2023-2024学年云南省红河哈尼族彝族自治州第一中学高一上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年云南省红河哈尼族彝族自治州第一中学高一上学期12月月考数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设全集，集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题中条件，根据交集和补集的概念，即可求出结果.
【详解】因为全集，，所以，
又，所以.
故选：A.
2．函数的零点所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】判断函数的单调性，计算区间端点处函数值，由局零点存在定理即可判断答案.
【详解】函数,是单调递增函数，
当 时，，
，
故
故函数的零点所在的区间为，
故选：B
3．下列选项中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由奇函数和增函数的性质一一分析即可.
【详解】对于A，在上单调递减，故A错误；
对于B，在上单调递增，但在定义域内不是增函数，故B错误；
对于C，，所以不是奇函数，故C错误；
对于D，由，可知在定义域内是奇函数，
又，在上是增函数，在上单调递增，且在上连续不断，
故在定义域内既是奇函数又是增函数，故D正确；
故选：D
4．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件
B．充要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据充分条件与必要条件的定义，结合特殊值与不等式的性质求解.
【详解】不能推出，例如，
满足，但是，所以充分性不成立；
根据不等式的性质，若，则，所以必要性成立，
所以，“”是“”的必要不充分条件，
故选：C.
5．砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气.如图所示，一扇环形砖雕，可视为将扇形OCD截去同心扇形OAB所得图形，已知，，，则该扇环形砖雕的面积为（ ）.

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，利用扇形的面积公式，即可求得扇环的面积，得到答案.
【详解】由题意知，，，，可得，
可得扇形的面积为，扇形的面积为，
所以该扇环形砖雕的面积为.
故选：D.
6．若函数是奇函数，且在上是增函数，又，则的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由题意可得在上递增，，所以可得当或时，；当或时，，再由，得或，从而可求得结果.
【详解】因为函数是奇函数，且在上是增函数， ，
所以在上递增，，
所以当或时，；当或时，，
因为，
所以或，
所以或，
即不等式的解集为，
故选：C
7．中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：．它表示：在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数里面的1可以忽略不计．按照香农公式，若在带宽为，信噪比为1000的基础上，将带宽增大到，信噪比提升到200000，则信息传递速度大约增加了（ ）（参考数据：）
A．187%B．230%C．530%D．430%
【答案】D
【分析】根据题干定义分别求提升前和提升后的信息传送速度，最后再计算信息传递速度增加律.
【详解】提升前的信息传送速度，
提升后的信息传送速度，
所以信息传递速度大约增加了．
故选：D.
8．若实数，满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】构造函数，然后利用单调性可求解.
【详解】因，
故，
故可构造函数，
根据指数函数的性质可得：在上单调递增，而函数在上单调递减，
故函数在上单调递增，
又由可得，
故，
所以，
故选：C.
二、多选题
9．已知角的终边在第一象限，那么角的终边可能在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】AC
【分析】先写出角的终边在第一象限角的集合，再通过运算求解判断即可.
【详解】因为角的终边在第一象限，
所以，
所以，
当时，，则终边在第一象限；
当时，，则终边在第三象限；
所以角的终边可能在第一象限或第三象限.
故选：AC
10．若，则函数的大致图象是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】分和两种情况讨论，结合对数函数单调性解，再根据指数函数单调性分析判断.
【详解】由，可得：
当时，∵在定义域内单调递减，
∴，
此时，且在定义域内单调递减，B成立，D错误；
当时，∵在定义域内单调递增，
∴，
此时，且在定义域内单调递增，A错误，C成立．
故选：BC.
11．已知，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】根据基本不等式即可结合选项逐一求解.
【详解】，当且仅当，即时取等号，由于，所以，A正确，
由于，，当且仅当且时，即时取等号，由于，所以，B正确，
由以及可得，
当且仅当，即时取等号，由于，所以，故C正确，
，当且仅当，即时取等号，由于，所以D错误，
故选：ABC
12．已知函数，下面四个结论中正确的是（ ）
A．的值域为
B．是偶函数
C．在区间上单调递增
D．的图象与的图象有4个不同的交点
【答案】ABD
【分析】利用函数性质逐项判断即可.
【详解】对于A，由题当定义域为R，时，当时，
，当且仅当时取等号，
则，所以的值域为，A正确；
对于B，，，所以是偶函数，B正确；
对于C，当时，，由但，
显然在区间上不单调递增，C错误；
对于D，的图象与的图象有交点个数等于方程解的个数，
由，
解得，所以或四个解，
所以的图象与的图象有4个不同的交点，故D正确；
故选：ABD
三、填空题
13．函数的图象一定过定点P，则P点的坐标是 .
【答案】
【分析】令真数等于1，求得、的值，可得函数的图象经过定点的坐标．
【详解】解：对于函数，令，求得，，
可得函数的图象图象恒过定点，
故答案为．
【点睛】本题主要考查对数函数的图象经过定点问题，属于基础题．
14．若，则的值为 .
【答案】14
【分析】两边平方求出答案.
【详解】，两边平方得，
即，解得.
