2023-2024学年天津市静海区第一中学高一上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年天津市静海区第一中学高一上学期12月月考数学试题含答案，共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，集合.则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据交集的定义和运算即可求解.
【详解】由，，
得.
故选：A.
2．全称量词命题“”的否定为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据全称量词命题的否命题以及真假命题来进行判断选项.
【详解】当时，，
且命题“”为真命题，
所以上述命题否定为“”.
故选：B
3．的终边在（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【分析】应用终边相同的角即可求解.
【详解】的终边与相同，则终边在第一象限.
故选：A．
4．设，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据对数函数、指数函数的知识确定三者的大小关系.
【详解】∵，，，
∴的大小关系是．
故选：C
5．函数的图像大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由函数的奇偶性和区间内函数值的符号，用排除法求解.
【详解】由，可知函数的定义域为，
，函数为偶函数，图像关于轴对称，排除CD；
当时，，，，又，所以，排除B.
故选：A
6．已知函数在下列区间中，包含零点的区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据零点存在定理判断．
【详解】由于在上是增函数，在上是减函数，
因此在上是增函数，
又，，因此函数有唯一零点且在区间上，
故选：B．
7．已知，，则p是q成立的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
【答案】D
【分析】根据题意解不等式可得，，结合充分、必要条件分析判断.
【详解】对于，等价于；
对于，等价于；
例如符合p，但，即不符合q，可知充分性不成立；
例如符合q，但，即不符合p，可知必要性不成立；
综上所述：p是q成立的既非充分又非必要条件.
故选：D.
8．已知，满足对任意，都有成立，那么的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据分析出函数单调递增，列不等式组即可得解.
【详解】依题意，对任意，不妨取所以，
所以f(x)是在R上的增函数，
于是有，解得.
故选：C．
9．函数（且）的图象恒过定点，若对任意正数、都有，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出定点的坐标，可得出，然后将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】对于函数（且），
令，可得，且，所以，，即，，
对任意的正数、都有，即，则，
所以，
，
当且仅当时，即当时，等号成立，
所以，的最小值是.
故选：D.
二、填空题
10．函数的定义域为 .
【答案】且
【分析】由对数式的真数大于0，分式的分母不为0联立不等式组求解．
【详解】要使原函数有意义，则，解得且．
函数的定义域为且．
故答案为：且．
11．函数的单调递减区间是 .
【答案】
【分析】先确定函数的定义域, 再分别得出内层函数和外层函数的单调性，根据复合函数的性质求出函数的单调区间即可.
【详解】 的定义域为，解得，
或,
求原函数的单调递增区间, 即求函数的减区间,
, 可知单调递减区间为,
综上可得, 函数单调递增区间为 .
令 , 由 , 得或,
函数 的定义域为 ,
当 时, 内层函数 为增函数,而外层函数 为减函数,
函数 的单调递减区间是 .
故答案为:.
12．已知，则 ．
【答案】2
【分析】由可得代入目标，利用换底公式即可得到结果.
【详解】∵
∴，
∴
故答案为2
【点睛】本题考查对数的运算性质，考查了指数式和对数式的互化，考查了计算能力，属于基础题.
13．已知扇形的圆心角为，其周长是，则该扇形的面积是 .
【答案】8
【分析】利用弧长公式，扇形的周长及面积公式计算即可.
【详解】结合题意：因为扇形的圆心角为，其周长是，
所以，解得：，
所以该扇形的面积.
故答案为：8.
14．当时，函数的值域为 .
【答案】
【分析】利用换元法及二次函数的性质计算可得.
【详解】因为，
令，由于，则，
则原函数可化为，，
当时，取最小值，当时，取最大值，
故，即.
故答案为：
三、解答题
15．计算下列各式的值：
(1)；
(2)
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用指数运算法则计算即得.
（2）利用对数运算性质、换底公式计算即得.
【详解】（1）
.
（2）
.
16．函数的定义域为，函数.
