2023-2024学年湖南省张家界市慈利县第一中学高一上学期第一次月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年湖南省张家界市慈利县第一中学高一上学期第一次月考数学试题含答案，共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，问答题，应用题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．下列关系中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据几个数集的概念直接判断.
【详解】对于A，不是实数，∴A选项错误；对于B，是正整数集，易知，∴B选项错误；对于C，是有理数，∴C选项正确；对于D，是无理数，Z是整数集，∴D选项错误.
故选：C.
2．全集，集合，，则集合（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】先利用补集运算求得集合A的补集，再利用交集运算求解.
【详解】因为全集，集合，
所以，
又，
所以集合
故选：D
3．设，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用不等式的性质或作差比较大小逐一判断即可.
【详解】对于A选项：由，则有，即，A选项正确；
对于B选项：由，则，，，
所以，则有，B选项不正确；
对于C选项：由，则，所以，即，C选项不正确；
对于D选项：因为，所以，即，D选项不正确.
故选：A
4．已知函数，则（ ）
A．6B．8C．3D．1
【答案】A
【解析】由分段函数的解析式代入即可得解.
【详解】因为，
所以，
所以.
故选：A
5．若，，则“且”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【分析】由且可推出，反之不成立，即可得出结论.
【详解】若且，
则成立，
但，推不出且，
所以“且”是“”的充分不必要条件.
故选：A
【点睛】本题主要考查了充分不必要条件，属于容易题.
6．不等式的解集为（ ）
A．或B．或
C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，将分式不等式化为整式不等式，即可得到结果.
【详解】因为，解得或，
所以不等式的解集为或.
故选：B
7．函数y＝x2－2x的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为（ ）
A．{－1,0,3}B．{0,1,2,3}
C．{y|－1≤y≤3}D．{y|0≤y≤3}
【答案】A
【分析】根据y＝x2－2x的定义域，利用二次函数的性质求解.
【详解】当x＝0时，y＝0；
当x＝1时，y＝1－2＝－1；
当x＝2时，y＝4－2×2＝0；
当x＝3时，y＝9－2×3＝3，
∴函数y＝x2－2x的值域为{－1,0,3}.
故选：A
【点睛】本题主要考查函数值域的求法，属于基础题.
8．若对任意实数，不等式恒成立，则实数a的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】分离变量将问题转化为对于任意实数恒成立，进而求出的最大值，设及，然后通过基本不等式求得答案.
【详解】由题意可得，对于任意实数恒成立，则只需求的最大值即可，，设，则，再设，则，当且仅当时取得“=”.
所以，即实数a的最小值为.
故选：D.
二、多选题
9．已知全集，集合，，则（ ）
A．的子集有个B．C．D．中的元素个数为
【答案】ACD
【分析】根据已知条件求出集合，利用子集的定义及集合的并集，结合补集的定义即可求解.
【详解】因为，所以，
因为中的元素个数为，所以的子集有个，故A正确；
由，，得，所以，故B不正确；
由，，所以，所以， 故C正确；
由，得中的元素个数为，故D正确.
故选：ACD.
10．下列命题中假命题有（ ）
A．，
B．“”是“”的充分不必要条件
C．，
D．若，则一元二次不等式的解集相同.
【答案】CD
【分析】利用量词命题的真假性判断AC，利用充分必要条件与集合的关系判断B，举反例排除D，从而得解.
【详解】对于A，，，所以，故A正确；
对于B，等价于，即，
而，
所以“”是“”的充分不必要条件，故B正确；
对于C，恒成立，故C错误；
对于D，因为，不妨取，
则两不等式等价于以及，后者进一步化为，
两不等式解集显然不同，故D错误.
故选：CD.
11．不等式对任意的恒成立，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】将原不等式转化为一元二次不等式恒成立问题，根据二次函数的性质求解.
【详解】 可整理为 ，根据二次函数的性质有：
，故A正确；
当时，满足 ，即原不等式成立，B错误；
由 ，得 ，所以 ，C正确；
，D正确；
故选：ACD．
12．已知，都为正数，且，则（ ）
A．的最大值为B．的最小值为
C．的最小值为D．的最小值为
【答案】ABD
【分析】利用基本不等式一一分析判断即可.
