2023-2024学年山东省威海市乳山市银滩高级中学高一上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年山东省威海市乳山市银滩高级中学高一上学期12月月考数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，问答题，应用题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列四组函数中，与表示同一函数的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】根据函数的定义：判断定义域是否相同，定义域相同时，对应法则是否相同，由此可得结论．
【详解】四个选项中函数的定义域都是实数集，AC选项中函数的定义域是，
D选项迥函数定义域是，定义域不相同，不是同一函数，
B选项定义域是，根据绝对值的定义知对应法则也相同，是同一函数．
故选：B．
2．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1°C，空气的温度是θ0°C，那么t min后物体的温度θ（单位：°C），可由公式求得，其中k是一个随着物体与空气的接触情况而定的常数．现有60°C的物体，放在15°C的空气中冷却，3分钟以后物体的温度是42°C．则k的值为（精确到0.01） （ ）
（参考数据：，）
A．0.51B．0.28C．0.17D．0.07
【答案】C
【分析】根据所给数据代入方程即可求得结果.
【详解】由题可得，，
，
.
故选：C．
3．已知函数是R上的减函数，点是其图像上的两点，则不等式的解集的补集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】根据不等式的性质得出，结合函数的单调性解不等式，再求其补集.
【详解】由得，即
又函数是R上的减函数
，解得
原不等式的解集为，其解集的补集为：或
故选：C
4．已知则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】首先变形，利用单调性比较的大小，再和中间值1比较，判断的大小.
【详解】，函数单调递减，
，即，
又，
所以.
故选：C
5．已知区间是关于x的一元二次不等式的解集，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．3
【答案】C
【分析】由题知，，，则可得，则，利用基本不等式“1”的妙用来求出最小值.
【详解】由题知是关于x的一元二次方程的两个不同的实数根，
则有，，，所以，且是两个不同的正数，
则有
，
当且仅当时，等号成立，故的最小值是.
故选：C
【点睛】本题主要考查了一元二次不等式与一元二次方程的关系，考查了基本不等式“1”的妙用求最值，考查了转化与化归的思想，考查了学生的运算求解能力.
6．满足的实数m的取值范围是（ ）.
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据幂函数的单调性结合函数值的正负，将所求不等式转化为关于的一次不等式组，求解即可.
【详解】幂函数在为减函数，且函数值为正，
在为减函数，且函数值为负，
等价于，
或或，
解得或或，
所以不等式的解集为.
故选：D.
【点睛】本题考查不等式的求解，利用幂函数的单调性是解题的关键，考查分类讨论思想和计算求解能力，属于中档题.
7．函数的单调递增区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】根据定义域优先及复合函数同增异减可得增区间.
【详解】由，得，
所以函数的定义域为：
∵是减函数，在上递增，在上递减，
∴函数的增区间是.
故选：C.
8．设奇函数在上是增函数，且，若对所有的及任意的都满足，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先计算函数的最大值为，得到恒成立，得到不等式，计算得到答案.
【详解】奇函数在上是增函数，则
恒成立，即恒成立
将看作为变量，定义域为的函数，则函数最值一定在端点上
即 解得或或
故选
【点睛】本题考查了恒成立问题，将看作为变量的函数是解题的关键.
二、多选题
9．已知函数在区间上单调递增，则的取值可以是（ ）
A．， B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】将函数解析式变形为，结合反比例函数的性质可得，，可得的关系，分析选项可得答案.
【详解】由题意知，不等式对任意的恒成立.
①当时，在区间上单调递增，则，解得；
②当时，由，可得，则，解得，
则，
由于该函数在区间上单调递增，，，
A.当时，合乎题意；B.当时，恒成立，合乎题意；
D.当时，恒成立，合乎题意；
③当时，则，函数在没有定义，C选项不合乎题意.
故选：ABD.
【点睛】本题考查分式函数在某区间的单调性，考查反比例函数的性质，属于基础题.
10．函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】分和三种情况讨论，结合对勾函数的单调性确定复合函数单调性判断即可.
【详解】当时，，则选项C符合；
当，故排除D；
当时，的定义域为，
当时，当且仅当时取等号，
由于在为减函数，为增函数，
则函数在上为增函数，在为减函数，
是奇函数，
则奇偶性可得在上的单调性，故选项B符合；
当时，的定义域为，
当，，由于在，为增函数，
则在，为减函数，
是奇函数，
则由奇偶性可得在上的单调性，故A符合.
故选：ABC.
11．已知正数a，b满足，则（ ）
A．ab的最大值为B．的最小值为
C．的最小值为4D．的最小值为2
【答案】AB
【分析】由利用基本不等式求ab的最大值，再求的最小值，由利用基本不等式求其最小值，再求的最小值.
【详解】∵ a，b为正实数，
∴ ，当且仅当时等号成立，又，
∴ ，当且仅当，时等号成立，
∴ ab的最大值为，A对，
时取等号 ，因为,
∴ ,其 最小值不是2，D错，
由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，
又，
∴ ，当且仅当，时等号成立，
∴的最小值为， B对，
∵ ，
∴ ，当且仅当，时等号成立，
∴ 的最小值为8，C错，
故选：AB.
