2023-2024学年四川省眉山市仁寿县文宫中学高一上学期12月月考模拟数学试题含答案

这是一份2023-2024学年四川省眉山市仁寿县文宫中学高一上学期12月月考模拟数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，问答题，证明题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．己知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先解不等式，然后按补集定义求补集，再用并集定义求解即可
【详解】或
所以，
故选：D
2．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，结合抽象函数定义域的意义，列出不等式求解作答.
【详解】函数的定义域为，则，因此在中，，
函数有意义，必有，解得，
所以函数的定义域为.
故选：C
3．若，则“”是“”的（ ）
A．充分必要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据充分、必要性定义，结合特殊值、基本不等式判断条件间的推出关系，即可得答案.
【详解】由，，显然时，不成立，充分性不成立；
由，，而，则，当且仅当时等号成立，必要性成立；
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：C
4．已知，，，则、、的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】结合对数函数和幂函数的性质即可判断大小关系.
【详解】因为函数在上单调递增，则，即.
又因为，所以.
故选：D.
5．北京时间2023年2月10日0时16分，经过约7小时的出舱活动，神舟十五号航天员费俊龙、邓清明、张陆密切协同，圆满完成出舱活动全部既定任务，出舱活动取得圆满成功.载人飞船进入太空需要搭载运载火箭，火箭在发射时会产生巨大的噪声，用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中大于0的常数是听觉下限阈值，是实际声压.声压级的单位为分贝，声压的单位为帕.若人正常说话的声压约为，且火箭发射时的声压级比人正常说话时的声压级约大，则火箭发射时的声压约为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据给定的模型，列出火箭发射时的声压级和人正常说话时的声压级表达式，联立求解即可.
【详解】令人正常说话时的声压级为，火箭发射时的声压级为，则，
而人正常说话的声压，火箭发射时的声压为，
于是，，两式相减得，解得，
所以火箭发射时的声压约为.
故选：D
6．若函数在上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意可得一次函数和指数函数都是减函数且临界点的函数值左侧大于等于右侧.
【详解】因为函数在上单调递减，
所以，解得，
所以实数的取值范围为.
故选：A.
7．若关于的不等式的解集中恰好有3个整数，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据一元二次不等式的解法分类讨论求解即可.
【详解】不等式因式分解为.
①当时，不等式为，不等式无解，不合题意；
②当时，不等式的解为，
若不等式的解集中恰好有3个整数，这3个整数必为，0，1，
必有，解得；
③当时，不等式的解为，
若不等式的解集中恰好有3个整数，这3个整数必为，0，1，
必有，解得.
由①②③可知实数的取值范围为.
故选：D.
8．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据函数的奇偶性及特殊值判定即可.
【详解】由可知是偶函数，即其图象关于纵轴对称，排除C、D选项；
又当时，，排除B项.
故选：A
二、多选题
9．下面命题正确的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．命题“若，则”的否定是“存在，则”
C．设x，，则“且”是“”的必要而不充分条件
D．设a，，则“”是“”的必要不充分条件
【答案】ABD
【分析】根据充分、必要条件和命题的否定定义依次判断即可．
【详解】选项A，由，能推出，但是由，不能推出，
例如当时，符合，但是不符合，
所以“”是“”的充分不必要条件，故A正确；
选项B，根据命题的否定的定义可知：命题“若，则”的否定是“存在，则”，故B正确；
选项C，根据不等式的性质可知：由且能推出，充分性成立，故C错误；
选项D，因为b可以等于零，所以由不能推出，充分性不成立，
由可得且，故必要性成立，
所以“”是“”的必要不充分条件，故D正确．
故选：ABD．
10．（多选）下列选项正确的是（ ）
A．若，则的最小值为2
B．若正实数x，y满足，则的最小值为8
C．的最小值为2
D．函数（）的最大值是0
【答案】BD
【分析】根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可依次求解．
【详解】对于A，当时，，故A错误，
对于B，∵，，，
则，当且仅当，即，时等号成立，
故的最小值为8，故B正确，
对于C，令，，
在上单调递增，则y的最小值为，故C错误，
对于D，当时，
，当且仅当，即时，等号成立，
故，即函数y的最大值为0，故D正确．
故选：BD．
11．已知，且，函数，则（ ）
A．曲线与曲线关于轴对称
B．曲线与曲线关于轴对称
C．当时，函数在上单调递增
D．当时，函数在上单调递减
【答案】ABD
【分析】根据得到A正确；由得到B正确；CD选项，变形得到，令，则，由复合函数单调性判断出答案.
