2023-2024学年湖北省荆州市公安县第三中学高一上学期11月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年湖北省荆州市公安县第三中学高一上学期11月月考数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，证明题，应用题，双空题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．设集合，，若，则实数a的取值范围是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先求出集合B，再由求出实数a的范围.
【详解】或.
因为集合，，所以.
故选：D
2．设函数在区间的最大值是，最小值为，则（ ）
A．0B．2C．1D．3
【答案】B
【分析】将原函数变形，可令，易知函数为奇函数，利用奇函数的性质容易得解．
【详解】令，则函数为奇函数，
在区间上的最大值与最小值之和为0，
即，
．
故选：B.
3．已知a>b，c>d，则下列关系式正确的是（ ）
A．ac+bd>ad+bcB．ac+bdbdD．acb，c>d，
ac+bd-(ad+bc)=(a-b)(c-d)>0，故A正确，B错误；
对于C：当b=0，c0，c>d>0时，ac>bd，故D错误；
故选：A.
4．已知区间，则下列是“对任意的，”的必要不充分条件的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意可知对任意的，等价于，由此即可选出答案.
【详解】由“对任意的，”，得，即，
则原题等价于探求“”的必要不充分条件，
A选项“”为“”的充要条件，故A错误；
B选项“”为“”的必要不充分条件，故B正确；
C选项“”为“”的既不充分也不必要条件，故C错误；
D选项“”为“”的既不充分也不必要条件，故D错误；
故选：B.
5．设集合，则为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】化简集合A，B，根据交集计算即可.
【详解】因为，
所以，
故选：A
6．已知是定义在R上的且以2为周期的偶函数，当时，，如果直线与曲线恰有两个不同的交点，则实数的值为
A．B．
C．0D．
【答案】D
【详解】试题分析：当时，，所以，因为是偶函数，所以，即，所以，，同理可得，，作出函数的图象如图所示：
在一个周期上，当时，直线与曲线恰有两个不同的交点；当时，直线与曲线相切，并和曲线在上的图象有一个交点．因为函数的最小正周期为，所以实数的值是或（），故选D．
考点1、函数的解析式；2、函数的奇偶性；3、函数的周期性；4、函数的图象．
7．若实数，满足约束条件，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】画出，的约束条件表示的平面区域，平移目标函数，找出最优解，求出目标函数的最小、最大值，即可得出的取值范围．
【详解】解：画出满足条件的平面区域，如图所示，作出直线并平移.易知目标函数在点处取得最小值，没有最大值.联立，解得.此时，所以的取值范围为，
故选：D.
8．已知函数是定义在R上的偶函数，且对任意的，都有，当时，.若函数在内恰有2个不同的零点，则实数k的取值范围是
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由已知条件可得函数是偶函数，周期函数，将零点问题转化为两个函数图象交点问题，画出函数图象，结合图象解答在内恰有2个不同的零点的结果
【详解】已知对任意的，都有，

当时，，且函数是定义在R上的偶函数，
所以画出函数的图象，如图所示：
若函数在内恰有2个不同的零点，
又，已有一个交点，则转化为在内恰有1个零点，
即在内恰有个交点，
由图可知，当过点时，，
当与相切原点时，，则此时，
当过点时，
故实数k的取值范围是.
故选
【点睛】本题考查了由函数零点个数求参数范围问题，解答过程中运用了数形结合的思想，将其转化为函数交点问题，然后计算满足条件的结果，零点问题是常考题，需要掌握解题方法，本题属于难题.