(1)若时，的解集为，求；
(2)若时，集合且，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意求出集合，，然后利用集合的交集求解；
（2）先求出集合，再由，即可求解.
【详解】（1）由题意得，解得或，
所以集合，
当时，，解得，
所以集合，所以.
（2）当时，，解得，
所以集合，因为，且，
所以，解得，
所以的取值范围为.
17．已知函数
(1)若的定义域为，求的取值范围.
(2)若的值域为，求的取值范围.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）根据对数函数的性质，转化为恒成立，列出不等式组，即可求解；
（2）设，根据题意转化为，分类讨论，即可求解.
【详解】（1）解：由函数，
要使得的定义域为，即恒成立，
则满足，解得，所以实数的取值范围为.
（2）解：设，要使得的值域为，即，
当时，的值域为，此时，
所以函数的值域为，符合题意.
当时，要使得，则满足，解得，
综上可得，实数的取值范围为.
18．已知定义域为的函数是奇函数.
(1)求实数的值；
(2)试判断的单调性， 并用定义证明；
(3)若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)函数在上为增函数，证明见解析；
(3)
【分析】（1）由奇函数的定义和恒等式的性质，可得所求值；
（2）函数在上为增函数，由单调性的定义和指数函数的单调性、不等式的性质可得证明；
（3）由奇函数在上为增函数，可将原不等式的两边的“”去掉，从而利用基本不等式即可得解.
【详解】（1）由定义域为的函数是奇函数，
可得，即有，
即恒成立，
所以；
（2）由于，可得函数在上为增函数．
证明：任取，，且，
则，
因为，所以，又，
所以，即，
所以函数在上为增函数．
（3）由（2）得，奇函数在上为增函数，
则等价于，
即，
令，则在上有解，
因为，当且仅当，即，时，等号成立，
所以，即.
【点睛】关键点睛：本题第3小问解决的关键是利用函数单调性与奇偶性，将问题转化为在上有解的问题，从而得解.
19．已知函数的图象过点，且满足．
(1)求函数的解析式：
(2)求函数在上的最小值；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，结合二次函数的图象与性质，列出方程，求得的值，即可求得函数的解析式；
（2）根据题意，结合二次函数的性质，分类讨论，即可求解.
【详解】（1）解：函数满足，则函数的图象关于对称，
可得，解得，即，
又由函数的图象过点，可得，解得，
所以函数的解析式为.
（2）解：由（1）知，可得其图象开口向上，对称轴为，
当时，可得在区间上单调递增，所以；
当时，可得在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以；
当时，可得在上单调递减，所以，
所以函数在上的最小值.
20．解答以下问题
(1)已知函数，求函数的所有零点之和．
(2)若函数在上有且只有3个零点，求实数a的范围
(3)已知函数，若方程有2个不同的实根，求实数的范围
(4)你认为解决零点个数问题的常用方法有哪些？（至少写出2个）
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)答案见解析
【分析】（1）根据题意，令，求得函数的零点，即可求解；
（2）根据题意，转化为函数与的图象有两个交点，作出两个函数的图象，结合图象，即可求解；
（3）根据题意，转化为时，无实根，令，结合单调性求得函数的最小值，即可求解；
（4）根据零点的求解方法，即可求解.
【详解】（1）解：由函数，
当，令，即，解得；
当，令，即，解得，
所以函数零点之和为.
（2）解：因为函数在上有且只有2个零点，
所以函数与的图象有两个交点，
在同一坐标系内作出函数和的图象，如图所示，可得，
所以实数的取值范围为.
（3）解：由函数，且方程有2个不同的实根，
当时，可得有两个不等实根，所以时，无实根，
转化为时，无实根，令为增函数，，
所以，即实数的范围.
（4）解：解决零点个数问题的常用方法：①令，求得方程的根，即求根法；
②转化为两个函数的图象的公共点的个数问题，结合数形结合法求解；
③利用函数零点的存在性定理结合函数性质，确定函数的零点的个数.