2023-2024学年广东省汕头市潮阳区河溪中学高一上学期第四学月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年广东省汕头市潮阳区河溪中学高一上学期第四学月考数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先解一元二次不等式，再根据交集定义计算即可.
【详解】因为，所以.
故选：B.
2．命题“，”的否定为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】根据含有一个量词的否定的方法判断即可.
【详解】根据含有一个量词的否定，
命题“，”的否定为“，”.
故选：B.
3．已知正数a，b满足，则的最小值为（ ）
A．25B．36C．42D．56
【答案】B
【分析】根据基本不等式“1”的妙用求出最值.
【详解】因为，，，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为36.
故选：B.
4．已知函数，若，则的值是（ ）
A．3或B．或5C．D．3或或5
【答案】B
【分析】根据分段函数的解析式，分类讨论的范围，得到方程，解出即可.
【详解】若，则方程可化为，
∴或（舍去）；
若，则方程可化为
∴，
综上可得，或，
故选：B.
5．已知幂函数的图象过点，则的值为（ ）
A．9B．3C．D．
【答案】A
【分析】设，根据求出，即可求出函数解析式，再代入计算可得.
【详解】设，则，所以，
则，所以.
故选：A
6．若，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用对数函数、指数函数的单调性质直接求解.
【详解】；
.
故选：B
【点睛】本题考查指对数的大小的判断，考查对数函数、指数函数的单调性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.
7．已知函数，则的零点所在的区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先判断在是连续的增函数，再结合零点存在性定理可求得结果.
【详解】因为和在上都是连续的增函数，
所以在上是连续的增函数，
所以在上至多有一个零点，
因为，，
所以，
所以唯一的零点所在的区间为，
故选：C
8．已知函数是定义在R上的偶函数，在区间上单调递增，且，则不等式的解集为
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据函数是定义在R上的偶函数，将不等式化为，根据函数在区间上单调递增，可得，解此不等式可得结果.
【详解】因为函数是定义在R上的偶函数，所以，又，
所以不等式等价于，
又函数在区间上单调递增，所以，
所以或，
所以或.
故选：D.
【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性和单调性解不等式，考查了对数不等式的解法，属于基础题.
二、多选题
9．设，，若，则实数的值可以为（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】利用一元二次方程的解法、集合间的运算及关系运算分析即可得解.
【详解】解：由题意，集合，由可得，
则或或或，
当时，满足即可；
当时，需满足，解得：；
当时，需满足，解得：；
因为时有且只有一个根，所以.
所以的值可以为.
故选：ABD.
10．已知函数f(x)=(lg2x)2-lg2x2-3，则下列说法正确的是（ ）
A．f(4)=-3
B．函数y=f(x)的图象与x轴有两个交点
C．函数y=f(x)的最小值为-4
D．函数y=f(x)的最大值为4
【答案】ABC
【分析】利用对数运算，即可求得；令，求得方程的根，即可求得与轴交点的个数；利用换元法即可求得该函数的最值.
【详解】因为f(x)=(lg2x)2-lg2x2-3=(lg2x)2-2lg2x-3，
故f(4)=(lg24)2-2lg24-3=22-2×2-3=3，故A正确.
令f(x)=0得lg2x1或lg2x=3，
故x=或x=8，即方程f(x)=0有两个不等实根，
则函数y=f(x)的图象与x轴有两个交点，故B正确.
令lg2x=t，则y=t2-2t-3=(t-1)2-4(t∈R)，
此函数有最小值4，无最大值.
故函数y=f(x)有最小值4，无最大值.
故C正确，D错误.
故选：.
【点睛】本题考查对数运算以及对数方程的求解，涉及二次项对数复合函数值域的求解，属综合基础题.
11．已知函数满足对任意，都有成立，则实数的取值可以是（ ）
A．B．1C．2D．3
【答案】CD
【分析】由题意可知函数在定义域上单调递减，由分段函数的单调性可运算求得答案.
【详解】由对任意，，可得函数在定义域上单调递减，
则，即，可得，
结合选项可知AB错误，CD正确.
故选：CD.
12．欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质，例如，欧拉引入倒函数的定义：对于函数，如果对于其定义域D中任意给定的实数x，都有，并且，就称函数为倒函数，则下列函数是倒函数的为（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【分析】抓住，的特征及，逐项判断即可.
【详解】对，，定义域不关于原点对称，故A项不符合；
对，，，故B项符合；
对，，定义域不关于原点对称，故C项不符合；
对，定义域关于原点对称，
当时，，；
当时，，，故D项符合，
故选：BD
三、填空题
13．函数的定义域为 .
【答案】
【分析】由二次根式、分式、对数函数的定义域即可求解.
【详解】由题意函数有意义当且仅当，解得，
即函数的定义域为.
故答案为：.
14．若，则
【答案】1
【解析】由可得，再利用换底公式和对数运算即可求出.
