2023-2024学年上海市文来高中高一上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年上海市文来高中高一上学期12月月考数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题
1．幂函数图象经过点（9，3），则f（4）= .
【答案】
【分析】先代入点坐标，得到，得到函数解析式，进而求出.
【详解】设，因为函数过点，所以，即，所以，即，所以.
故答案为：2
2．设函数，则 ．
【答案】
【分析】根据分段函数的知识求得正确答案.
【详解】，.
故答案为：
3．函数和图象的交点是 .
【答案】、
【分析】联立两函数解析式，可得出两函数图象的交点坐标.
【详解】联立，解得或，
因此，函数和图象的交点是、.
故答案为：、.
4．若对数函数在上严格单调递减，则 .
【答案】
【分析】根据对数函数的概念与单调性可得出关于的等式与不等式，即可解得实数的值.
【详解】因为函数为对数函数，则，
解得或，
又因为对数函数在上严格单调递减，
则，故.
故答案为：.
5．不等式的解集为 .
【答案】
【分析】构造函数，分析该函数的定义域、奇偶性与单调性，根据可得出关于的不等式，即可得出原不等式的解集.
【详解】构造函数，该函数的定义域为，
且，即函数为奇函数，
因为函数在上为增函数，则该函数在上也为增函数，
所以，函数为上的增函数，
由可得，可得，解得，
因此，不等式的解集为.
故答案为：.
6．函数的定义域为 .
【答案】
【分析】函数定义域满足，解得答案.
【详解】函数的定义域满足，解得，即
故答案为：
7．函数的值域为
【答案】
【分析】设，求出新函数的定义域即可求出值域.
【详解】设，，所以，
由图象易知值域为.
故答案为：.
8．函数的图象的对称中心为 ．
【答案】
【分析】先将函数分离常数,再通过图象变换将变为,则对称中心相对应的也会跟着变化,根据对称中心为,即可得的对称中心.
【详解】由题知,
故函数是由函数向左平移2个单位变为,再将图象向下平移1个单位得到,
因为对称中心为,
所以对称中心为.
故答案为：.
9．函数的单调递增区间是 .
【答案】（或）
【分析】利用复合函数的单调性可得出函数的单调递增区间.
【详解】函数的定义域为，内层函数的增区间为，减区间为，
外层函数在上为减函数，
由复合函数法可知，函数的单调递增区间为.
故答案为：（或）.
10．已知函数（且）的图象恒过定点，若点的坐标满足关于、的方程，则的最小值为 .
【答案】
【分析】求出点的坐标，可得出，然后将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】令，可得，则，
所以，函数的图象恒过定点，
由已知条件可得，即，
又因为、都为正数，则
，
当且仅当时，即当时，等号成立，因此，的最小值为.
故答案为：.
11．已知函数直线与函数的图象恒有两个不同的交点，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】画出的图象，数形结合即可容易求得参数范围.
【详解】根据指数函数和对数函数的图象，画出的图象如下所示：
数形结合可知，要满足题意，只需.
故答案为：.
【点睛】本题考查指数函数和对数函数图象的应用，属综合基础题.
12．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．经研究发现鲑鱼的游速可以表示为函数，单位是m/s，其中O表示鱼的耗氧量的单位数．某条鱼把游速提高1m/s，那么它的耗氧量的单位数耗氧量增大为原来的 倍．
【答案】9
【分析】设原来游速为，则提速后的游速为，原来的耗氧量的单位数为，后来的耗氧量的单位数为，根据题意列方程组即可.
【详解】所以，
联立解得.
故答案为：.
二、单选题
13．下列各组函数表示相同函数的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】D
【分析】举反例得到A不是相同函数，根据定义域排除BC，得到答案.
【详解】对选项A：取，两个函数值分别为和，不是相同函数；
对选项B：两个函数定义域不同，不是相同函数；
对选项C：定义域为，定义域为，不是相同函数；
对选项D：定义域为，化简为，定义域为，是相同函数.
故选：D.
14．在同一平面直角坐标系中，函数，（且）的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据每个选项中函数的单调性求出实数的取值范围，再由函数（且）的图象与轴的交点，求出的取值范围，观察的范围能否一致，由此可得出合适的选项.
【详解】对于A选项，函数为增函数，则，可得，
对于函数，令，可得，
可得，解得，合乎题意；
对于B选项，函数为减函数，则，可得，
对于函数，令，可得，
可得，解得，不合乎题意；
对于C选项，函数为减函数，则，可得，
对于函数，令，可得，
可得，可得，不合乎题意；
对于D选项，函数为增函数，则，可得，
对于函数，令，可得，
可得，可得，不合乎题意.
故选：A.
15．函数满足下列哪个关系式（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】举例判断ABD，根据对数运算判断C.
【详解】令，
可得，
且，
故ABD错误，
因为，故C正确；
故选：C.
