2023-2024学年江苏省徐州市沛县四校联考高一上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年江苏省徐州市沛县四校联考高一上学期12月月考数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出两个集合，再利用交集含义即可得到答案.
【详解】，，
则，
故选：B.
2．命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题求解.
【详解】命题“”的否定是“”.
故选：D.
3．扇形的圆心角为弧度，周长为，则它的面积为（ ）
A．5B．6C．8D．9
【答案】D
【分析】根据扇形面积公式计算即可.
【详解】设半径为，则周长，则，扇形面积，故选D．
4．已知为R上的奇函数，当时，，则的值是（ ）
A．19B．7C．D．
【答案】C
【分析】利用奇函数的性质即可得解.
【详解】因为当时，，所以，
又为定义在上的奇函数，所以.
故选：C.
5．如图所示，函数的图像大致为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先由函数解析式得到函数的奇偶性，再结合时的图像，即可得出结果.
【详解】的定义域为,，图像关于轴对称，可排除选项A,B；又因为当时，，所以选C.
【点睛】本题主要考查函数的图像与性质，熟记函数图像与性质即可，属于常考题型.
6．已知函数的图像恒过的定点，且点在直线上，则的最小值为（ ）
A．4B．1C．2D．5
【答案】B
【分析】由给定条件求出点A的坐标即可得出，再利用“1”的妙用即可得解.
【详解】函数中，由可得，，
即函数的图象恒过定点.
若点在直线上，即有，
于是得，
当且仅当,即时取等号成立.
所以时，的最小值为1.
故选：B.
7．小强在研究幂函数的图像和性质时得到如下结论，则其中正确的是（ ）
A．幂函数的图像必过定点和
B．幂函数的图像不可能过第四象限
C．幂函数为偶函数
D．幂函数在其定义域上为减函数
【答案】B
【分析】不过，A错误，根据定义域排除C，举反例得到D错误，B正确，得到答案.
【详解】对选项A：不过，错误；
对选项B：时，，幂函数的图像不可能过第四象限，正确；
对选项C：幂函数的定义域为，是非奇非偶函数，错误；
对选项D：时，；时，，不是定义域上减函数，错误；
故选：B.
8．已知某物种年后的种群数量近似满足函数模型：．自2023年初起，经过年后，当该物种的种群数量不足2023年初的时，的最小值为（参考数据：）（ ）
A．10B．11C．12D．13
【答案】D
【分析】确定2023年初的种群数量为时的函数值，根据题意可列不等式，结合对数运算即可求得答案.
【详解】由题意可知2023年初的种群数量为时的函数值，
故令，即，
则，
由于，故n的最小值为13，
故选：D
二、多选题
9．下列各式中，最小值为4的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【分析】对于A，当时，无最小值；对于B，由于的最大值为1，所以取不到最小值4；对于C，D，利用基本不等式可求解.
【详解】对于A，当时，，所以无最小值，A不符合题意
对于B，由已知，所以，当即时，取等号，而的最大值为1，所以等号取不到，所以 的最小值不是4，即B不符合题意
对于C，，当即时，取等号，所以最小值为4，C符合题意
对于D，，当，即时，取等号，所以 的最小值为4，所以符合题意．
故选：CD．
【点睛】此题考查基本不等式求最值的方法，注意基本不等式应用的条件，时，才有，并注意等号成立的条件，属于基础题.
10．下列说法中正确的是（ ）
A．任取，均有
B．图象经过的幂函数是偶函数
C．在同一坐标系中，函数与的图象关于轴对称
D．方程有两根
【答案】ACD
【分析】对选项A，根据指数函数的图象可判断；对选项B，求出幂函数就可以判断；对于选项C，根据图象可以判断；对于选项D，运用数形结合即可知结果.
【详解】对选项A，令，，当时，的图象恒在的上，则A正确；
对选项B，设，则，解得，则，所以函数不是偶函数，故B错误；
对选项C，函数与的图象关于y轴对称，往上平移1个单位就得到函数与的图象，所以还关于y轴对称，故C正确；
对选项D，方程的根即为函数图象交点的横坐标，
在同一坐标系中作出两函数的图象，则两函数图象共有两交点，则方程有两根，故D正确；
故选：ACD．
11．下列表达式正确的是（ ）
A．若，则
B．在锐角中，恒成立
C．
D．，，
【答案】BCD
【分析】利用诱导公式及同角三角函数关系化简判断A、C；由且结合诱导公式判断B；作差法比较大小判断D.
【详解】A：由题设，
又，故，错；
B：由题意且，则，所以，对；
C：，对；
D：由，
又，，故，故，
所以，对.
故选：BCD
12．已知的定义域为且为奇函数，为偶函数，且对任意的，，且，都有，则下列结论正确的是（ ）
A．是偶函数B．
C．的图象关于对称D．
【答案】ABC
【分析】由已知奇偶性得出函数的图象关于点对称且关于直线对称，再得出函数的单调性，然后由对称性变形判断ABC，结合单调性判断D．
【详解】为奇函数，为偶函数，
所以的图象关于点对称且关于直线对称，故C正确；
所以，，，
，所以是周期函数，4是它的一个周期．
，
，故B正确；
，是偶函数，A正确；
对任意的，且，都有，即时，
，所以在是单调递增，
，，，
，∴，故D错．
故选：ABC．
【点睛】关键点睛：本题的关键是得到函数的对称性、单调性和周期性，再利用这些性质逐项分析即可.
