2023-2024学年福建省莆田市第四中学高一上学期第二次月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年福建省莆田市第四中学高一上学期第二次月考数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设集合，集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】解指数不等式化简集合N，再利用集合的交并补运算逐项判断即可.
【详解】依题意，，而，
对于A，，因此，A是；
对于B，，因此，B不是；
对于C，，因此或，C不是；
对于D，或，因此或，D不是.
故选：A
2．若，，，则（ ）
A． B．C．D．
【答案】C
【分析】根据指数函数、对数函数的性质比较大小.
【详解】因为，所以，
因为，所以，
因为，且，所以，
所以，
故选：C.
3．设、，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据充要条件的定义，结合不等式的性质，举实例，可得答案．
【详解】解：①若，，成立，充分性成立，
②当，时，成立，但不成立，必要性不成立，
是的充分不必要条件，
故选：．
4．已知函数f(x)＝－x2＋2，g(x)＝lg2|x|，则函数F(x)＝f(x)·g(x)的图象大致为
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意得函数为偶函数，根据函数的性质及函数值的正负可得所求的图象．
【详解】由题意得，函数为偶函数，
∴函数为偶函数，其图象关于轴对称，
故只需考虑时的情形即可．
由函数的取值情况可得，当时，函数的取值情况为先负、再正、再负，
所以结合各选项得B满足题意．
故选B．
【点睛】已知函数的解析式判断函数图象的形状时，可从函数的定义域、函数值、函数的性质（单调性、奇偶性、对称性等）以及特殊值等几个方面入手考虑，经过排除的方法逐步得到所求的图象．
5．已知函数（且）恒过定点，且满足，其中m，n是正实数，则的最小值（ ）
A．4B．C．9D．
【答案】C
【分析】由对数函数解析式易知，则有，应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值即可，注意等号成立条件.
【详解】由过定点，
∴，
∴，当且仅当，即时取等号．
故选：C．
6．已知函数，若实数，则函数的零点个数为（ ）
A．0或1B．1或2C．1或3D．2或3
【答案】D
【分析】转化为与的函数图象交点个数问题，画出函数图象，数形结合得到答案.
【详解】函数的零点个数即函数与的函数图象交点个数问题，
画出的图象与，的图象，如下：
故函数的零点个数为2或3.
故选：D
7．血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度正常范围是，当血氧饱和度低于时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：描述血氧饱和度随给氧时间t（单位：时）的变化规律，其中为初始血氧饱和度，K为参数.已知，给氧1小时后，血氧饱和度为.若使得血氧饱和度达到，则至少还需要给氧时间（单位：时）为（ ）
（精确到0.1，参考数据：）
A．0.3B．0.5C．0.7D．0.9
【答案】B
【分析】依据题给条件列出关于时间t的方程，解之即可求得给氧时间至少还需要的小时数.
【详解】设使得血氧饱和度达到正常值，给氧时间至少还需要小时，
由题意可得，，两边同时取自然对数并整理，
得，，
则，则给氧时间至少还需要小时
故选： B
8．已知函数是偶函数，当时，，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据已知画出的图象，并将不等式化为，数形结合求不等式解集.
【详解】根据题意，作偶函数的图象，如下图示.

由，不等式可化为，则，
所以或，由图知：或或或.
所以不等式解集为.
故选：D
二、多选题
9．用二分法求函数的一个零点的近似值（精确度为）时，依次计算得到如下数据：，，，，则下列说法正确的是（ ）
A．函数在上有零点
B．已经达到精确度，可以取作为近似值
C．没有达到精确度，应该接着计算
D．没有达到精确度，应该接着计算
【答案】AD
【分析】利用二分法判断出方程根的分布区间，即可根据精确度求出根的近似值．
【详解】对于A项：，由函数零点存在定理知，方程在区间有实根，故A正确；
对于B、C项：，没有达到精确度的要求，故B错误；
对于D项：由，没有达到精确度的要求，应该接着计算，故C错误，D正确；
故选：AD.
10．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的定义域为B．在区间上单调递减
C．的值域为D．图象关于点中心对称
【答案】BC
【分析】对于A，直接由解析式求解定义域即可，对于B，根据复合函数单调性的判断方法判断即可，对于C，由函数的单调性求解其值域，对于D，根据函数的定义域判断.
【详解】对于A，由，得，所以函数的定义域为，所以A错误；
对于B，，令，可得该函数在单调递减，
又由于函数在定义域内单调递增，所以复合函数在单调递减，所以B正确；
对于C，，令，该函数在单调递减，所以，
所以，所以函数的值域为，所以C正确；
对于D，因为函数的定义域为，所以图象不可能关于点中心对称，所以D错误；
故选：BC.
