2023-2024学年安徽省淮北市实验高级中学高一上学期第三次月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年安徽省淮北市实验高级中学高一上学期第三次月考数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据自然数集的定义，写出集合，结合交集的运算，可得答案.
【详解】由题意，，则.
故选：C.
2．命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】将存在改为任意，只否定结论.
【详解】命题“，”的否定是，.
故选：C.
3．下列函数中，在区间上单调递减的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】ABC可直接由解析式判断出单调性，D选项，当时，，单调递增，D错误.
【详解】A选项，在上单调递减，A正确；
B选项，在上单调递增，B错误；
C选项，在上单调递增，C错误；
D选项，当时，，单调递增，D错误.
故选：A
4．函数的零点所在的一个区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】因为为增函数,故代入区间端点逐个计算,左负右正即可.
【详解】因为为增函数,且,
根据零点存在性定理知的零点在区间内.
故选B
【点睛】本题主要考查零点存在性定理.属于基础题型.
5．已知x，，x＋2y＝1，则的最小值（ ）
A．8B．9C．10D．11
【答案】B
【分析】由基本不等式“1”的代换求解即可.
【详解】因为x，，x＋2y＝1，
则
，
当且仅当，即时取等.
故选：B.
6．如图中的图象所表示的函数的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】分段求解：分别把0≤x≤1及1≤x≤2时的解析式求出即可．
【详解】当0≤x≤1时，设f（x）=kx，由图象过点（1，），得k=，所以此时f（x）=x；
当1≤x≤2时，设f（x）=mx+n，由图象过点（1，），（2，0），得，解得 所以此时f（x）=．函数表达式可转化为：y＝ |x－1|(0≤x≤2)
故答案为B
【点睛】本题考查函数解析式的求解问题，本题根据图象可知该函数为分段函数，分两段用待定系数法求得．
7．数学用语中，表示，中较大的数.已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求出，画出的图象即可判断在上的单调性和奇偶性，由可得，解方程即可得出答案.
【详解】因为，
则，
作出的图象，如下图，易知为偶函数，
当时，，则在上单调递增，
当时，，则在上单调递减，
所以由可得，
则，则，解得：，
故实数的取值范围是.
故选：D.
8．定义域为R的函数满足，且当时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用函数的对称性和单调性，比较函数值的大小.
【详解】由题意可知，函数的图像关于直线对称，在上单调递减，
则在上单调递增，，
由，，得，
则有，即.
故选：B
二、多选题
9．集合只有一个元素，则实数的取值可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】分类讨论：，然后求解出的取值即可.
【详解】当时，，满足条件；
当时，若中仅有一个元素，则，此时，
若，则，满足，
若，则，满足，
故选：ABD.
10．下列结论正确的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．“”是“”的必要不充分条件
C．若关于的不等式的解集为，则
D．若不等式的解集是，则
【答案】ACD
【分析】由充分条件和必要条件的定义可判断A，B；由二次函数的性质可判断C；由一元二次不等式的解集即为方程的根可判断D.
【详解】对于A，由可得或，
所以“”是“”的充分不必要条件，故A正确；
对于B，“”能推出“”，但推不出，
所以“”是“”的充分不必要条件，故B错误；
对于C，关于的不等式的解集为，
当时，，解得不成立，
当时，，解得，所以C正确；
对于D，故不等式的解集是，
则是方程的根，所以，故D正确.
故选：ACD.
11．（多选）若，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】根据对数和指数的互化计算出，然后逐项验证即可.
【详解】∵，，∴，，∴，故A选项正确；，故B选项错误；
，故C选项错误；，故D选项正确，
故选：AD
12．数学上，高斯记号是指对取整符号和取小符号的统称，用于数论等领域定义在数学特别是数论领域中，有时需要略去一个实数的小数部分只研究它的整数部分，或需要略去整数部分只研究小数部分，因而引入高斯记号.设，用表示不超过的最大整数.比如：，，.，已知函数，，（）则下列选项中正确的是（ ）
A．B．的值域为
C．方程无实根D．方程仅有一个实根
【答案】ACD
【分析】先进行分段化简函数，并画函数，图象，再结合图象逐项判断即可.
【详解】由高斯函数的定义可得：当时，，则，
当时，，则，当时，，则，
当时，，则，当时，，则，
绘制函数图象如图所示，

故，故A正确；
由图可知，的值域为，故B错误；
由高斯函数的定义可得：当时，，则，
当时，，则，当时，，则，
当时，，则，当时，，则，
绘制函数图象如图所示，

对于C，由选项A知，在上的值域为，
所以方程无实根，故C正确；
对于D，当时，即，解得，
当时，即，解得，
结合函数图象知，方程仅有一个实根，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题
13．函数的定义域为 .