【详解】A选项，的定义域为R，
，
所以曲线与曲线关于轴对称，A正确；
B选项，因为的定义域为R，
，
故曲线与曲线关于轴对称，B正确；
CD选项，，
令，则，
当时，在上单调递减，且，
又在上单调递增，
故当时，函数在上单调递减，C错误；
当时，在上单调递增，且，
又在上单调递减，
故当时，函数在上单调递减，D正确；
故选：ABD
12．已知函数，，则下列说法正确的是（ ）
A．若函数的定义域为，则实数的取值范围是
B．若函数的值域为，则实数的取值范围是
C．若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是
D．若，则不等式的解集为
【答案】AC
【分析】函数的定义域为等价于恒成立，由此即可列出不等式组，即可求出实数的取值范围，即可判断A；若函数的值域为等价于的值域有子集，即可求出实数的值，从而判断B；函数在区间上为增函数等价于函数在区间上为增函数且恒成立，由此即可列出不等式组，即可求出实数的取值范围，从而判断C；若，，即可解出不等式；即可判断D.
【详解】对于A：因为的定义域为，所以恒成立，
当时，显然不恒成立，故，
所以，解得，即实数的取值范围是，故A正确；
对于B：因为的值域为，所以函数的值域有子集，
当时，此时的定义域为，值域为，符合题意；
当时，解得，
综上可得实数的取值范围是，故B错误；
对于C，因为函数在区间上为增函数，
当时，，函数在定义域上单调递增，符合题意；
当时，，解得；综上可得，故C正确；
对于D，当时，，由，即，可得，
解得，即不等式的解集为，故D错误.
故选：AC.
三、填空题
13．已知满足，，都有，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】由题意得到的单调性，从而利用分段函数的性质，结合二次函数与一次函数的单调性即可得解.
【详解】因为，，都有，
所以在上为增函数，
当时，，易知函数在上为增函数；
当时，则，解得，
综上，，则a的取值范围为，
故答案为：．
14．已知，满足，给出下列四个结论：①；②；③；④.其中一定成立的结论是 （写出所有成立结论的编号）.
【答案】④
【分析】根据基本不等式，结合特殊值法逐一判断即可.
【详解】①：因为，，
所以有，则，故，所以，
当且仅当，即时，等号成立，故①错误；
②：当时，显然成立，但是不成立，故②错误；
③：当时，显然成立，但是不成立，故③错误；
④：因为，所以，即，
则，
由①可知：，则，所以，
则，故，
当且仅当时，等号成立，所以，故④正确.
故答案为：④
15．已知函数，若，则实数的解集为 .
【答案】
【分析】通过计算可得，从而构造，并可知为奇函数，再根据的单调性列不等式求解即可.
【详解】由题意可知，
所以
，
所以，
令，则，即为奇函数，
不等式等价于，即，
令，则，
所以是奇函数，
又因为在单调递增，
所以根据指数函数的性质可知在上单调递增，
又由对数函数的性质可知在上单调递减，
所以在上单调递增，
所以，解得，
故答案为：
16．已知函数，关于的方程有4个不同的实数解，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】令，解方程，根据m的范围，结合图象讨论方程和的解的个数可得.
【详解】令，
则，
解，得，
当时，，由图可知，有两个实数解，有一个实数解，
此时方程有3个不同的实数解，不满足题意；
当时，，由图可知，有3个实数解，有一个实数解，满足题意；
当时，，有两个实数解，有一个实数解，不满足题意；
当时，，由图可知，有1个实数解，有1个或2个实数解，不满足题意；
当时，，由图可知，有1个实数解，有3个实数解，满足题意；
当时，，由图可知，有1个实数解，有2个实数解，不满足题意.
综上，实数的取值范围为.
故答案为：

【点睛】本题属于函数零点的综合性问题，根据函数零点个数求参数的问题，常用数形结合法.本题先要从整体结构分析，通过换元法解方程，再将方程的根的个数问题转化为图象交点个数问题，利用数形结合分类讨论可得.
