2023-2024学年重庆市杨家坪中学高一上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年重庆市杨家坪中学高一上学期12月月考数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．设集合，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先将全集用列举法表示出来，然后根据集合的补集、交集运算即可求解.
【详解】由题意，
又，所以，
又，所以.
故选：C.
2．“，关于的不等式恒成立”的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用二次函数图象结合充分必要条件求解即可.
【详解】由“，关于的不等式恒成立”，
等价于，解得，
则“”的一个充分不必要条件是.
故选：B.
3．已知幂函数的图象经过点，则的值是（ ）
A．B．1C．D．-1
【答案】A
【分析】设，代入点的坐标求得，然后再计算函数值．
【详解】，则由题意和，，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查幂函数的定义，考查对数的运算，属于基础题．
4．已知函数的部分函数值如下表所示：
那么的一个零点的近似值（精确到0.01）为（ ）
A．0.55B．0.57C．0.65D．0.70
【答案】B
【分析】根据给定条件直接判断函数的单调性，再结合零点存在性定理判断作答.
【详解】因为在上均单调递增，
则函数在R上单调递增，
由数表知：，
由零点存在性定义知，函数的零点在区间内，
所以函数的一个零点的近似值为.
故选：B
5．设，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出的大小关系.
【详解】因为，
，
，
所以.
故选：D.
【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.
比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：
（1）利用指数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；
（2）利用对数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；
（3）借助于中间值，例如：0或1等.
6．若关于的不等式的解集中恰有个整数，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】含参解一元二次不等式，分类讨论的范围确定整数解即可.
【详解】由，得，
当时，不等式的解集为，不符合题意，舍去；
当时，不等式的解集为，此时若有个整数解，
此时，解集中的三个整数分别为、、，则需；
当时，不等式的解集为，此时若有个整数解，
此时，解集中的三个整数分别为、、，则需
综上：所以或，
故选：A．
7．已知与分别是定义在上的奇函数和偶函数，并且，则（ ）
A．2B．C．D．
【答案】C
【分析】分别令取1和-1，利用奇偶性得到和的方程组，解方程即可.
【详解】分别令取1和-1得，
因为与分别是定义在上的奇函数和偶函数，
所以，解的.
故选：C.
8．对实数a和b，定义运算“◎”：，设函数（），若函数的图象与x轴恰有1个公共点，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据定义求出的解析式，在同一个坐标系作出与的图像，即可得到答案.
【详解】因为，，
所以：当，即：，解得：，此时：；
当时，在区间上有最小值：，
当时，在区间上有最大值：
所以：当时，
当，即：，解得：或，此时，
当时，单调递增，所以：，
当时，单调递减，所以：，
所以：当或，
作出的图象，如图所示：
函数的图象与轴恰有1个公共点，转化为函数的图象与直线恰有1个交点，
由图象并结合各分段区间上的的值，可得：或，
则实数m的取值范围是.故D项正确.
故选：D.
二、多选题
9．已知命题，为真命题，则实数的取值可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【解析】由题意可得出，求出实数的取值范围，由此可得出合适的选项.
【详解】由于命题，为真命题，则，解得.
符合条件的为A、C选项.
故选：AC.
10．下列结论中，正确的是（ ）
A．函数是指数函数
B．函数的值域是
C．若，则
D．函数的图像必过定点
【答案】BD
【解析】对每一个选项进行逐一判断其真假，得出答案.
【详解】选项A. 根据指数函数的定义，可得不是指数函数，故A 不正确.
选项B. 当时，，故B正确.
选项C. 当时，函数单调递减，由，则，故C不正确.
选项D. 由，可得的图象恒过点，故D正确.
故选：BD
【点睛】本题考查命题真假的判断，考查指数函数的定义、单调性以及图象过定点的应用，属于基础题.
11．若实数a，b满足，则下列说法正确的有（ ）
A．的取值范围为B．的取值范围是
C．的取值范围是D．的取值范围是
【答案】ABC
【分析】利用不等式的性质判断AB；求得，然后利用不等式的性质判断CD；
【详解】由，两式相加得，即，故A正确；
由，得，又，两式相加得，即，故B正确；
设，
所以，解得，则，
因为，所以，
又因为，所以，
所以，即，故C正确，D错误.
故选：ABC.
12．下列说法中错误的为（ ）
A．若函数的定义域为，则函数的定义域为
B．若，则
C．函数的值域为：
D．已知在上是增函数，则实数的取值范围是
【答案】BC
【分析】根据复合函数定义域判断A；根据凑项法求函数解析式即可判断B；利用指数复合函数结合换元法与函数单调性求得函数值域，从而判断C；根据分段函数的单调性列不等式求实数的取值范围，即可判断D.
【详解】若函数的定义域为，则函数的定义域满足，解得，所以函数的定义域为，故A正确；
若，则，故B错误；
对于函数的，令，则，该函数在上递增，所以其值域为，故C错误；
已知在上是增函数，则，解得，则实数的取值范围是，故D正确.
故选：BC.
三、填空题
13．与终边相同的最小正角是 ．
【答案】
【分析】用诱导公式（一）转化即可.
【详解】因为，所以与终边相同的最小正角是.
故答案为：.
14．函数的单调减区间为 .
【答案】
【分析】首先求出函数定义域，再利用“同增异减”的原则分析即可.
【详解】令，解得或，
则函数的定义为，又因为内函数的对称轴为，
所以内函数在上单调递减，又因为外函数为单调递增函数，
根据复合函数单调性“同增异减”的原则得的单调递减区间为，
故答案为：.