9．已知集合，若实数，满足：对任意的，都有，则称是集合的“和谐实数对”，则以下集合中，存在“和谐实数对”的是
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】试题分析：分析题意可知，所有满足题意的有序实数对所构成的集合为，将其看作点的集合，为中心在原点，，，，为顶点的正方形及其内部，A，B，D选项分别表示直线，圆，双曲线，与该正方形及其内部无公共点，选项C为抛物线，有公共点，故选C．
【解析】以集合为背景的创新题．
10．定义在R上的函数，，若在区间上为增函数，且存在，使得.则下列不等式不一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据题意判断出函数的单调性，从而根据单调性对选项逐个判断即可．
【详解】由条件可得
函数关于直线对称；
在，上单调递增，且在时使得；
又
，，所以选项成立；
，比离对称轴远，
可得，选项成立；
，，可知比离对称轴远
，选项成立；
，符号不定，，无法比较大小，
不一定成立．
故选：．
【点睛】本题考查了函数的基本性质及其应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
二、多选题
11．下列说法正确的有（ ）
A．若，则的最大值是
B．若，，都是正数，且，则的最小值是3
C．若，，，则的最小值是2
D．若实数，满足，则的最大值是
【答案】ABD
【分析】对于A，凑分母，结合基本不等式，可得答案；对于B，根据基本不等式，结合“1”的妙用，可得答案；对于C，根据基本不等式的变式，整理出关于所求整式的二次不等式，可得答案；对于D，采用换元法，设，，可将原式化简为，结合基本不等式，可得答案．
【详解】对于A，因为，所以，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为，故A正确；
对于B，因为x，y，z都是正数，且，所以，，，
所以，
当且仅当，即，即时等号成立，所以的最小值为3，故B正确；
对于C，因为，，所，即（当且仅当时等号成立），
因为，所以，所以，
所以，解得（舍去）或，当且仅当时等号成立，
所以的最小值为4，故C错误；
对于D，，设，，
∵，当且仅当，即时，取等号
∴
则的最大值为，故D正确．
故选：ABD.
12．若函数的定义域为，值域也为，则称为的“保值区间”.下列结论正确的是（ ）
A．函数不存在保值区间
B．函数存在保值区间
C．若函数存在保值区间，则
D．若函数存在保值区间，则
【答案】ACD
【分析】由新定义与函数的性质对选项逐一判断，
【详解】对于A，在和上单调递增，
令，得，，故不存在保值区间，故A正确，
对于B，当时，，当时，，
在单调递减，在单调递增，，
若存在保值区间，
若，令得无解，
若，则，作差后化简得或，不合题意，
故不存在保值区间，故B错误，
对于C，若存在保值区间，
而在上单调递增，故，得，故C正确，
对于D，函数在上单调递减，
若存在保值区间，
则，作差得，
得，则原式等价于在上有两解，
令，则在上有两解，
而在上单调递减，在上单调递增，
当时，，故，故D正确，
故选：ACD
三、填空题
13．设集合，则集合M的非空真子集个数为 .
【答案】6
【分析】先求出集合M，即可求出集合M的非空真子集个数.
【详解】因为有3个元素，
所以集合M的非空真子集个数为个.
故答案为：6.
14．对一切实数x，令为不大于x的最大整数.例，.若，则实数x的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据题意可得，根据绝对值不等式可得或，运算求解．
【详解】根据题意可得：，则或
∴或
故答案为：．
15．二次函数恒有两个零点、，不等式恒成立，则实数l的最大值为 .
【答案】
【分析】由题设可设即有，令，将其整理成M关于m的函数，将n代入函数式，转化主元法令，利用二次函数的性质求M值域范围，结合不等式恒成立确定l的最大值.
【详解】由恒有两个零点，则，
令，
∴，而，
∴，若，
∴，
当时，有；当时，有；
综上，，要使恒成立，则，故l的最大值为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：令，，将其整理成M关于m的函数，再转换主元研究M的值域.
四、解答题
16．已知集合，集合
(1)若，求；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）若，则，即是方程的根，由此求解即可；
（2）因为，所以，分情况讨论，求解即可．
【详解】（1）因为，且
所以，即是方程的根
所以，得
则
所以．
（2）因为，所以
对于方程，
①当即时，，满足
②当即或时，
因为，所以或或
当时，，得
当时，，无解
当时，，无解
综上所述，．
17．已知函数为幂函数，且在上单调递增.
(1)求的值，并写出的解析式；
(2)令，，求的值域.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据幂函数的定义以及单调性可得出关于实数的等式与不等式，求出的值，即可得出函数的解析式；
（2）求出函数的解析式，在时，利用单调性求出函数的值域；当时，换元，利用二次函数的基本性质可求得函数的值域，综合可得结果.
