2023-2024学年广东省广州市科学城中学高一上学期月考（二）数学试题含答案

这是一份2023-2024学年广东省广州市科学城中学高一上学期月考（二）数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】直接利用集合交集的定义求解即可.
【详解】因为集合，
所以，
故选：C.
2．命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】直接根据全称命题的否定是特称命题可得答案.
【详解】根据全称命题的否定是特称命题得
命题“，”的否定是“，”.
故选：C.
3．已知，则（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】A
【分析】进行弦化切，代入求解.
【详解】因为，所以.
所以.
故选：A
4．函数的零点所在区间为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据解析式判断函数在定义域上的连续性，再根据零点存在性定理判断零点所在区间即可.
【详解】由题设，是定义域在上连续不断的递增函数,
又，，
由零点存在定理可知,零点所在区间为.
故选:.
5．函数的部分图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先确定函数的奇偶性，排除两个选项，然后再利用特殊的函数值的正负排除一个选项，得正确结论．
【详解】，
则为奇函数，其图象关于原点对称，故排除B，D，
当时，，
当时，，故排除A，
故选：C．
6．已知，，，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用对数函数的单调性来比较大小即可.
【详解】函数在上单调递增，
，
，
，
.
故选：B.
7．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度（单位：）可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数．现有的物体，放在的空气中冷却．后物体的温度是，那么该物体的温度降至还需要冷却的时间约为（参考数据：，）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据给定的函数模型，列式并借助对数运算求解即得.
【详解】依题意，由的物体，放在的空气中冷却，后物体的温度是，
得，解得，
该物体的温度降至需要冷却的时间为，则，
于是，两边取对数得，
所以该物体的温度降至还需要冷却的时间约为.
故选：D
8．已知函数的定义域为，，当时，有，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】构造函数，可得函数在上单调递减，由题可得，即求.
【详解】∵当时，有，
∴，即，
令，则当时，，
∴函数在上单调递减，
由，知，可得，
又，所以，
∴，
∴，解得.
故选：C.
二、多选题
9．下列函数中是偶函数，且在上是减函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【分析】结合奇偶性的定义及基本初等函数的单调性即可判断.
【详解】对A，定义域为，关于原点对称，
又，故为偶函数，
但其在上是增函数，A错误；
对B，定义域为，关于原点对称，
又，故为偶函数，
且其在上是减函数，B正确；
对C，定义域为，关于原点对称，
又，故为偶函数，
但其在上是增函数，C错误；
对D, 定义域为，关于原点对称，
又，故为偶函数，
且其在上是减函数，D正确；
故选：BD
10．设实数a，b满足，则下列不等式中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】选项A：做差判断；选项BCD：构造函数，利用函数单调性判断.
【详解】对于A：，，，，即，A错误；
对于B：函数在上的单调递减，又，，B正确；
对于C：函数在上的单调递增，又，，C正确；
对于D：函数在上的单调递增，又，，D错误；
故选：BC.
11．给出下列四个命题，其中是真命题的为（ ）
A．如果θ是第一或第四象限角，那么
B．如果，那么θ是第一或第四象限角
C．终边在x轴上的角的集合为
D．已知扇形OAB的面积为1，周长为4，则扇形的圆心角（正角）的弧度数为2
【答案】AD
【分析】对于A，利用三角函数的定义即可判断；对于B，举反例即可；对于C，直接写出对应角的集合；对于D，利用扇形的面积和弧长公式即可
【详解】对于A，若θ是第一或第四象限角，根据三角函数的定义可得，故正确；
对于B，若，则，但此时θ不是第一或第四象限角，故错误；
对于C，终边在x轴上的角的集合为，故错误；
对于D，设扇形的圆心角的弧度数为，半径为，
则，解得，故正确
故选：AD
12．已知函数，方程有四个不同的实数根，从小到大依次是，，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．m可以取到3
【答案】BCD
【分析】画出图像，令，由图像可得方程解的个数，则有4个不同实数解，相当于图像与直线交点个数之和为4.后依次分析各选项即可.
【详解】令，可得.
又，可得图像如下.
令，则方程解的个数为图像与直线交点的个数.
则时，解的个数为2；时，解的个数为3；，解的个数为2；
时，解的个数为1.
,此方程判别式大于0，则方程有两根，
由韦达定理，.又有4个不同实数解，相当于图像与直线交点个数之和为4.
由以上分析可知，，，满足题意.
A选项，因，，则，
由图可得，即.
故A错误；
B选项，由图像可得，故B正确；
C选项，由图像可得，
.
故C正确.