15．对满足的任意正实数x，y，不等式恒成立，则实数m的取值范围是 .（用区间或集合的形式表示）
【答案】
【分析】先根据“1”的代换结合基本不等式得出，.进而由已知得出，求解即可得出答案.
【详解】因为
，
当且仅当，且，即，时取等号.
所以，.
又不等式恒成立，
所以，
所以，解得.
所以，的取值范围为.
故答案为：.
16．已知函数，若方程有四个不同的解，且，则的取值范围是 ，的最大值是 .
【答案】
【分析】画出的图象，再数形结合分析参数的的最小值，再根据对称性与函数的解析式判断中的定量关系化简再求最值即可.
【详解】画出的图象有：
因为方程有四个不同的解，故的图象与有四个不同的交点，又由图，，
故的取值范围是.
又由图可知，，
故，故
故.
又当时，.当时，，故.
又在时为减函数，故当时取最大值.
故答案为： ；4
四、解答题
17．已知.
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分子分母同除以计算即可得答案.
（2）将分母看成1并用表示，进而分子分母同除以即可计算求解得答案.
【详解】（1）解：.
（2）解：
18．已知集合，集合．
(1)若集合中不等式的解集为，求的数值；
(2)“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据二次不等式的解集可得对应二次方程的解，代入方程可得参数值；
（2）分别解不等式可得集合，由必要不充分条件条件可知，可得参数范围.
【详解】（1）由集合中不等式的解集为，
可知方程的两个解分别为，，
代入方程，解得；
（2）解不等式可得，，
又“”是“”的必要不充分条件，
则，
所以，
即.
19．已知是定义在上的奇函数，当时，．
(1)求的解析式；
(2)若方程有两个实数解，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，则，，然后由函数是定义在上的奇函数求解的解析式.
（2）在同一坐标系中作出函数的图象，根据方程有两个解，转化为函数的图象有两个交点求解.
【详解】（1）设，则，
所以，
因为函数是定义在上的奇函数，
所以
所以；
（2）在同一坐标系中作出函数的图象，
因为方程有两个解，
所以函数的图象有两个交点，
由图象知：或，
所以的取值范围是.
20．第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬奥会于2022年2月4日开幕.冬奥会吉祥物“冰墩墩”早在2019年9月就正式亮相，到如今已是“一墩难求”，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办.某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为200万元.每生产x万盒，需投入成本h（x）万元，当产量小于或等于50万盒时；当产量大于50万盒时，若每盒玩具手办售价200元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售完.（利润=销售总价-成本总价，销售总价=销售单价×销售量，成本总价=固定成本+生产中投入成本）
(1)求“冰墩墩”玩具手办销售利润y（万元）关于产量x（万盒）的函数关系式；
(2)当产量为多少万盒时，该企业在生产中所获得利润最大，最大利润为多少万元.
【答案】(1)；
(2)产量为70万盒，最大利润为1200万元.
【分析】（1）根据产量的范围，分段列出函数关系式，即得答案.
（2）求出每段函数的最大值，再比较大小即可作答.
【详解】（1）依题意，当时，，
当时，，
所以销售利润y（万元）关于产量x（万盒）的函数关系式为：.
（2）当 时，单调递增，，当且仅当时取等号；
当 时，，当且仅当时取等号，而，
因此当时，，
所以当产量为70万盒时，该企业在生产中所获得利润最大，最大利润为1200万元.
21．已知函数.
（1）求函数的定义域；
（2）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（3）若恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】（1）；（2）是偶函数，理由见解析；（3）.
【解析】（1）根据对数的真数大于零可得，且，解不等式可得答案；
（2）证明，根据奇偶性的定义可得答案；
（3）利用对数的运算性质化简，然后得到，进而可得实数m的取值范围为.
【详解】（1）由题意知：且
解得：
所以的定义域为，
（2）因为，，
且
所以是偶函数
（3）因为
所以
因为(当且仅当时等号成立)
所以，
因为恒成立，
所以实数m的取值范围为.
【点睛】方法点睛：判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：（1）直接法， (正为偶函数，负为奇函数)；（2）和差法， （和为零奇函数，差为零偶函数）；（3）作商法， （ 为偶函数， 为奇函数） .
22．已知函数对任意实数m、n都满足等式，当时，，且．
(1)判断的奇偶性；
(2)判断的单调性，求在区间上的最大值；
(3)是否存在实数a，对于任意的，，使得不等式恒成立．若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)奇函数；
(2)为上的减函数；在上的最大值为6；
(3)存在，实数a的取值范围为．
【分析】（1）赋值法得到，，得到函数的奇偶性；
（2）先由时，利用赋值法得到函数单调递减，再用赋值法和奇偶性得到，从而得到在区间上的最大值；
（3）先根据单调性得到，问题转化为，恒成立，令，为一次函数，得到不等式组，求出实数a的取值范围.
【详解】（1）取，则，
∴，
取，，则，
∴对任意恒成立，
∴为奇函数；
（2）任取且， 则，
因为，故，
令，则有，
即，
∵时，，
故时，，
∴，
∴．
故为上的减函数．
∴，，
∵，，
令，则，故，
因为
令，则，即，
由（1）知：为奇函数，故，
故，解得：，
故，
故在上的最大值为6；
（3）∵在上是减函数，
∴，
∵，对所有，恒成立．
∴，恒成立；
即，恒成立，
令，则，即，
解得：或．
∴实数a的取值范围为．
1
0.625
0.5625
0.632
0.2776
0.0897