2022-2023学年陕西省咸阳市实验中学高一上学期第一次月考数学试题含答案

这是一份2022-2023学年陕西省咸阳市实验中学高一上学期第一次月考数学试题含答案，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知全集，，则（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】C
【分析】由补集的定义求解.
【详解】全集，，
则或.
故选：C
2．设集合，则集合的真子集个数为（ ）
A．16B．32C．15D．31
【答案】C
【分析】解集合A中的不等式，得到集合A中元素个数，确定真子集个数.
【详解】集合，集合中4个元素，
所以集合的真子集个数为.
故选：C
3．设命题，则的否定为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用全称命题的否定方法进行求解.
【详解】因为命题，所以的否定为：.
故选：C.
4．若、为实数，则下列命题正确（ ）
A．若且则
B．若且，则
C．若，则
D．若，则
【答案】D
【分析】取反例即可判断选项ABC的正误；对于D，易知，再由不等式的性质可判断．
【详解】解：对于A，取，，满足且，但此时，故选项A错误；
对于B，取，，满足且，但此时，故选项B错误；
对于C，取，满足，但此时，故选项C错误；
对于D，由于，则，于是，故选项D正确．
故选：D．
5．已知集合，若，则（ ）
A．1B．0C．D．无法确定
【答案】C
【分析】分两种情况讨论：①，②，结合集合中元素的互异性以及集合相等的定义可求出结果.
【详解】由可知，，
因为，所以或，
①当时，得或（舍），则，解得或（舍），
此时，符合题意，
此时；
②当时，得或（舍），则，解得或（舍），
此时，符合题意，
此时.
综上所述：.
故选：C
6．若“”是“”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题是的真子集，进而得，再解不等式即可得答案.
【详解】解：因为若“”是“”的充分不必要条件，
所以是的真子集，
所以，解得，即实数a的取值范围是．
故选：A
7．命题为假命题，则的取值范围是（ ）
A．B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据一元二次型不等式恒成立求解即可．
【详解】为假命题，则为真命题，则当时，显然满足，
当时，，
故选：
8．已知，，且，则不等式：（1），（2），（3），（4）；其中正确的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据条件得出，得出，利用基本不等式逐一分析，即可得出答案．
【详解】已知，，且，
则，有，，
对于（1）：，则，
，
当且仅当，即时，等号成立，故（1）正确；
对于（2）：，则，
，
当且仅当，即时，等号成立，故（2）正确；
对于（3）：，当时，，故（3）错误；
对于（4）：，
，有，所以当，即时，，
所以，故（4）正确，
有（1）（2）（4）正确.
故选：C.
二、多选题
9．与不等式的解集相同的不等式有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】不等式的解集为，再求出各个选项的不等式的解，即得解.
【详解】解：因为，二次函数的图象开口朝上，所以不等式的解集为，
A.，二次函数的图象开口朝下，所以的解集为；
B.，二次函数的图象开口朝上，所以不等式的解集为；
C.，二次函数的图象开口朝上，所以不等式的解集为；
D. ，所以或，与已知不符.
故选：ABC
10．设，则函数的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】根据二次函数图像的性质，依次分析各选项即可得答案.
【详解】函数的图象的对称轴为，与轴的交点的坐标分别为，则，
A中，，则，，，∴，符合题意；
B中，，则，，，∴，符合题意；
C中，，则，，，∴，不符合题意；
D中，，则，，，∴，符合题意，
故选：ABD.
11．如果关于的不等式的解集为，那么下列数值中，可取到的数为（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】CD
【分析】根据不等式的解集与对应二次函数的关系，求得的取值范围，即可根据选项进行选择.
【详解】由题设知，对应的，
即，故，
所以数值中，可取到的数为1，2.
故选：.
12．设是实数集的一个非空子集，如果对于任意的，（与可以相等，也可以不相等），都有且，则称是“和谐集”，则下列命题中为真命题的是（ ）
A．存在一个集合，它既是“和谐集”，又是有限集
B．集合是“和谐集”
C．若，都是“和谐集”，则
D．对任意两个不同的“和谐集”，，总有
【答案】ABC
【分析】根据已知中关于“和谐集”的定义，利用题目四个结论中所给的运算法则，对所给的集合进行判断，特别是对特殊元素进行判断，即可得出答案.