四、解答题
17．化简或计算下列各式：
(1)；
(2)；
(3)已知，，用、表示；
(4)已知，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）利用指数幂的运算性质计算可得所求代数式的值；
（2）利用对数的运算性质以及换底公式计算可得出所求代数式的值；
（3）利用换底公式以及对数的运算性质可得出关于、的表达式；
（4）利用平方关系求出，进而利用平方关系可得出的值，可求得的值，由此可得出的值.
【详解】（1）解：
.
（2）解：
.
（3）解：因为，，则
.
（4）解：因为，则，可得，
则，可得，
所以，，故.
五、问答题
18．已知全集为，集合，，．
(1)若，求，；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)，.
(2).
【分析】（1）当时，可确定集合，利用集合的运算求解；
（2）由条件先确定集合、的关系，再结合两集合的关系，分和两种情况讨论求解.
【详解】（1）当时，集合，或.
所以：，.
（2）∵，∴.
若，则，此时成立；
若，则.
综上：或.
所以的取值范围为：.
19．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为（为常数），如图所示，根据图中提供的信息，求：
（1）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式；
（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过多少小时候后，学生才能回到教室.
【答案】（1），（2）
【分析】（1）利用函数图像，借助于待定系数法，求出函数解析式，
（2）结合图像可知由药物释放完毕后的函数解析式中的可求得结果
【详解】（1）由图可知直线的斜率为，
所以图像中线段的方程为，
因为点在曲线上，所以，解得，
所以从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式为，
（2）因为药物释放过程中室内药量一直在增加，即使药量小于0.25毫克，学生也不能进入教室，所以只能当药物释放完毕，室内药量减少到0.25毫克以下时，学生方可进入教室，
即，解得，
所以从药物释放开始，至少需要经过小时，学生才能回到教室
20．已知指数函数，且，定义在上的函数是奇函数.
(1)求和的解析式；
(2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据指数函数的定义和奇函数定义及性质求解；
（2）根据是奇函数，得恒成立，根据在上单调递减，得恒成立，再利用判别式求解.
【详解】（1）设且，
，，；
是定义在上的奇函数，
，
对恒成立，
.
（2）恒成立，
恒成立，
又
可知在上单调递减，
恒成立，
恒成立，
，
.
六、证明题
21．已知函数，，
（1）若函数是偶函数，则求实数的值；
（2）根据（1）的条件，判断函数在上的单调性，并加以证明．
（3）记，且，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）在是减函数，证明见解析；（3）.
【分析】（1）根据偶函数定义，化简整理，即可得答案.
（2）由（1）可得，利用定义法，即可证明其单调性.
（3）由（1）（2）可得的奇偶性和单调性，列出不等式组，即可求得答案.
【详解】（1），因为其为偶函数，
所以，
所以，解得.
当时，，，
满足偶函数定义，故.
（2）根据（1）可得，.
函数在上为减函数，证明如下：
在内任取，不妨令，
则，
因为，所以，所以，
所以，所以，
所以，
所以函数在上为减函数.
（3）由（1）（2）可知在（-2,0）上为增函数，在上为减函数.
因为，
所以，解得.
七、问答题
22．已知函数且．
(1)当时，求的单调增区间；
(2)是否存在，，使在区间上的值域是？若存在，求实数的取值范围；若不存在，试说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）先求得的定义域，然后根据复合函数单调性同增异减求得的单调增区间.
（2）对进行分类讨论，根据函数的单调性以及在区间上的值域，利用构造函数法，结合一元二次方程根的个数列不等式组，由此求得的取值范围.
【详解】（1）时，，
由解得或，
所以的定义域为，
函数图象开口向上，对称轴为，
在上单调递增，
根据复合函数单调性同增异减可知：的增区间为
（2）令，则在上单调递减，
当,且在区间上的值域是，即在区间上的值域是
故必须，即,是的在上的两个不等实根.
而与在上只有一个交点，不符合（舍）.
当，且在区间上的值域是，即在区间上的值域是
故必须，即，
得，得，代入得：
，同理，
令，
则在有两个零点，即，
，，
解得.