故答案为：14
15．若函数和的值域相同，但定义域不同，则称和是“同象函数”.已知函数，写出一个与是“同象函数”的函数的解析式： .
【答案】，（或或等，答案不唯一）
【分析】构造出，分别计算与的定义域和值域，使得其满足定义即可.
【详解】的定义域为R，因为，所以，所以的值域为，
，则的定义域为，因为，所以，所以的值域为，
所以与的值域相同，定义域不同，所以与是“同象函数”.
故答案为：（答案不唯一）.
16．已知，若存在三个不同实数使得，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】作出函数的图像，由图像可知，可设，利用对数运算可求得，结合图像可得的取值范围，由此可得出的取值范围.
【详解】作出函数的图像如下图所示：
设，由图像可知，
则，解得，
由可得，即，可得.
.
故答案为：.
四、解答题
17．设，集合，
(1)若，求
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据，化简两个集合，再求两个集合的并集；
（2）由3在集合中，不在集合中，可求取值范围.
【详解】（1）当时，
所以.
（2）集合，所以
因为，所以且.
则，即，解得.
18．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，函数在y轴左侧的图象如图所示．
（1）求函数的解析式；
（2）讨论关于x的方程的根的个数．
【答案】（1）；（2）具体见解析．
【分析】（1）根据偶函数的定义求出时的函数解析式即可.
（2）对参数分类讨论，借助数形结合的方法求得结果.
【详解】解：（1）由图可知，解得．
设，则，
∵函数是定义在上的偶函数，
∴，
∴．
∴．
（2）作出函数的图象如图所示：
．
由图可知，当时，关于x的方程的根的个数为0；
当或时，关于x的方程的根的个数为2；
当时，关于x的方程的根的个数为4；
当时，关于x的方程的根的个数为3．
【点睛】方法点睛：借助数形结合来解决函数交点问题.
19．已知函数.
(1)若的解集为，求不等式的解集；
(2)若，且，恒成立，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题中条件可知，根据解集可知二次方程的两根为，再根据韦达定理找到a、b、c三者之间的关系，由此解出不等式.
（2）根据题意可知a、b之间的关系，再将分离参数，利用基本不等式即可求出答案.
【详解】（1）由题设知且的两根为
所以，可得：
可化为：，解得：，
所以不等式的解集为
（2）且，
，则恒成立，
，
当且仅当，，即时，“”成立，
20．如函数.
(1)求的定义域.
(2)从下面①②两个问题中任意选择一个解答，如果两个都解答，按第一个解答计分.
①求不等式的解集.
②求的最大值.
【答案】(1)
(2)选①，，或；选②，4
【分析】(1)对数函数要满足真数大于0，列方程组即可求得定义域.
(2)若选①，化简不等式，利用对数函数的单调性可求得不等式的解集.若选②，利用对数加法运算法则，求复合函数的最大值，即求真数所在函数的最大值，代入即可求得的最大值.
【详解】（1）由题意，，解得，所以的定义域为.
（2）选①，不等式，即，所以
，即，则，
化简为，解得，或
所以原不等式的解集为，或.
选②，因为函数的定义域为，所以函数，其中，
令函数，，因为，要使函数有最大值，
则只需要函数有最大值，且为正数，，
因为，所以当时，有最大值，，
所以的最大值为.
21．某新型企业为获得更大利润，须不断加大投资，若预计年利润低于10%时，则该企业就考虑转型，下表显示的是某企业几年来利润y（百万元）与年投资成本x（百万元）变化的一组数据：
给出以下3个函数模型：①；②（，且）；③（，且）.
(1)选择一个恰当的函数模型来描述x，y之间的关系，并求出其解析式；
(2)试判断该企业年利润不低于6百万元时，该企业是否要考虑转型.
【答案】(1)可用③来描述x，y之间的关系，
(2)该企业要考虑转型.
【分析】（1）由年利润是随着投资成本的递增而递增，可知①不符合，把，分别代入②③，求出函数解析式，再把代入所求的解析式中，若，则选择此模型；
（2）由题知，则x>65，再由 与比较，可作出判断.
【详解】（1）由表格中的数据可知，年利润是随着投资成本的递增而递增，而①是单调递减，所以不符合题意；
将，代入（，且），
得，解得，∴.
当时，，不符合题意；
将，代入（，且），
得，解得，∴.
当时，；当时，.
故可用③来描述x，y之间的关系.
（2）由题知，解得.
∵年利润，∴该企业要考虑转型.
22．已知函数，分别为定义在上的奇函数和偶函数，且满足.
(1)求函数，的解析式；
(2)令函数，，求的值域.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用函数奇偶性构造方程组求出函数解析式；
（2）利用换元、配方法求出的值域；
【详解】（1）由题①，
因为函数，分别为定义在上的奇函数和偶函数，
所以②，
联立①②得，，
即.
（2）由①得，令，因为，所以
则化简得，
所以，
所以的值域为.
年份
2015
2016
2017
2018
投资成本
3
5
9
17
…
年利润
1
2
3
4
…