D选项，当时，，可解得，
，.即此时符合题意.故D正确.
故选：BCD
三、填空题
13．若角的终边经过点，则的值是 .
【答案】
【分析】利用三角函数的定义可求得所求代数式的值.
【详解】因为角的终边经过点，
由三角函数定义可得.
故答案为：.
14．函数的定义域为 ．
【答案】
【分析】直接根据对数的真数大于零及被开方数不小于零列不等式求解.
【详解】由已知得，解得，
即函数的定义域为.
故答案为：.
15．已知幂函数在上单调递增，则m＝ ．
【答案】4
【分析】根据幂函数的定义与性质列式求解.
【详解】由题意可得，解得
故答案为：4.
16．对于函数和，设，，若存在使得，则称函数和互为“零点相邻函数”，若函数与互为“零点相邻函数”，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【分析】首先求出函数的零点，从而得，结合新定义可得，则，从而可知方程在区间上存在实数根，通过分离参数并化简整理得，结合函数的单调性求出值域，从而确定实数的取值范围.
【详解】函数是上的单调递增函数，且，据此可知，
结合“零点相邻函数”的定义可得，则，
据此可知函数在区间上存在零点，
即方程在区间上存在实数根，
整理可得：，
令，则，
根据对勾函数的性质，函数在区间上单调递减，在上单调递增，又，，
则
据此可知实数的取值范围是.
故答案为：
【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.
四、解答题
17．已知函数（，且）．
(1)若函数的图象过点，求b的值；
(2)若函数在区间上的最大值比最小值大，求a的值．
【答案】(1)1
(2)或
【分析】（1）将点坐标代入求出b的值；（2）分与两种情况，根据函数单调性表达出最大值和最小值，列出方程，求解a的值.
【详解】（1），解得.
（2）当时，在区间上单调递减，此时，，所以，解得：或0（舍去）；
当时，在区间上单调递增，此时，，所以，解得：或0（舍去）.
综上：或
18．已知集合，．
(1)求：
(2)若集合，且，求实数a的取值范围
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求出集合A中元素范围，然后直接求即可；
（2）直接根据集合间的包含关系列不等式计算即可.
【详解】（1），又，
；
（2），，，
，
解得.
19．设函数．
(1)若不等式的解集为，求实数的值；
(2)若，且，使成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由韦达定理列方程组求解可得；
（2）该问题为恒成立问题，整理后分二次系数是否等于0两种情况讨论即可.
【详解】（1）由题意可知：方程的两根是，1
所以解得
（2）由得
，成立，即使恒成立，
又因为，代入上式可得恒成立．
当时，显然上式不恒成立；
当时，要使恒成立
所以，解得
综上可知的取值范围是．
20．已知函数．
(1)证明：函数在区间上单调递增；
(2)已知，试比较三个数a，b，c的大小，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据函数单调性的定义即可证明；
（2）先比较三个数的大小，再利用函数的单调性即可比较a，b，c的大小.
【详解】（1）证明：函数，
任取，且，
则，
因为，且，
所以，，
所以，即，
所以函数在区间上单调递增；
（2）解：由（1）可知函数在区间上单调递增，
因为，，，
所以，
所以，即.
21．2023年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本5000万元，每生产（百辆），需另投入成本（万元），且，已知每辆车售价15万元，全年内生产的所有车辆都能售完.
(1)求2023年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；
(2)2023年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.
【答案】(1)
(2)， 万元
【分析】（1）根据利润＝销售额－成本，结合分类讨论思想进行求解即可；
（2）根据配方法、基本不等式进行求解即可.
【详解】（1）当时，，
当时，，
综上，.
（2）由（1）知，，
当时，，
因为，所以，当时，，
当时，，
当且仅当，即时取等号，此时，又，
所以，2023年产量为百辆时，企业所获利润最大，最大利润为万元.
22．已知函数．
(1)若函数在区间上有且仅有1个零点，求a的取值范围：
(2)若函数在区间上的最大值为，求a的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）结合函数图象，分四种情况进行讨论，求出a的取值范围；（2）对对称轴分类讨论，表达出不同范围下的最大值，列出方程，求出a的值.
【详解】（1）①，解得：，此时，的零点为，0，不合题意；
②，解得：，此时，的零点为，1，不合题意；
③，解得：，当时，的零点为，不合题意；当时，的零点为，不合题意；
④，解得：，
综上：a的取值范围是
（2）对称轴为，当，即时，在上单调递减，，舍去；
当，即时，，解得：或（舍去）；
当，即时，在上单调递增，，解得：（舍去）；
综上：