【详解】（1）解：因为为幂函数，且在上单调递增，
则，解得，所以，.
（2）解：，.
①当时，在上单调递减，
所以，，此时；
②当时，，
设，，可得，
，此时，
综上，的值域为.
五、证明题
18．已知
（1）若实数a＝0，证明：存在，使得恒成立
（2）若对任意x≥0，f(x)≥2恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）代入a＝0，对放缩为，可判断恒成立，从而存在，使恒成立；（2）由题意可得到对任意恒成立，求可知在上单调递增，讨论的最小值并判断的单调性，从而求出恒成立时的范围.
【详解】解：（1）当a＝0时，，所以存在，使得恒成立.
（2）当时，对任意恒成立.
因为，设，则有，又x≥0，所以，所以在上单调递增，且有最小值.
当时，，即，所以上单调递增且恒成立，即成立；
当时，，当时，，，使，则在上单调递减，在上单调递增，所以，，不符合题意，所以不成立；
综上所述：.
19．已知函数．
(1)用定义证明函数在区间上单调递增；
(2)对任意都有成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由定义证明即可；
（2）求出在上的最大值，即可得出实数的取值范围．
【详解】（1）任取，且，
因为，所以，
所以，即.所以在上为单调递增．
（2）任意都有成立，即.
由（1）知在上为增函数，所以时，.
所以实数的取值范围是.
六、应用题
20．第24届冬奥会计划于2022年2月4日在北京召开，随着冬奥会的临近，中国冰雪运动也快速发展，民众参与冰雪运动的热情不断高涨．盛会的举行不仅带动冰雪活动，更推动冰雪产业快速发展．某冰雪产业器材厂商，生产某种产品的年固定成本为200万元，每生产x千件，需另投入成本为万元，其中与x之间的关系为：，通过市场分析，当每千件产品售价为40万元时，该厂年内生产的商品能全部销售完．
(1)写出年利润L(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；
(2)年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
【答案】(1)
(2)年产量为72千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大为360万元
【分析】（1）根据年利润=年销售额另投入成本固定成本即可求出答案；
（2）通过分段讨论，求分段函数的最大值即可.
【详解】（1）当，时，；
当，时，，
所以.
（2）当，时，，对称轴为，
所以当时，取得最大值；
当，时，
，当且仅当，即时取等号
所以取得最大值，
综上所述，当时，取得最大值
即年产量为72千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大为360万元.
七、解答题
21．设函数，，为的导函数.
（1）若，，求的值；
（2）若，，且和的零点均在集合中，求的极小值.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）由题意得到关于a的方程，解方程即可确定a的值；
（2）由题意首先确定a,b,c的值从而确定函数的解析式，然后求解其导函数，由导函数即可确定函数的极小值.
【详解】（1）因为，所以.
因为，所以，解得.
（2）因为，
所以，
从而.令，得或.
因为，，都在集合中，且，所以，，.
此时，.
令，得或.列表如下：
所以的极小值为.
【点睛】方法点睛：该题考查的是有关导数的问题，解题方法如下：
（1）利用，代入函数解析式，得到关于的等量关系式，求得结果；
（2）对函数求导，得到，根据题意，得到，，都在集合中，从而求得函数解析式，根据函数的单调性，确定其极小值.
八、双空题
22．设实数、满足，则的最大值为 ，的最小值 ．
【答案】 /
【分析】根据给定条件，利用均值不等式建立不等式，再求解不等式作答.
【详解】依题意，，则有，解得，
当且仅当时取“=”，由解得或，
所以当时，取得最大值；
当时，，当且仅当时取“=”，因此，当且仅当时取“=”，
于是得，解得，
由解得或，
所以当或时，取得最小值.
故答案为：；
【点睛】思路点睛：运用基本不等式，要注意“拆”、“拼”、“凑”等技巧，特别注意不等式成立的条件.
-3
1
+
0
-
0
+
极大值
极小值