2023-2024学年湖南省益阳市南县第一中学高一上学期10月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年湖南省益阳市南县第一中学高一上学期10月月考数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．设全集是实数集，，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由图可知，可知阴影部分的集合为．再求即得解.
【详解】由图可知，阴影部分的元素由属于，但不属于的元素构成，
结合集合的运算可知阴影部分的集合为．
或，
，又
，
故选：C
【点睛】本题主要考查维恩图，考查集合的补集和交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
2．函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】根据解析式可得关于的不等式组，其解集即为函数的定义域.
【详解】由题设可得，故，
故选：A.
【点睛】本题考查函数定义域，一般从以下几个方面考虑：
（1）分式的分母不为零；
（2）偶次根号（，为偶数）中，；
（3）零的零次方没有意义；
（4）对数的真数大于零，底数大于零且不为1.
3．已知实数a，b，c，若，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】举出反例即可判断ABC，根据不等式的性质即可判断D.
【详解】当时，，故AB错误；
当时，，故C错误；
因为，所以，所以，所以，故D正确.
故选：D.
4．若不等式的解集为，则函数的图象可以为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由题可得和是方程的两个根，求出，再根据二次函数的性质即可得出.
【详解】由题可得和是方程的两个根，且，
，解得，
则，
则函数图象开口向下，与轴交于.
故选：C.
5．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，例如解析式为，值域为的“孪生函数”有三个：①，；②，；③，.那么函数解析式为，值域为的“孪生函数”共有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
【答案】C
【分析】先求出的所有解，再组合为自变量的集合，即可求得结果．
【详解】由解得；由解得，
值域为的自变量集合有，
所以，值域为的“孪生函数”共有3个：
；；．
故选：C.
6．已知正数，满足，则下列结论不正确的是（ ）
A．的最小值是2B．的最大值是1
C．的最小值是4D．的最大值是
【答案】C
【分析】利用基本不等式逐一判断即可.
【详解】因为正数x，y满足，
由，
当且仅当时，即时，等号成立，所以A正确；
由，可得，即，当且仅当时成立，所以B正确；
由，当且仅当时成立，所以C不正确；
由正数满足，可得，
则，当且仅当时，即时，等号成立，即的最大值是，所以D正确.
故选：C
7．若命题“”是假命题，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题首先可根据题意得出命题“，”是真命题，然后分为、、三种情况进行讨论，结合二次函数性质即可得出结果.
【详解】因为命题“，”是假命题，
所以命题“，”是真命题，
若，即或，
当时，不等式为，恒成立，满足题意；
当时，不等式为，不恒成立，不满足题意；
当时，则需要满足，
即，解得，
综上所述，的范围是，
故选：B.
8．港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行．由于燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加30升的燃油；第二种方案，每次加200元的燃油，则下列说法正确的是（ ）
A．采用第一种方案划算B．采用第二种方案划算
C．两种方案一样D．无法确定
【答案】B
【解析】分别求出两种方案平均油价，结合基本不等式，即可得出结论.
【详解】任取其中两次加油，假设第一次的油价为元/升，第二次的油价为元/升．
第一种方案的均价：；
第二种方案的均价：.
所以无论油价如何变化，第二种都更划算．
故选:B
【点睛】本题考查不等式的实际运用，以及基本不等式比较大小，属于中档题.
二、多选题
9．设，，若，则实数的值可以是（ ）
A．0B．C．D．2
【答案】ABC
【分析】先求出，再得到，分与，求出相应实数的值.
【详解】，
因为，所以，
当时，，满足要求，
当时，，解得，
当时，，解得，
综上：实数的值可以为或.
故选：ABC
10．对于实数a、b、c，下列命题正确的是（ ）
A．若，B．若，则
C．若，则D．若，，则，
【答案】BCD
【分析】根据不等式的性质以及利用作差法，即可判断选项.
【详解】A.当时，，故A错误；
B.若，则，且，即，故B正确；
C. ，
因为，所以，，，
所以，即，故C正确；
D.若，，则，且，则，可知，故D正确.
故选：BCD
11．有以下判断，其中是正确判断的有（ ）
A．与表示同一函数
B．函数的图象与直线的交点最多有1个
C．函数的最小值为2
D．若，则
【答案】BD
【分析】A选项，两函数定义域不同，不是同一函数；B选项，根据函数定义进行判断；C选项，利用基本不等式进行求解；D选项，先计算出，从而得到.
【详解】A选项，的定义域为，
而定义域为R，故两者不是同一函数，A错误；
B选项，根据函数定义，可知的图象与直线可以无交点，也可以有1个交点，
故函数的图象与直线的交点最多有1个，B正确；
C选项，由基本不等式得，
当且仅当时，等号成立，但无解，故等号取不到，
的最小值不为2，C错误；
D选项，，则，
故，D正确.
故选：BD
12．已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．设关于的方程的解为，则
【答案】ABD
【分析】结合题意可得和为方程的两根，且，，根据韦达定理可得，，从而判断AB选项；通过化简，进而可判断C选项；令，结合题意可得方程在上的两个解为和，进而得到，可得，利用作差法即可判断D选项.