16．设函数的定义域为，若函数满足条件：存在，使在上的值域是，则称为“倍缩函数”，若函数为“倍缩函数”，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】根据“倍缩函数”的定义，构造出方程组，利用方程组的解都大于，求出实数的取值范围.
【详解】因为函数为“倍缩函数”，
且满足存在，使在上的值域是，
所以在上是增函数；
所以，即，
所以是方程的两个根，
设，则，
此时方程为即方程有两个不等的实根，且两根都大于；
所以，解得：，
所以满足条件的取值范围是，
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题的关键点是根据“倍缩函数”的定义得出在上的值域是，所以，因此，可得是方程的两个根，令，可得方程为有两个不等的正实根，所以即可求的取值范围.
三、解答题
17．已知幂函数的图像关于点对称．
(1)求该幂函数的解析式；
(2)设函数，在如图的坐标系中作出函数的图象；
（提示：列表、描点、连线作图）
【答案】(1)
(2)图象见解析
【分析】（1）根据题意结合幂函数的定义和性质分析求解；
（2）由（1）可得：，列表、描点、连线作图.
【详解】（1）因为为幂函数，则，解得或，
若，则，图象关于原点对称，符合题意；
若，则，图象不关于原点对称，不符合题意；
综上所述：.
（2）由（1）可得：，则的定义域为，
可得
则的图象为：
18．记函数的定义域为,的定义域为.
(1)求;
(2)若,求实数的取值范围.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）根据题意列不等式组求解即可;
（2）先根据真数大于零,求出函数的定义域,再由列出不等式,结合求出的范围即可.
【详解】（1）由题意得,解得或,
即或.
（2）根据题意,
因为，所以,
则,
即,
因为,
所以或,
解得或,
又,
所以或,
即实数的取值范围是.
19．今年月日，日本不顾国际社会的强烈反对，将福岛第一核电站核污染废水排入大海，对海洋生态造成不可估量的破坏.据有关研究，福岛核污水中的放射性元素中有种半衰期在年以上；有种半衰期在万年以上.已知某种放射性元素在有机体体液内浓度与时间（年）近似满足关系式为大于的常数且.若时，；若时，.
(1)求k和a的值
(2)这种有机体体液内该放射性元素浓度衰减为时，大约需要多少年？
【答案】(1)
(2)大约需要年
【分析】（1）根据已知条件列式解方程组求出的值；
（2）由（1）可得：，令时，在等式两边取对数即可求解.
【详解】（1）由题意得:，解得，
所以.
（2）由（1）可得：，
当时，得，即，
两边取对数得，
所以，
即这种有机体体液内该放射性元素浓度为时，大约需要年.
20．已知函数
(1)求不等式的解集；
(2)求的值域；
(3)当时，不等式恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先由因式分解得，进而得；再根据指数函数的单调性即可得出答案.
（2）先利用换元法将函数转化为，；再利用函数的单调性求解即可.
（3）先分离参数，得当时，不等式恒成立；再构造函数，根据对勾函数的单调性求最小值即可求解.
【详解】（1）由题意可得：，即.
因为，
则.
因为函数在上单调递增，且，
所以.
故不等式的解集为
（2）由，得：函数定义域为.
令
则，.
因为二次函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以当时，，当时，.
故的值域为.
（3）由题意得：当时，不等式恒成立，
即当时，不等式恒成立，
即当时，不等式恒成立.
令，.
因为函数在区间上单调递减，在区间上单调递增
所以当时，.
所以，解得：
故当时，不等式恒成立， 的取值范围为.
21．已知．
(1)当时，解不等式；
(2)若关于x的方程的解集中恰好有一个元素，求实数a的值；
(3)若对任意，函数在区间上总有意义，且最大值与最小值的差等于2，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)或0
(3)
【分析】（1）利用对数函数的单调性，求不等式的解集即可；
（2）根据题意得出方程恰有一个实根，化简转化为判断方程的根的个数问题，通过讨论和即可求出答案；
（3）根据题意结合函数单调性可得对恒成立，且任意恒成立，分析求解即可.
【详解】（1）当时，不等式化为，
则，即，解得，
经过验证满足条件，因此不等式的解集为.
（2）由，得，
即，可得，
当时，则，解得，经过验证此时满足题意；
当时，①若，则，此时解得．经过验证满足题意；
②若时，方程有两不等实根，设为，显然，
由，得，因为，所以，
即
所以都满足，所以此时不满足题意；
综上可得或.
（3）因为对任意，函数在区间上总有意义，
所以对恒成立，
因为在上为减函数，故只需对任意恒成立，
所以只要，故，解得，
对任意，函数在区间上单调递减，
所以函数在区间上最大值为，最小值为，
则，
整理得，
则，即任意恒成立，
则，解得；
综上所述：实数a的取值范围是．
【点睛】关键点睛：对于恒（能）成立的问题，常常结合最值分析处理，而最值又结合函数单调性，所以对于函数单调性要灵活熟练应用.
1
2
3
2
3
1