11．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于点对称B．在上是减函数
C．的值域为D．不等式的解集为
【答案】ACD
【分析】A选项，计算出，A正确；B选项，举出反例得到B错误；C选项，分离常数后求出函数值域；D选项，根据A选项得到，再得到函数的单调性，从而得到不等式，求出解集.
【详解】A选项，，
则，
故的图象关于点对称，A正确；
B选项，，，，故在上不是减函数，B错误；
C选项，因为，所以，
则，故的值域为，C正确；
D选项，由A知，，故，
又，且，
则，
因为在R上单调递增，又，所以，
故，故在R上单调递增，
故，解得，D正确.
故选：ACD
12．函数在上有定义，若对任意，，有，则称在上具有性质M，设在上具有性质M，则下列说法错误的是（ ）
A．在上的图像是连续不断的
B．在上具有性质M
C．对任意，，，，有
D．若在处取得最小值1011，则，
【答案】AB
【分析】AB选项可以举出反例，CD选项可以利用函数具有性质M，进行变形推出出结果.
【详解】对于A，设，在上具有性质M，但不连续，故A错误；
对于B，设，在上具有性质M，但在上不具备性质M，故B错误；
对于C，
，故C正确；
对于D，由性质M得，当时，，又因为，，故，，D正确.
故选：AB
三、填空题
13．函数的单调增区间为 .
【答案】或二选一
【分析】利用指数函数、二次函数单调性，结合复合函数单调性法则求解即得.
【详解】函数的定义域为R，
函数在上单调递增，在单调递减，
而函数在R上单调递减，因此函数在上单调递减，在单调递增，
所以函数的单调递增区间是（或二选一）.
故答案为：或二选一
14．已知函数的值域为，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据函数的取值范围转化为定义域的问题，对参数是否为0进行分类讨论，即可求出的取值范围
【详解】解：因为函数的值域为，
所以，是函数的值域的子集，
所以，当时，的值域为，满足题意；
当时，要使是函数的值域的子集，则需满足，解得，
综上，的取值范围是
故答案为：
15．已知幂函数在上单调递增，函数，，，使得成立，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据为幂函数、在上单调递增可得，由，，使得成立，转化为，，使得成立，
求出时和在上的最小值解不等式可得答案.
【详解】因为幂函数在上单调递增，
所以，解得，，
，，使得成立，转化为，，使得成立，
当时，，
由可得在时恒成立，
当即时，的最小值为，解得
；
当即时，的最小值为，解得；
当即时，的最小值为，解得
；
综上所述，实数的取值范围为.
故答案为：.
16．对于区间，若函数同时满足：①在上是单调函数；②函数，的值域是，则称区间为函数的“保值”区间．（1）写出函数的一个“保值”区间为 ；（2）若函数存在“保值”区间，则实数的取值范围为 ．
【答案】 /[0,0.5]
【分析】（1）由条件可知在区间上是单调函数，根据的值域判断出，由此得到从而求解出的值；
（2）设存在的“保值”区间为，考虑两种情况：，，根据单调性得到关于等式，然后根据二次函数的性质即得.
【详解】（1）因为，所以的值域为，
所以，所以在上单调递增，
所以，所以，又，
解得，
所以一个“保值”区间为；
（2）设保值区间为，若，则在上为增函数，
所以，即，为方程的2个不等实根，
设，则，
所以；
若，则在上为减函数，
所以有，两式相减：，
代入得：，
所以方程有2个不等实根，，
从而有，
解得得；
综上所述：．
故答案为：；.
四、解答题
17．计算：
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)9
【分析】（1）按指数幂的运算法则计算即可
（2）按对数的运算法则计算即可
【详解】（1）原式
（2）
.
18．设集合，.
(1)若为空集，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2)或.
【分析】（1）利用一元二次不等式解集为空集，列出不等式求解即得.
（2）解对数不等式化简集合A，再分类讨论解不等式化简集合B，并结合包含关系求解即得.
【详解】（1）依题意，不等式解集为空集，
于是，即，解得，
所以.
（2）不等式，解得，即，
，
当时，，则；
当时，，则，而，显然不是的子集；
当时，，则，
由，得，解得，
所以的取值范围是或.
19．已知函数是奇函数.
(1)求的值；
(2)判断在上的单调性，并证明；
(3)求关于的不等式的解集.
【答案】(1)6
(2)单调递增，证明见解析
(3)
【分析】（1）根据奇函数的定义即可求的值；
（2）判断函数在上为递增函数，利用单调性的定义取值、作差、变形、定号、下结论即可证明单调性；
（3）结合函数的奇偶性与单调性，可将不等式转化为一元二次不等式即可得解集.