【详解】因为不等式的解集为，
所以和为方程的两根，且，，
所以，即，，
又，所以，
所以，，故AB正确；
而
，故C错误；
因为关于的方程的解为，
令，即，
所以关于的方程在上有两个解，
结合题意，可得方程在上的两个解为和，
所以，
所以，
又，且，
所以，即，
所以，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：解决一元二次不等式解集相关问题，常常转化为对应一元二次方程的根的问题，进而结合韦达定理求解.
三、填空题
13．已知克糖水中含有克糖（），再添加克糖（）（假设全部溶解），糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式 ．
【答案】
【分析】糖水变甜，表示糖的浓度变大，代入数据得到答案.
【详解】糖水变甜，表示糖的浓度变大，即
故答案为
【点睛】本题考查了不等式的应用，意在考查学生的应用能力.
14．若函数的定义域为，则函数的定义域是 ．
【答案】
【分析】根据复合函数定义域的性质进行求解即可.
【详解】函数的定义域为，
于是有，
即函数的定义域，
故答案为：
15．若不等式的解集是空集，则的取值范围是 ，不等式的解集是 ．
【答案】
【分析】根据题意，先根据判别式求出的范围，再结合因式分解即可求解不等式.
【详解】根据题意，因为不等式的解集是空集，
所以，解得；
又因为，且，
所以不等式的解集是.
故答案为：；.
16．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是 .
【答案】.
【分析】在等式两边同时除以得到，将代数式和相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，由题意得出，解出该不等式即可得出实数的取值范围.
【详解】，，且，在等式两边同时除以得，
由基本不等式得，
当且仅当时，等号成立，所以，的最小值为，
由于不等式恒成立，则，即，
解得，因此，实数的取值范围是，故答案为.
【点睛】本题考查基本不等式处理不等式恒成立问题，同时也考查了一元二次不等式的解法，在利用基本不等式求最值时，要创造出定值条件，并对代数式进行配凑，考查化归与转化数学思想，属于中等题.
四、解答题
17．已知集合，，求：
(1)；
(2)；
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）（2）应用集合的交、补运算求集合即可.
【详解】（1）；
（2）由或，故.
18．（1）解下列不等式：；
（2）已知是一次函数，且满足，求的解析式；
（3）已知，求的解析式
【答案】（1），；（2）；（3）
【分析】（1）根据一元二次不等式和分式不等式的解法分别求解即可；
（2）设函数为，利用待定系数法求出即可得解；
（3）利用换元法求解即可.
【详解】（1），即，
故，
解得，
，则，
即，，
所以，解得；
（2）由题意，设函数为，
∵，
∴，
即，由恒等式性质，得，
∴，，
∴所求函数解析式为；
（3）令，则，，
因为，所以，
所以.
19．已知：，：．若是的充分而不必要条件，求的取值范围．
【答案】
【分析】根据题意，转化为是的充分而不必要条件，结合集合的运算，列出不等式组，即可求解.
【详解】由题意，命题，，
因为是的充分而不必要条件，即是的充分而不必要条件，
即命题是命题的真子集，
则满足且等号不能同时成立，解得，
所以实数的取值范围为.
20．已知命题，，命题，．
(1)若命题p为真命题，求实数a的取值范围；
(2)若命题p和均为真命题，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意，当 时， ，求出 的范围即可得出答案；
（2）先求出命题q为真命题时a的取值范围，再利用命题p和均为真命题，得出结果.
【详解】（1）根据题意，知当时，．
∵p为真命题，∴．
∴实数a的取值范围是．
（2）由（1）知命题p为真命题时，．
命题q为真命题时，，解得，
∴为真命题时，．
∵命题p和均为真命题，∴，解得，
即实数a的取值范围为．
21．已知汽车从踩刹车到停住所滑行的距离s（单位：m）与速度v单位：km/h）的平方及汽车总质量成正比设某辆卡车不装货物以59 km/h的速度行驶时，从踩刹车到停住滑行了20 m．如果这辆卡车装着等于车重的货物行驶时，发现前面20 m处有障碍物，这时为了能在离障碍物5 m以外处停车，最大限制时速应是多少？（结果保留整数，设卡车司机发现障碍物到踩刹车需经过1 s）
【答案】
【分析】设卡车从踩刹车到停住所滑行的距离为，卡车速度为，卡车总质量为，根据已知条件，先求出的值，当这辆卡车装着等于车重的货物行驶时，设能在离障碍物以外处停车的速度为，则满足，即可求解.
【详解】设卡车从踩刹车到停住所滑行的距离为，卡车速度为，卡车总质量为，比例系数为，则，
当时，，
①
当这辆卡车装着等于车重的货物行驶时，设能在离障碍物以外处停车的速度为，
则满足，即
②
由①②得③，
由，及③得，最大限制时速应是.
22．已知二次函数.
(1)若的解集为，解关于的不等武；
(2)若不等式对恒成立，求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据的解求得的关系式，再解一元二次不等式求得正确答案.
（2）根据判别式列不等式，利用基本不等式求得正确答案.
【详解】（1）由于的解集为，
所以，则，
所以不等式可化为，
，解得，
所以不等武的解集为.
（2）依题意，不等式对恒成立，
即对恒成立，
即对恒成立，显然，
所以，即，则，
则，
若，则，此时.
所以，则，
所以，
所以，则，
当且仅当时等号成立，
所以的最大值为.