2023-2024学年广东省广州市广州大学附中高一上学期10月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年广东省广州市广州大学附中高一上学期10月月考数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，问答题，计算题，应用题，证明题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知全集，如图所示，阴影部分表示的集合是（ ）

A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，得到阴影部分表示的集合是，结合集合的并集和补集的运算，即可求解.
【详解】由题图可知，阴影部分表示的集合是，
因为，可得，
所以.
故选：D.
2．命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】由全称命题的否定是特称命题可判断.
【详解】命题“”的否定为“”.
故选：B.
3．已知集合，，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】求得，结合，得到，根据集合并集的运算，即可求解.
【详解】由集合，
因为，可得，所以.
故选：C.
4．下列全称量词命题为真命题的是（ ）
A．所有的质数都是奇数
B．，
C．对每一个无理数，也是无理数
D．所有能被5整除的整数，其末位数字都是5
【答案】B
【分析】ACD选项通过举反例排除，B选项可证明.
【详解】质数中2不是奇数，A选项为假命题；
，都有，则，B选项为真命题；
为无理数，但是有理数，C选项为假命题；
所有能被5整除的整数，其末位数字可以是5也可以是0，D选项为假命题.
故选：B
5．已知，则的最大值为（ ）
A．2B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】利用基本不等式进行求解即可.
【详解】因为，
所以，
当且仅当时取等号，因为，解得，
故选：B
6．已知不等式对任意正实数恒成立，则正实数的最小值为（ ）
A．2B．4C．6D．9
【答案】D
【分析】根据基本不等式即可求解最值，进而由即可求解.
【详解】因为，当且仅当且时取等号，
所以，整理得，解得，故正实数的最小值为9.
故选:D.
7．关于x的方程，以下命题正确的个数为（ ）
（1）方程有二正根的充要条件是；（2）方程有二异号实根的充要条件是；（3）方程两根均大于1的充要条件是.
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】B
【分析】对于（1），举反例，即可判断；对于（2）方程有二异号实根可推出 ，可推出方程有二异号实根，即可判断；对于（3），举反例，即可判断.
【详解】对于（1），令满足，但，方程无实数解，（1）错；
对于（2），必要性：方程，有一正根和一负根，.
充分性：由可得，所以及,
方程 有一正根和一负根，（2）对；
对于（3），令，两根为，满足，但不符合方程两根均大于1，（3）错.
故选：B
8．若正实数x，y满足，则下列结论不正确的是（ ）
A．的最小值为4B．的最大值为4
C．的最小值为D．的最大值为8
【答案】D
【分析】根据基本不等式及其变形逐项判断即可.
【详解】对于A项，，整理得，
解得，当且仅当时，等号成立，故A正确；
对于B项，由A项可知，所以，当且仅当时，等号成立，故B正确；
对于C项，由题可知，
故，
当且仅当时，等号成立，故C正确；
对于D项，，又，所以的最小值为8，当且仅当2时取得最小值，故D错误.
故选：D.
二、多选题
9．下列命题中，真命题的是（ ）
A．，都有B．，使得.
C．任意非零实数，都有D．函数的最小值为2
【答案】AB
【分析】对于选项A，作差比较可知A正确；对于选项B，当时，可知B正确；对于选项C，当异号时，可知C错误；对于选项D，根据基本不等式取等的条件不成立可知D错误.
【详解】对于选项A，，所以对，都有，故选项A正确；
对于选项B，当时，，故选项B正确；
对于选项C，若异号，则0，故选项C错误；
对于选项D，，当且仅当，此时，此式无解，所以函数的最小值不为2，故选项D错误.
故选：AB
10．已知是成立的必要条件，是成立的充要条件，是成立的充分条件，是成立的不充分条件，则下列说法不正确的是（ ）
A．是成立的充要条件B．是成立的必要不充分条件
C．是成立的充分不必要条件D．是成立的必要不充分条件
【答案】ACD
【分析】根据充分条件、必要条件、充要条件的概念逐个选项分析可得答案.
【详解】依题意得，，，，
由，得，但不一定能推出，故A不正确；
由，得，又，所以是成立的必要不充分条件，故B正确；
因为不一定能推出，不一定能推出，所以C不正确；
因为，，所以，又，所以是成立的充分不必要条件，故D不正确.
故选：ACD
11．已知，，，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则B．若且，则
C．若，则D．若，则
【答案】ABC
【分析】根据不等式的性质即可结合选项逐一求解.
【详解】选项A，若成立则，所以，故选项A正确；
选项B，由得，又因为，
所以，所以，故选项B正确；
选项C，因为，所以，所以，
因为，所以两边同乘得，故选项C正确；
选项D，因为，，，
所以，即，故选项D不正确；
故选：ABC．
12．已知,若对任意的,不等式恒成立.则（ ）
A． B．
C．的最小值为12D．的最小值为
【答案】ACD
【分析】先对进行因式分解,分情况讨论小于等于零的情况,可得,即,可得选项A,B正误;将中的用代替,再用基本不等式即可得出正误;先将代入中,再进行换元,求出新元的范围,根据二次函数的单调性即可求出最值,判断D的正误.