【详解】对于A：，，，
，当且仅当，即，时，等号成立，
则的最大值为，故A正确，
对于B：，，，
，
，当且仅当，即，时，等号成立，
即的最小值为，故B正确，
对于C：，，，
，
当且仅当，即，时，等号成立，
显然不成立，所以，则其最小值不为，故C错误，
对于D，，，，
，
当且仅当，即，时，等号成立，
则的最小值为，故D正确.
故选：ABD．
三、填空题
13．命题“”的否定是 ．
【答案】
【分析】根据特称命题的否定：改变量词，否定结论，可得出结果.
【详解】命题为特称命题，则命题的否定为“，”.
故答案为：，.
【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，属于基础题目．
14．设集合，则的非空真子集的个数是 ．
【答案】14
【分析】先求出两个集合的交集，然后再根据元素个数求其非空真子集的个数即可.
【详解】因为，
所以，其非空真子集有个.
故答案为：14
15．已知函数，则的定义域为
【答案】
【分析】根据一元二次不等式的解法，结合二次根式的性质、复合函数定义域的性质进行求解即可.
【详解】由，
于是有，
所以函数的定义域为，
故答案为：
16．若命题“，使得成立”是假命题，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】由题意可知，命题“，使得成立”是真命题，可得出，结合基本不等式可解得实数的取值范围．
【详解】若命题“，使得成立”是假命题，
则有“，使得成立”是真命题.
即，则，
又，当且仅当时取等号，故．
故答案为：
四、问答题
17．已知集合，.
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】(1)；(2)或.
【详解】试题分析：
(1)结合题意可得，，则；
(2)由题意可得.分类讨论和两种情况可得或.
试题解析：
（1）集合，
当时，，
∴；
（2）∵∴.
1°当，即，即时，成立，符合题意；
2°当，即，即时，由，有，得；
综上：或.
18．集合，.
(1)若， ，求集合B；
(2)若，，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)且
【分析】（1）通过解一元二次不等式求得正确答案.
（2）解分式不等式求得集合，对进行分类讨论，根据一元二次不等式的解法以及求得的取值范围.
【详解】（1）若， ，，
，
解得，所以.
（2）对于集合，，
，解得或，
所以或.
对于集合，，
当时，，
由于，所以不满足.
当时，
①若，，不满足.
②当时，，或，
要使，则需，解得且.
③当且时，不等式的解集“在两根之间”，
不满足.
综上所述，且.
五、应用题
19．某光伏企业投资万元用于太阳能发电项目，年内的总维修保养费用为万元，该项目每年可给公司带来万元的收入．假设到第年年底，该项目的纯利润为万元．（纯利润累计收入总维修保养费用投资成本）
(1)写出纯利润的表达式，并求该项目从第几年起开始盈利．
(2)若干年后，该公司为了投资新项目，决定转让该项目，现有以下两种处理方案：
①年平均利润最大时，以万元转让该项目；
②纯利润最大时，以万元转让该项目．
你认为以上哪种方案最有利于该公司的发展？请说明理由．
【答案】(1)，从第年起开始盈利
(2)选择方案①更有利于该公司的发展；理由见解析
【分析】（1）根据题意可得表达式，令，解不等式即可；
（2）分别计算两个方案的利润及所需时间，进而可确定方案.
【详解】（1）由题意可知，
令，得，解得，
所以从第年起开始盈利；
（2）若选择方案①，设年平均利润为万元，则，
当且仅当，即时等号成立，所以当时，取得最大值，
此时该项目共获利（万元）．
若选择方案②，纯利润，
所以当时，取得最大值，此时该项目共获利（万元）．
以上两种方案获利均为万元，但方案①只需年，而方案②需年，所以仅考虑该项目的获利情况时，选择方案①更有利于该公司的发展．
六、问答题
20．对于二次函数，若存在，使得成立，则称为二次函数的不动点．
(1)求二次函数的不动点；
(2)若二次函数有两个不相等的不动点、，且、，求的最小值．
【答案】(1)不动点为和
(2)6
【分析】（1）根据不动点的定义，解方程，可得答案；
（2）根据题意，即为方程有两个不相等的正实数根，解得的范围，再由韦达定理结合基本不等式可求得的最小值.
【详解】（1）由题意知：，
，
，
解得，，
所以二次函数的不动点为和．
（2）依题意，有两个不相等的正实数根，
即方程有两个不相等的正实数根，
所以，解得，
所以，，
所以
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为6．