【详解】A项中，根据题意是“和谐集”，又是有限集，故A正确；
B项中，设，则，，所以集合是“和谐集”，故B正确；
C项中，根据已知条件，可以相等，故任意“和谐集”中一定含有0，所以，故C正确；
D项中，取，，都是“和谐集”，
但5不属于，也不属于，所以不是实数集，故D错误.
故选：ABC
三、填空题
13．集合，用列举法表示 .
【答案】
【分析】根据可以得到的取值范围，从而确定的值，便可确定集合A中的数对.
【详解】解：由题意得
，则
满足条件的数对为，故
故答案为：
14．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96名学生喜欢足球或游泳，60名学生喜欢足球，82名学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数为 ．
【答案】46
【分析】设喜欢足球的学生、喜欢游泳的学生形成的集合分别为，，利用容斥原理计算即可.
【详解】设喜欢足球的学生、喜欢游泳的学生形成的集合分别为，，
由题意可知，，，
则，
即该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数为46，
故答案为：46
15．设集合，其中，且，若，则中的元素之和为 .
【答案】0
【分析】根据元素与集合间的关系，列方程求解.
【详解】因为，所以若，则集合不成立．所以．
若因为，所以，所以必有，所以．
因为，，所以或．
若，此时不成立，舍去．
若，则，成立．所以元素之和为．
故答案为：0.
16．若不等式的解集为，那么不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】利用一元二次不等式的解法求解.
【详解】因为不等式的解集为，
所以，所以，
所以不等式可整理为
，
即，
也即，解得，
故答案为: .
四、解答题
17．（1）解一元二次不等式：；
（2）比较与的大小．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）直接因式分解法解一元二次不等式即可.
（2）直接作差法结合平方数的非负性即可比较大小.
【详解】（1）原不等式等价于，解得，
原不等式的解集为．
（2），
.
18．（1）已知，，，求的最小值；
（2）若正数，满足，求的最小值．
【答案】（1）；（2）5.
【分析】（1）根据给定条件，利用基本不等式求解最小值即可.
（2）变形给定等式，利用基本不等式“1”的妙用求解即得.
【详解】（1）依题意，，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为．
（2）由，，得，
因此，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为5.
19．已知集合，，.
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）或.
【分析】（1）利用交并补的定义计算可得答案；
（2）按和分类讨论，列出不等式，解出的取值范围．
【详解】（1）若时，，
由或，所以
（2）由知
当时∴
当时或∴或
综上：的取值范围是或.
【点睛】本题考查集合的交并补运算，考查利用集合间的关系求参数范围问题，属于中档题．
20．经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y（千辆/小时）与汽车的平均速度υ（千米/小时）之间的函数关系为：．
(1)在该时段内，当汽车的平均速度υ为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（保留分数形式）
(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？
【答案】(1)当时，车流量最大，最大车流量约为千辆/时；
(2)大于且小于．
【分析】（1）根据基本不等式即可求得y的最大值．根据等号成立的条件求得此时的平均速度．
（2）在该时间段内车流量超过10千辆/小时时，解不等式即可求出的范围．
【详解】（1）依题意，由于,
所以
当且仅当，即时，上式等号成立，
∴（千辆/时）．
当时，车流量最大，最大车流量约为千辆/时；
（2）由条件得,
整理得，即，解得，
所以，如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应大于且小于．
21．（1）若对于一切实数，不等式恒成立，求的取值范围；
（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）若，检验不等式是否恒成立，若，则，可求的取值范围；
（2）当时，不等式恒成立，令，结合二次函数的性质可知，和时，可求的取值范围．
【详解】（1）要使恒成立，若，显然，满足题意；
若，则解得，
综上，的取值范围是．
（2）令．
当时，恒成立，则的根一个小于1，另一个大于2．
如图，得即解得，
的取值范围是．
22．设命题：实数满足；命题：实数满足；命题：实数满足的集合为．
(1)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围；
(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出命题和命题中的范围，再根据充分不必要条件得到集合的包含关系，根据包含关系列不等式求解；
（2）根据是的必要不充分条件得到集合的包含关系，根据包含关系列不等式求解.
【详解】（1）由，解得：，
由，解得：，
记实数满足的集合为，
实数满足的集合为，
是的充分不必要条件，，解得．
故实数的取值范围为；
（2）是的必要不充分条件，是的充分不必要条件，
，解得：，
故实数的取值范围为．