【答案】
【分析】由对数函数定义域、根式有意义的条件即可得解.
【详解】由题意，解得，所以函数的定义域为.
故答案为：.
14．已知函数为奇函数，则 ．
【答案】/
【分析】利用奇函数的性质进行求解即可.
【详解】因为是奇函数，所以有，
故答案为：
15．已知是R上的单调递减函数，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据分段函数、一次函数与对数函数的单调性，建立不等式组，可得答案.
【详解】由题意可得，解得.
故答案为：.
16．已知函数，若，则实数的取值范围为 .
【答案】或
【分析】令，分析出函数为上的减函数且为奇函数，将所求不等式变形为，可得出关于的不等式，解之即可.
【详解】令，对任意的，，
故函数的定义域为，
因为，
则，所以，函数为奇函数，
当时，令，由于函数和在上均为减函数，
故函数在上也为减函数，
因为函数在上为增函数，故函数在上为减函数，
所以，函数在上也为减函数，
因为函数在上连续，则在上为减函数，
由可得，即，
所以，，即，解得或.
故答案为：或.
四、解答题
17．计算下列各式.
(1)
(2).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由指数幂的运算性质化简即可得出答案；
（2）由对数的运算性质化简即可得出答案.
【详解】（1）原式.
（2）原式.
18．已知集合，非空集合．
(1)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）化简集合，由“”是“”得，列出不等式组即可求解；
（2）由交集的结果，结合数轴讨论即可.
【详解】（1）由题意，，解得，
．
由“”是“”的充分条件，得，
则，解得，
故实数的取值范围为．
（2）由题意，得，即，
由，得或，解得或，
或；
综上所述.
19．已知函数是定义域为的奇函数，当时，.
(1)求出函数在上的解析式，并写出的单调区间；
(2)若函数的图象与直线有三个交点，求实数的取值范围.
【答案】(1)，单调增区间：，单调减区间：
(2)
【分析】（1）根据函数是定义域为的奇函数，先求出函数解析式，再画出图象即可得到其单调区间.
（2）画出图形，通过数形结合即可得出函数的图象与直线有三个交点时实数的取值范围.
【详解】（1）由于函数是定义域为的奇函数，则；
当时，，因为是奇函数，所以．
所以．
综上：．
画出函数图象如下图所示：
所以单调增区间：，单调减区间：．
（2）如图所示：
因为方程有三个不同的解，由图象可知， ，即．
20．2023年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本5000万元，每生产（百辆），需另投入成本（万元），且，已知每辆车售价15万元，全年内生产的所有车辆都能售完.
(1)求2023年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；
(2)2023年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.
【答案】(1)
(2)， 万元
【分析】（1）根据利润＝销售额－成本，结合分类讨论思想进行求解即可；
（2）根据配方法、基本不等式进行求解即可.
【详解】（1）当时，，
当时，，
综上，.
（2）由（1）知，，
当时，，
因为，所以，当时，，
当时，，
当且仅当，即时取等号，此时，又，
所以，2023年产量为百辆时，企业所获利润最大，最大利润为万元.
21．已知函数是定义在上的函数，恒成立，且.
(1)确定函数的解析式并证明判断在上的单调性；
(2)解不等式.
【答案】(1)，函数在区间上单调递增，证明见解析
(2)
【分析】（1）根据条件及奇函数的性质，求出，，即可求出的解析式，再利用定义即可证明在上的单调性；
（2）利用函数在上的奇偶性和单调性，即可求出结果.
【详解】（1）因为函数是定义在上的函数，且恒成立，
所以，又，所以，得到，
当，时，，，
所以，，满足题意，故函数的解析式为，
函数在区间上单调递增，证明如下，
任取，且，
，
因为，且，所以，，，
又易知，，所以，即，
所以，函数在区间上单调递增.
（2）因为函数是定义在上奇函数，且在区间上单调递增，
所以，由，得到，
所以，即，解得，
所以，原不等式的解集为.
22．已知函数.
(1)若，求方程的解集；
(2)当时，求函数的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据对数的运算化简方程即可得出解集；
（2）根据二次函数的对称轴，分类讨论，即可求出函数的最小值.
【详解】（1），
若，则，
令，则方程为，解得：或，
则或，
∴或，
∴方程的解集为.
（2）∵，
∴，令，
则在上的最小值等价于在上的最小值，
对称轴为.
当，即时，；
当，即时，；
当，即时，.
综上，.
【点睛】关键点睛：二次函数求最值问题，需要根据开口方向及对称轴研究函数的最值，对称轴与定义域的关系，分3种情况讨论即可，属于中档题.