
可得，
又由，可得，解得，
即实数的取值范围为.
（3）解：若存在使得不等式成立，即，
由，其中，
因为函数在上单调递增，在上单调递减，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
可得，所以，即，
所以实数的最大值为.