【详解】因为,
恒成立,即恒成立,
因为,所以当时,,则需,
当时,,则需,
故当时,,即,
所以且,故选项A正确,选项B错误;
所以,
当且仅当时,即时取等,故选项C正确;
因为,
令,
当且仅当，即时等号成立，故，
所以,故,
所以在上,单调递减,即,所以，故选项D正确.
故选:ACD
【点睛】思路点睛:该题考查基本不等式的应用,属于难题,关于不等式有:
(1),;
(2)柯西不等式:;
(3)变换后再用基本不等式:.
三、填空题
13．设集合，只有一个子集，则满足要求的实数 ．
【答案】0
【分析】由题意可得 A是空集 即可求解.
【详解】集合，只有一个子集，
则，，
所以方程无解，即．
故答案为：0．
14．已知：或，：或，若是的必要条件，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】将充分必要条件的判断问题转化为集合问题解决．
【详解】因为是的必要条件，所以，
即由或或；
时，，此时：，有成立；
②时，:且，；
③时，有，即，此时无解， ；
综上，．
故答案为：．
15．设，，，则的最小值为 .
【答案】/
【分析】利用“1”的代换将式子变形后，利用基本不等式求最值.
【详解】，，，
.
当且仅当，即时等号成立.
故答案为：.
16．设矩形的周长为20，把三角形沿向三角形折叠，折过去后交于点P（如图所示），则三角形的面积的最大值为 ．
【答案】
【分析】根据题意设，，利用平面几何知识表示出，进而求得，结合基本不等式即可求得答案.
【详解】由题意可设翻折后B点的位置为,
因为矩形周长为20，设，
则 ，由翻折可知，即有,
而,故 ，
,设 ，则，
在中，由勾股定理得： ，
则 ，
，即， ，
则，
，当且仅当时取等号，
，即三角形的面积的最大值为，
故答案为：.
四、问答题
17．已知全集．
(1)求；
(2)若且，求的取值范围．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）先求出集合，再求即可，
（2）先求出，然后由，对和两种情况讨论求解即可.
【详解】（1）因为，
所以或，
因为，
所以或
（2）因为
所以或，
当时，成立，此时，解得，
当时，因为，
所以，或，解得，
综上，的取值范围为
五、计算题
18．解下列不等式：
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)或
【分析】换元，解一元二次不等式即可.
【详解】（1）原不等式化为，
令，则不等式可化为，解得，
又因为，所以，即，解得.
故原不等式的解集为.
（2）原不等式化为，
令，则不等式可化为，解得或（舍去），
所以，所以或，故原不等式的解集为或.
六、问答题
19．已知集合，
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若不存在实数x，使，同时成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）先得出，然后按照是否为空集分类讨论；
（2）根据题意，可将问题转化成的讨论.
【详解】（1）根据可知，，有两种情况：
若，则，解得；
若，根据可得，解得.
结合（1）（2）可得，时，，即
（2）若不存在实数x，使同时成立，即，有两种情况：
若，则，解得
若且时，则有解得，或，解得
结合（1）（2）可得或
七、应用题
20．某公司决定对旗下的某商品进行一次评估，该商品原来每件售价为25元，年销售8万件.
(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量.公司决定立即对该商品进行全面技术革新和销售策略调整，并提高定价到x元.公司拟投入万元.作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量至少达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价.
【答案】(1)40元
(2)10.2万件，30元
【分析】（1）设每件定价为元，求出原销售收入和新销售收入后列不等式求解；
（2）列出不等关系，分离参数得，从而利用基本不等式即可得解.
【详解】（1）依题意，设每件定价为元，得，
整理得，解得.
所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元.
（2）依题意知当时，不等式有解，
等价于时，有解，
由于，当且仅当，即时等号成立，
所以，
当该商品改革后销售量至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，
此时该商品的每件定价为30元.
八、证明题
21．已知、、都是正数．
(1)求证：；
(2)若恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）将所证不等式等价转化为证明，利用基本不等式结合不等式的基本性质可证得结论成立；
（2）化简得出，利用基本不等式可得出关于的二次不等式，解之即可.
【详解】（1）证明：要证，
左右两边同乘以可知即证，
即证．
因为、、都是正数，由基本不等式可知，，，
当且仅当时，以上三式等号成立，
将上述三个不等式两边分别相加并除以，得．
所以，原不等式得证．
（2）解：，
因为，当且仅当时等号成立，
所以，，即，解得，
故实数的取值范围为．
九、问答题
22．已知关于x的不等式．
(1)若，求该不等式的解集；
(2)若，求该不等式的解集．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）将代入原不等式并保证不等号两边同时为非负数，将两边同时平方解不等式即可；
（2）保证不等号两边同时为非负数的前提下，对的不同取值进行分类讨论，再对不等式进行求解可得结果.
【详解】（1）将代入原不等式可得，
易知，且，即；
将原不等式两边同时平方可得，解得或；
又因为，综上可得；
所以时，该不等式的解集为
（2）若时，则，解得；
又，解得
将不等式两边同时平方可得，即，可得；
当时，需满足，
又，解得或，此时不等式的解集为；
当时，不等式可化为，解得或，又，此时不等式的解集为；
当时，需满足，
又，解得或，此时不等式的解集为；
当时，需满足，整理不等式可得恒成立，此时不等式的解集为；
当时，需满足，
又，解得或，此时不等式的解集为；
综上可知：当或时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；