三、填空题
13．已知，则的最小值为 .
【答案】
【分析】由对数的运算性质得，然后利用基本不等式即可求得最小值.
【详解】由题得，，且，
所以，
，当且仅当时等号成立，又，
解得，
故答案为：.
14．已知幂函数在上单调递增，则的解析式是 .
【答案】
【分析】根据幂函数的定义和性质求解.
【详解】解：是幂函数，
，解得或，
若，则，在上不单调递减，不满足条件；
若，则，在上单调递增，满足条件；
即.
故答案为：
15．已知是定义在R上的偶函数，且在上单调递减，，则关于x的不等式的解集为 .
【答案】
【分析】由题设可得偶函数在上递减，在上递增，且，应用奇偶性、单调性求解集即可.
【详解】由题设，易知偶函数在上递减，在上递增，且，
所以，故，可得或，
所以或，故解集为.
故答案为：
16．已知直线与函数和函数的图象分别交于两点，若，则线段中点的纵坐标为 .
【答案】
【分析】由，平方后可求得，根据可求得线段中点的纵坐标.
【详解】由题意知：，
，；
设中点的纵坐标为，
当时，，，，
，.
故答案为：.
四、解答题
17．（1）设全集为，，，求；
（2）．
【答案】（1）或（2）
【分析】（1）根据补集和交集的知识求得正确答案；
（2）根据对数的运算法则计算即可.
【详解】（1）或，
所以或.
（2）
18．已知函数（且）的图象经过点．
(1)求的值；
(2)求函数的值域．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接代入即可求出值；
（2）求出，再根据指数函数值域即可得到答案.
【详解】（1）因为的图象经过点，
则，又且，所以．
（2）当时，，则，
因为，所以在上单调递增，
则，即，
所以的值域为．
19．已知角满足______．请从下列三个条件中任选一个作答．（注：如果多个条件分别作答，按第一个解答计分）．
条件①：角的终边与单位圆的交点为；
条件②：角满足；
条件③：角满足．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)时，原式；时，原式；
【分析】（1）利用三角函数定义以及同角三角函数的平方关系即可解得；
（2）将分母看成“1”，将表达式化为只含有的式子代入计算即可求得结果.
【详解】（1）条件①：因为角的终边与单位圆的交点为，
可得，，由三角函数的定义可得
条件②：因为角满足，
又因为，即可得
所以，可得
条件③：因为角满足，又因为，
即，可得
又，∴，
即
（2）易知
由（1）可知：，
当时，原式；
当时，原式.
20．天气转冷，宁波某暖手宝厂商为扩大销量，拟进行促销活动.根据前期调研，获得该产品的销售量万件与投入的促销费用万元满足关系式（为常数），而如果不搞促销活动，该产品的销售量为4万件.已知该产品每一万件需要投入成本20万元，厂家将每件产品的销售价格定为元，设该产品的利润为万元.（注：利润销售收入投入成本促销费用）
(1)求出的值，并将表示为的函数；
(2)促销费用为多少万元时，该产品的利润最大？此时最大利润为多少？
【答案】(1)，
(2)当促销费用为7万元时，该产品的利润最大，最大利润为123万元
【分析】（1）先由已知条件求出待定系数，写出促销费用关系式，计算销售收入、投入成本，再表达利润即可；
（2）将函数关系式作配凑变形，利用基本不等式求最值.
【详解】（1）由题知，时，，
于是，，解得.
所以，.根据题意，
即
所以
（2）
当且仅当，即时，等号成立.
所以当促销费用为7万元时，该产品的利润最大，最大利润为123万元.
21．已知函数为奇函数.
（1）求实数的值，并用定义证明是上的增函数；
（2）若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围.
【答案】（1），证明见解析；（2）.
【分析】（1）由函数奇偶性的性质，求得，再利用函数的单调性的定义与判定方法，即可是上的增函数；
（2）由函数为奇函数，且在上单调递增，把不等式转化为在上有解，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】（1）因为定义在上的奇函数，可得，都有，
令，可得，解得，
所以，此时满足，
所以函数是奇函数，所以.
任取，且，则，
因为，
即，所以是上的增函数.
（2）因为为奇函数，且的解集非空，
可得的解集非空，
又因为在上单调递增，所以的解集非空，
即在上有解，则满足，解得，
所以实数的取值范围.
.
22．已知，函数
(1)若关于x的方程的解集中恰有一个元素，求a的值;
(2)设，若对任意，函数在区间的最大值和最小值的差不超过1，求a的取值范围.
【答案】(1)或；
(2)
【分析】（1）代入解析式表示出方程并化简，对二次项系数分类讨论与，即可确定只有一个元素时的值；
（2）由题可知函数在区间上单调递增，进而可得，然后通过换元法及函数的单调性求函数的最值，即得．
【详解】（1）由题可知有且仅有一解，
所以有且仅有一解，等价于有且仅有一解，
当时，可得，经检验符合题意；
当时，则，解得，
再代入方程可解得，经检验符合题意；
综上所述，或；
（2）当时，，，
所以在上单调递增，
因此在上单调递增，
故只需满足，即，
所以，
即，设，则，
，
当时，，
当时，，又对勾函数在单调递减，
所以，
故，
所以，，
所以a的取值范围为