2023-2024学年河南省创新发展联盟高一上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年河南省创新发展联盟高一上学期12月月考数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，单空题，计算题，问答题，证明题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，直接写出来即可.
【详解】全称量词命题的否定是存在量词命题，则命题“，”的否定是“，”.
故选：C
2．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】通过推理得到是的真子集，从而根据交集，并集和补集的概念进行计算，对四个选项一一进行判断正误.
【详解】因为，，
所以是的真子集，故，
所以，故A错误， B正确；
则，故D错误；
因为，所以，故C错误.
故选：B.
3．已知函数，则（ ）
A．B．1C．7D．5
【答案】B
【分析】由分段函数性质分别代入计算即可求得结果.
【详解】由题意可知：，
，
故.
故选：B
4．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据函数和的单调性比较大小.
【详解】因为是减函数，且，所以，即，
因为是减函数，，所以，所以，
故.
故选：A.
5．巴布亚企鹅，属鸟类，是企鹅家族中游泳速度最快的种类，时速可达36千米，也是鸟类中当之无愧的游泳冠军，其模样憨态有趣，有如绅士一般，十分可爱，被称为“绅士企鹅”，若小迪是一只鸟，则“小迪是巴布亚企鹅”是“小迪会游泳”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分条件、必要条件的概念判断即可.
【详解】会游泳的鸟有很多种，巴布亚企鹅是其中的一种，
则“小迪是巴布亚企鹅”可以推出“小迪会游泳”，但“小迪会游泳”并不能推出“小迪是巴布亚企鹅”.
所以“小迪是巴布亚企鹅”是“小迪会游泳”的充分不必要条件.
故选：B
6．今年10月份，自然资源部联合国家林业和草原局向社会公布贡嘎山等9座山峰高程数据，其中狮子王高程数据为4981.3m，夏诺多吉高程数据为5951.3m.已知大气压强p（单位：Pa）随高度h（单位：m）的变化满足关系式，是海平面大气压强，，则狮子王山峰峰顶的大气压强是夏诺多吉山峰峰顶的大气压强的（ ）
A．倍B．倍C．D．
【答案】A
【分析】根据对应高程数据可求得大气压强表达式，再由对数运算法则即可得出结果.
【详解】设夏诺多吉山峰峰顶的大气压强为，狮子王山峰峰顶的大气压强为，
则，两式相减得，
即.
故选：A
7．若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由题意可得，且方程的根为，利用韦达定理求出，再根据一元二次不等式的解法即可得解.
【详解】因为关于的不等式的解集是，
所以，且方程的根为，
故，则，，
故不等式等价于，
即，解得或，
所以关于的不等式的解集是.
故选：B.
8．已知，且，函数是上的单调函数，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由题意知原函数是定义域上的单调减函数，于是再分析当在上单调递增时，可得答案.
【详解】当在上单调递减时，解得；
当在上单调递增时，解得.
综上，的取值范围是.
故选:C.
二、多选题
9．下列命题中是真命题的是（ ）
A．所有三角形的内角和都是180°
B．所有素数都是奇数
C．有些一元二次方程在实数范围内无解
D．存在一个实数的绝对值不是正数
【答案】ACD
【分析】逐项分析判断即得.
【详解】所有三角形的内角和都是180°，则A是真命题；
2是素数，但2不是奇数，则B是假命题；
有些一元二次方程在实数范围内无解，例如，则C是真命题；
0的绝对值是0，不是正数，则D是真命题.
故选：ACD.
10．已知函数的定义域为，若对任意的，都存在正数，使得成立，则称是定义在上的“有上界函数”.下列函数是“有上界函数”的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】分别求出各选项的值域，进而可得的取值范围，进而可判断各选项.
【详解】A选项：，则，
所以不存在正数，使得成立，则A选项错误；
B选项：因为，所以，则，
当时，成立，则B选项正确；
C选项：因为，所以，所以，则，
当时，成立，则C选项正确；
D选项：因为，所以，，
当时，成立，则D选项正确；
故选：BCD.
11．已知，，且，则（ ）
A．的最小值是3B．的最大值是
C．的最大值是D．的最小值是2
【答案】ABD
【分析】利用基本不等式中“1”的妙用可判断A，直接由基本不等式可判断B，将变形后用基本不等式可判断C，由化简后利用基本不等式可判断D.
【详解】对于A，因为，所以，
当且仅当，即时，等号成立，则A正确.
对于B，因为，所以B正确.
对于C，，
当且仅当时，等号成立，所以C错误.
对于D，，
当且仅当时，等号成立，则D正确.
故选：ABD
12．已知函数，，，是函数的4个零点，且，则（ ）
A．的取值范围是B．
C．的最小值是4D．的最大值是
【答案】BD
【分析】作出的大致图象，将函数的零点的个数问题转化为两个函数图象交点个数的问题，以此确定的取值范围，根据零点的大小关系，确定函数值之间的关系.