【详解】，
，
.
故答案为：1.
15．已知函数，是偶函数，则 ．
【答案】4
【分析】根据偶函数的定义和性质分析求解.
【详解】因为函数，是偶函数，
则，解得，可知，
且，即，
整理得，结合的任意性可得，即，
所以.
故答案为：4.
16．若命题“”是真命题，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】考虑与两种情况，结合根的判别式得到不等式，求出答案.
【详解】，
当时，恒成立，
当时，，解得，
综上，的取值范围是.
故答案为：
四、解答题
17．计算题：
(1)；
(2)
(3)已知，用表示.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用指数运算法则计算出答案；
（2）利用对数运算法则计算出答案；
（3）指数式化为对数式，利用换底公式和对数运算法则得到答案.
【详解】（1）；
（2）；
（3）因为，则，
又因为，
则.
18．已知.
(1)若，求；
(2)在①“”是“”的充分不必要条件；②；③；这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行解答.
问题：若__________，求实数的取值范围构成的集合.
注：如果选择多个条件分别作答，则按第一个条件的解答计分.
【答案】(1)，
(2)答案见解析
【分析】（1）利用集合补集和交集的概念求解即可；
（2）根据集合的包含关系分情况讨论即可.
【详解】（1）当时，，又，
所以，或，
.
（2）选①“”是“”的充分不必要条件，则⫋
若，此时，解得；
若，此时，只需（且等号不同时成立）
解得，
所以满足条件的实数构成的集合.
选②，则；
若，此时，解得；
若，此时，只需，解得；
综上所述，满足条件的实数构成的集合.
选③，
若，此时，解得；
若，此时，只需或，
显然即无解，解得；
综上，满足条件的实数构成的集合或.
19．已知定义在上的奇函数，当时，.
(1)求函数在上的解析式；
(2)在坐标系中作出函数的图象；
(3)若关于的方程恰好有三个不同的解，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)图象见解析
(3)
【分析】（1）根据题意，结合函数为奇函数，即可求解函数的解析式；
（2）根据二次函数的图象与性质，结合函数为奇函数，即可求解；
（3）根据题意，转化为函数与的图象仅有三个公共点，结合（2）中函数的图象，即可求解.
【详解】（1）解：当时，则，
因为时，，且是上的奇函数，
可得，
又因为是上的奇函数，所以，满足.
所以函数的解析式为.
（2）解：由（1）知，函数，其图象如图所示：
（3）解：由题意知，关于的方程恰好有三个不同的解，
即函数与的图象仅有三个公共点，
由（2）中，函数的图象，数形结合可以得到，
所以实数的取值范围为
20．已知函数.
(1)求的定义域；
(2)判断的奇偶性并予以证明；
(3)求不等式的解集.
【答案】(1)
(2)奇函数，证明见解析
(3)
【分析】（1）根据对数函数的性质进行求解即可；
（2）根据函数奇偶性的定义进行判断和证明；
（3）根据对数函数的单调性进行求解．
【详解】（1）要使函数有意义,则，
解得，故所求函数的定义域为；
（2）证明：由（1）知的定义域为，
设，则,
且，故为奇函数；
（3）因为，所以，即
可得，解得,又，
所以，
所以不等式的解集是．
21．某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜地将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某水果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为元，其他成本投入（如培育管理､施肥等人工费）元．已知这种水果的市场售价大约15元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为（单位：元）．
(1)求单株利润（元）关于施用肥料（千克）的关系式；
(2)当施用肥料的成本投入为多少元时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)当投入4元时，该水果单株利润最大，最大利润为480元.
【分析】（1）根据题意列出分段函数即可；
（2）根据分段函数分别讨论最值，再得出两者最大的为函数的最大值即可求解.
【详解】（1）依题意可得， ，
所以.
（2）当时，图象开口向上，对称轴为，
所以函数在单调递减，单调递增，
所以；
当时，，
当且仅当，即时取得等号，
因为，所以当投入4元时，该水果单株利润最大，最大利润为480元.
22．指数函数的图像经过点，且．
(1)求的解析式；
(2)判断的单调性，并用定义法证明；
(3)解关于的不等式．
【答案】(1)
(2)在内单调递增，证明见解析
(3)
【分析】（1）求幂函数解析式采用待定系数法，设函数解析式，代入点求解值，得到解析式；
（2）证明单调性利用定义法，定义域上任取，计算的正负，从而确定单调性；
（3）将不等式转化为，借助于单调性得到关于的不等式，进而求得解集.
【详解】（1）设，由，得，
因为.
（2）因为，所以，
在上单调递增，证明如下：
任取，，，
，
因为，所以，又因为，，
所以，所以，
所以是定义在上的增函数．
（3）由是定义在上的增函数，
令，解得：，令，解得：，
所以原不等式等价于，
所以，即，则
所以的取值范围是．