【详解】（1）由函数是奇函数
所以即，
化简可得，解得.
（2）函数在上单调递增，理由如下：
在上任取两个实数，，设，
则
因为，所以，所以，，，
所以，即，
所以在上单调递增.
（3）由得，
由得，所以
又在上单调递增，在恒成立，
即，解得，
所以原不等式解集为.
20．某医学研究所研发一种药物，据监测，如果成人在内按规定的剂量注射该药，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，每毫升血液中的药物含量与服药后的时间之间近似满足如图所示的曲线，其中是线段，曲线段是函数（，是常数）的图象，且.

(1)写出注射该药后每毫升血液中药物含量关于时间的函数关系式；
(2)据测定：每毫升血液中药物含量不少于时治疗有效，如果某人第一次注射药物为早上8点，为保持疗效，第二次注射药物最迟是当天几点钟？
(3)若按（2）中的最迟时间注射第二次药物，则第二次开始注射到达时，此刻该人每毫升血液中药物含量为多少？（参考数据：）
【答案】(1)
(2)13点
(3)
【分析】（1）根据函数图象分段求解函数解析式即可；
（2）根据题意列出不等式，求解出答案即可；
（3）分别求解出第二次注射后每毫升血液中含第一次和第二次服药后的剩余量，相加即为结果.
【详解】（1）当时，，
当时，把代入是常数
得：，解得：
（2）设第一次注射药物后最迟过小时注射第二次药物，其中.
则，
解得：第一次注射药物后开始第二次注射药物，
即最迟13点注射药物.
（3）第二次注射药物后，
每毫升血液中第一次注射药物的含量：
每毫升血液中第二次注射药物的含量：，
所以此时两次注射药物后的药物含量为：.
21．已知函数，且.
（1）求的解析式；
（2）已知的定义域为.
（ⅰ）求的定义域；
（ⅱ）若方程有唯一实根，求实数的取值范围.
【答案】（1）（2）（ⅰ）.（ⅱ）
【解析】（1）利用换元法以及，即可求解的解析式；
（2）（ⅰ）解不等式，即可得出的定义域；
（ⅱ）根据，的定义域得出，结合函数的解析式将方程化为，利用换元法得出，讨论的值，结合二次函数的性质即可得出实数的取值范围.
【详解】解：（1）令，则，所以，
因为，所以，
所以
（2）（ⅰ）因为的定义域为，
所以，解得，
所以的定义域为.
（ⅱ）因为，所以在恒成立，
因为在单调递减，所以最大值为1，
所以.
又因为，所以，
化简得，
令，则在有唯一实数根，
令，
当时，令，则，所以，得符合题意，所以；
当时，，所以只需，解得，因为，所以此时无解；
综上，.
【点睛】本题主要考查了利用换元法求函数解析式以及根据函数的零点确定参数的范围，属于较难题.
22．若函数在定义域的某区间上单调递增，而在区间上单调递减，则称函数在区间上是“弱增函数”.
(1)判断和在上是否为“弱增函数”（写出结论即可，无需证明）；
(2)若在上是“弱增函数”，求实数的取值范围；
(3)已知（是常数且），若存在区间使得函数在区间上是“弱增函数”，求实数的取值范围.
【答案】(1)不是上的“弱增函数”；是上的“弱增函数”
(2)
(3).
【分析】（1）根据“弱增函数”的定义直接判断即可；
（2）根据“弱增函数”定义可知在上单调递增，在上单调递减，然后利用二次函数与对勾函数的图象及其性质求解参数的范围即可；
（3）由于函数是分段函数，我们需要分，及三种情况，分别根据“弱增函数”定义结合二次函数、对勾函数图像及其性质分别求解参数的取值范围，最终得到的范围.
【详解】（1）由于在上单调递增，且也在上单调递增，
不是上的“弱增函数”；
由于在上单调递增，但在上单调递减，
是上的“弱增函数”.
（2）若在上是“弱增函数”，
则在上单调递增，在上单调递减.
图象的对称轴为直线，∴在上单调递增，满足题意；
令，∵，∴为对勾函数，
当时，，由对勾函数性质知：在单调递减，
∴当时，即时，在上单调递减；
∴在上为“弱增函数”时，的取值范围是.
（3）∵，∴.
当时，在为常数函数，故不是“弱增函数”；
当时，若在区间上为“弱增函数”，则单调递增，
单调递减.
令.
当时，由基本初等函数知在上单调递增，故不可能为“弱增函数”；
当时，为对勾函数，在上单调递减，
在上单调递增.图象的对称轴为直线；
∴为“弱增函数”可得或，解得或.
∴时，为“弱增函数”；
当时，若为“弱增函数”，则，解得；
综上所述，的取值范围是.