【详解】作出的大致图象，如图：
对于A，有四个零点，即有四个不同的根，
的图象与的图象有四个不同的交点，由图可知，故A错误；
对于B，因为，是的两根，所以，
所以，即，则，故B正确；
对于C，因为，是的两根，所以，
所以，即，所以，则，
令，易知在单调递减，在单调递增，
易得，所以在单调递减，
，即，故C错误；
对于D，因为，所以，
当且仅当，即时，等号成立，
因为，所以，故D正确.
故选：BD.
三、单空题
13．函数的定义域是 .
【答案】
【分析】求函数的定义域就是求使这个式子有意义的的取值范围，偶次根式的被开方数大于等于0，分式的分母不为0，对数的真数大于0.
【详解】由题意可得，解得，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
14．已知幂函数是奇函数，则 .
【答案】27
【分析】利用幂函数和奇函数求解的值，再求解.
【详解】由题意可得，解得或.
因为是奇函数，所以，
故，则.
故答案为：27
15．函数的图象恒在函数图象的上方，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据题意可得恒成立，即恒成立，然后分类讨论，即可求解.
【详解】由题意可得恒成立，即恒成立，
当时，恒成立，符合题意；
当时，由解得；
故的取值范围为.
故答案为：.
16．已知都不为1的正数a，b，c，m满足.若，则m的取值范围是 .
【答案】
【分析】可知，，利用函数在R上为减函数求的取值范围.
【详解】因为，，，是都不为1的正数，且，所以，，且为方程的解.
设，因为，，所以在上单调递减.
又，所以.
故答案为：
四、计算题
17．（1）计算：；
（2）已知，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）利用对数的概念和运算求值；
（2）利用指数式和对数式的关系求值.
【详解】（1）.
（2）因为，所以，则.
五、问答题
18．已知集合，.
(1)当时，求；
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）算出，即可计算出；
（2）分是否为空集计算即可.
【详解】（1）由题意可得，
当时，，则，
故.
（2）当时，，解得，此时，符合题意，
当时，由，可得解得，
综上，的取值范围为.
19．定义在上的奇函数满足：当时，.
(1)求的解析式；
(2)求不等式的解集.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用函数的奇偶性求出解析式即可.
（2）对分段函数进行讨论，去掉绝对值后解不等式即可.
【详解】（1）当时，，.
因为是定义在上的奇函数，所以.
（2）当时，，，即，
即，解得.
当时，，，即，
即，解得.
故不等式的解集是.
六、证明题
20．已知函数.
(1)证明：是上的增函数；
(2)若，且，求的值.
【答案】(1)证明见解析
(2)19
【详解】（1）证明：设，
则
.
因为，所以，，
所以，即，
故是上的增函数.
（2）解：因为，
所以，是方程的两个不同实根，
即，是方程的两个不同实根，
则，，
故.
七、问答题
21．某厂家生产某类产品进行销售，已知该厂家的该类产品年销量（单位：万件）与年广告宣传费用（单位：万元）之间满足关系式，生产该类产品每年的固定投入费用为8万元，每年政府的专项补贴为万元，每件产品的生产费用为64元.已知该厂家销售的该类产品的产品单价每件产品的生产费用平均每件产品的广告宣传费用，且该厂家以此单价将其生产的该类产品全部售出.
(1)请写出该类产品的年度总利润（单位：万元）与年广告宣传费用（单位：万元）之间的函数关系式.（注：年度总利润年销售总收入+年度政府的专项补贴-总成本，总成本固定投入费用+生产总费用+年广告宣传费用）
(2)试问该厂家应投入多少万元的广告宣传费用，才能使该类产品的年度总利润最大？并求出最大年度总利润.
【答案】(1).
(2)该厂家应投入11万元的广告宣传费用，才能使该类产品的年度总利润最大，最大年度总利润为89万元.
【分析】（1）根据题意先表示出年生产量为万件时的总成本和年销售总收入；再根据年度总利润公式即可得出结果；
（2）先对（1）中的总利润进行变形；再利用基本不等式求解即可.
【详解】（1）由题意知，当年生产量为万件时，总成本为（万元），
当销售量为万件时，年销售总收入为（万元），
由题意得，
即.
（2）由（1）得，
因为，
所以，
则
，
当且仅当，即时，等号成立.
故该厂家应投入11万元的广告宣传费用，才能使该类产品的年度总利润最大，最大年度总利润为89万元.
22．已知函数满足．
(1)求的解析式；
(2)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围，
(3)已知实数，，满足，当时，恒成立，求的最大值．
【答案】(1)
(2)
(3)2
【分析】（1）换元法求函数解析式即可得解；
（2）分离参数后利用均值不等式求最值可得参数取值范围；
（3）由题意转化为，利用均值不等式分析最小取值，解出的取值范围即可.
【详解】（1）令，得，则，
故的解析式为．
（2）对任意的，不等式恒成立，
即，
因为，所以．
设，
因为，所以，，所以，
则，
故，即的取值范围为．
（3）由，得，
由，得，
即，，当且仅当时，等号成立．
因为，所以，
所以，即，，解得，
因为，所以的最大值为2．