12．下列说法正确的是（ ）
A．若幂函数的图象经过点，则解析式为
B．若函数，则在区间上单调递减
C．幂函数（）始终经过点和
D．若函数，则对于任意的，有
【答案】CD
【解析】根据幂函数的解析式，单调性依次判断每个选项得到答案.
【详解】若幂函数的图象经过点，则解析式为，故错误；
函数是偶函数且在上单调递减，故在单调递增，错误；
幂函数（）始终经过点和，正确；
任意的，，要证，即，
即，即，易知成立，故正确；
故选：.
【点睛】本题考查了幂函数，意在考查学生对于幂函数性质的综合应用.
三、填空题
13．已知，则的解析式为 .
【答案】
【分析】应用换元法求函数解析式.
【详解】令，则，所以，
故.
故答案为：
14．若函数的定义域是，则函数的定义域是 ．
【答案】
【分析】由函数的定义域为，求解指数不等式，得到实数的取值结合即为的定义域，得到答案.
【详解】由题意，因为函数的定义域为，
令，解得，即的定义域为.
【点睛】本题主要考查了抽象函数有关简单的复合函数的定义域的求解问题，关键是熟记对该类问题方法，紧扣函数的定义域的定义是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.
15．函数是上的减函数，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】分段函数是上的减函数，只需满足在上是减函数，且即可.
【详解】因为是上的减函数，
所以是减函数，是减函数，
且，
即，
解得，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了分段函数的单调性，注意分界点处的处理是关键，属于中档题.
16．定义域为R的函数满足以下条件：
①；
②；
③
则不等式的解集是 .
【答案】
【分析】根据条件判断函数的单调性，奇偶性和零点，根据函数图象的草图，解不等式.
【详解】由条件①得当时，，函数在上单调递减，
由条件②得是偶函数；由条件③得
作出的草图，如图所示，.
由知与异号，
时，，当时，
原不等式的解集为
故答案为：
【点睛】思路点睛：判断函数单调性，除了有定义外，还有与定义有关的式子，比如定义域内满足，或都可以判断函数的单调性，当利用函数性质解抽象不等式时，借助函数的性质画出函数的草图，解决问题.
四、问答题
17．计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用指数幂的运算求解即可；
（2）利用对数运算性质求解即可.
【详解】（1）
.
（2）
.
18．已知集合．
(1)若，求；
(2)若，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）代入，求出集合A，B，然后求并集即可.
（2）解含参的二次不等式得集合B，再根据列不等式求解即可.
【详解】（1），
当时，，
；
（2），
又由（1），
，
或，
实数a的取值范围是.
19．已知函数的图象经过点.
（1）求，并比较与的大小；
（2）求函数的值域.
【答案】（1），；（2）.
【解析】(1) 待定系数法求得参数，再利用指数函数的单调性即可比较大小；
（2）利用不等式法，结合指数型复合函数单调性，即可求得值域.
【详解】（1）由已知得，解得，
因为在上递减，则，
所以
（2）令，
在R上单调递减.
原函数的值域为.
【点睛】待定系数法求指数函数解析式，利用函数其单调性比较大小和求值域，注意复合函数求值域一般采取“由内到外”进行求解.
20．已知函数.
（1）当时，求的定义域；
（2）若恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）（-∞，-0）∪（2,+∞）；（2）
【分析】（1）把代入解析式并化简，从而可得，从而求出定义域．
（2）由得，从而可得，
令从而化为最值问题．
【详解】（1）当时，，则，故或，
所以函数的定义域为或．
（2），，
由得，即，令，
则，当时，恒成立，
故实数的取值范围为
【点睛】本题考查了函数的定义域的求法以及恒成立问题，注意“分离参数法”求参数的取值范围．
21．已知函数的图像恒过定点，且点又在函数的图像上.
（1）求实数的值；
（2）解不等式；
（3）有两个不等实根时，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】(1)由函数解析式可知定点为(2, 2)，代入即可求得的值；
(2)根据在定义域上单调递增即可求得不等式解集；
(3)方程有两个实根转化为两个函数的图象有两个交点，结合函数图形确定范围即可求参数范围
【详解】解：（1）函数的图像恒过定点A，A点的坐标为(2, 2)
又因为A点在上，则：
（2）由题意知：
而在定义域上单调递增，知
，即
∴不等式的解集为
（3）由知：，方程有两个不等实根
若令，有它们的函数图像有两个交点，如下图示
由图像可知：，故b的取值范围为
【点睛】本题考查了函数过定点求参数，根据对数函数的单调性求解集，方程的根转化为函数图象的交点问题，结合函数图象求参数范围
五、应用题
22．新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供（万元）的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服．A公司在收到政府（万元）补贴后，防护服产量将增加到（万件），其中为工厂工人的复工率（）．A公司生产万件防护服还需投入成本（万元）．
（1）将A公司生产防护服的利润（万元）表示为补贴（万元）的函数（政府补贴x万元计入公司收入）；
（2）在复工率为k时，政府补贴多少万元才能使A公司的防护服利润达到最大？
【答案】（1），，；（2）万元．
【分析】（1）由题意得，再把代入即得解；
（2）化简得，再利用基本不等式求解.
【详解】（1）由题意得
，
即，，．
（2），
因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立．
所以，
故政府补贴为万元才能使A公司的防护服利润达到最大，最大为万元．
【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.