2023-2024学年吉林省四平市第一高级中学高一上学期第二次月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年吉林省四平市第一高级中学高一上学期第二次月考数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，计算题，解答题，问答题，证明题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．“”是“”的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据集合交集的运算性质，结合充分性、必要性的定义进行判断即可.
【详解】，此时不一定成立，
，
所以”是“”的必要不充分条件，
故选：A
2．函数的单调递增区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】求出的定义域，进而结合复合函数的单调性，求出的单调递增区间即可.
【详解】由题意，可得，解得或，
所以函数的定义域为，
二次函数的对称轴为，且在上的单调递增区间为，
根据复合函数的单调性，可知函数的单调递增区间是.
故选：B.
【点睛】本题考查函数的单调区间，函数的单调区间是函数定义域的子集，所以求解函数的单调区间时，必须先求出函数的定义域.
3．已知扇形面积为，半径是1，则扇形的圆心角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】根据扇形面积公式即可求出.
【详解】设扇形的圆心角为，
则，即，解得.
故选：C.
4．我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，得到函数的定义域及函数为奇函数，利用时，和时，，结合选项，即可求解.
【详解】解：由，可得，解得，即的定义域为，
又由满足，所以函数为奇函数，
当时，，可排除A项；
当时，，故排除B、D项.
故选：C.
5．已知，且满足，则的最小值是（ ）
A．2B．4C．3D．6
【答案】B
【分析】由基本不等式得到，求出答案.
【详解】，故，
即，可得，
当且仅当取得等号，则的最小值为4.
故选：B.
6．若函数y=f（x)是奇函数，且函数F(x)=af(x)+bx+2在（0，+∞，)上有最大值8，则函数y=F(x)在(－∞，，0)上有
A．最小值－8B．最大值－8
C．最小值－6D．最小值－4
【答案】D
【分析】利用函数的奇偶性与单调性即可得到结果.
【详解】∵y＝f（x）和y＝x都是奇函数，
∴af（x）+bx也为奇函数，
又∵F（x）＝af（x）+bx+2在（0，+∞）上有最大值8，
∴af（x）+bx在（0，+∞）上有最大值6，
∴af（x）+bx在（﹣∞，0）上有最小值﹣6，
∴F（x）＝af（x）+bx+2在（﹣∞，0）上有最小值﹣4，
故选D．
【点睛】本题考查的知识点是函数奇偶性与单调性，函数的最值及其几何意义，其中根据函数奇偶性的性质，构造出F（x）﹣2＝af（x）+bx也为奇函数，是解答本题的关键．
7．已知函数，若，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据奇偶性定义可判断出为奇函数，且可判断出在上单调递增；利用奇偶性将变为；比较自变量之间的大小关系，根据单调性可得函数值之间的大小关系，从而得到结果.
【详解】由题意知：定义域为：，且
为定义在上的奇函数
当时，单调递增
且
即：
本题正确选项：
【点睛】本题考查利用函数奇偶性和单调性比较大小的问题，关键是能够通过函数性质将问题转化为自变量之间的比较.
8．已知函数，，的零点分别为a，b，c，下列各式正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】作出函数，，，的图象，由图象可得的大小关系，再结合函数的单调性可判断各选项．
【详解】如图，作出函数，，，的图象，由图可知，
和的图象关于直线对称，，ABC均错；
，，，
只有，，D正确．
故选：D．
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．所有幂函数的图象均过点
B．若幂函数的图象经过点，则解析式为
C．幂函数一定具有奇偶性
D．任何幂函数的图象都不经过第四象限
【答案】BD
【分析】根据幂函数特例可对A项判断；根据幂函数过点，可求出解析式对B项判断；根据幂函数的特例可对C项判断；根据幂函数的特性可知图像不过第四象限，从而对D项判断.
【详解】对于A项：比如，图象不过点，故A错误；
对于B项：设幂函数为，幂函数的图象经过点，则函数的解析式为，解得，整理得，故B正确；
对于C项：对于，无奇偶性，故C错误；
对于D项：任何幂函数的图象都不经过第四象限，故D正确；
故选：BD.
10．下列四个结论中，正确的是（ ）
A．角和角的终边重合，则
B．角和角的终边关于原点对称，则
C．角和角的终边关于轴对称，则
D．角和角的终边关于轴对称，则
【答案】ACD
【分析】根据两角终边的关系逐一判断即可.
【详解】A ：终边相同，所以，
即，故A正确；
B：由与是终边关于原点对称的两个角，
所以角和角的终边关于原点对称，必有角，
即，B错误；
C：由与是终边关于轴对称的两个角，
所以角和角的终边关于轴对称，必有角，
即，C正确；
D：由与是终边关于轴对称的两个角，
与的终边相同，即，故D正确.
故选：ACD
11．已知偶函数的定义域为，对任意两个不相等的正数，都有，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】设，确定其单调性，再由偶函数定义把自变量是负数的函数值化为正数的函数值，然后由单调性得结论．
【详解】对任意两个不相等的正数，都有，
设，则，
当时，，即，函数在上单调递减，
函数为偶函数，，，，，
在上单调递减，则，，，，
由此可判断A错误，B，C，D正确，
故选：BCD.
12．定义，若函数，且在区间上的值域为，则区间长度可以是（ ）
A．B．C．D．1
【答案】AD
【分析】根据定义列不等式，得到的解析式，然后画出函数图象，根据函数图象求出区间的长度即可.
【详解】令①，
当时，不等式可整理为，解得，故符合要求，
当时，不等式可整理为，解得，故，
所以不等式①的解为；
由上可得，不等式的解为或，
所以，
令，解得，令，解得或，
令，解得或，令，解得或，
所以区间的最小长度为1，最大长度为.
故选：AD.
三、填空题
13．已知函数的定义域为，则函数的定义域为
【答案】
【分析】根据具体函数和抽象函数的定义域求法，即可求解.
【详解】由条件可知，函数的定义域需满足，解得：，
所以函数的定义域是.
故答案为：
14．已知命题；命题.若都是假命题，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】利用命题的否定都是真命题求得参数范围．
【详解】命题的否定为真命题，
当时恒成立，当时，可得，故.
命题的否命题为真命题，
所以，解得或，
综上，的取值范围是.
故答案为：.
15．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，则函数的值域为 .
【答案】
【分析】利用指数函数性质求得的值域，然后再由高斯函数定义得结论．
【详解】，又，
则，则函数的值域为.
故答案为：.
16．已知函数，若且，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的序号为 （把你认为正确的结论都填上）.
【答案】②③④
【分析】作出函数图象，并设，则直线与函数图象的四个交点的横坐标分别为、、、，可得出，再结合对称性与对数运算可对四个命题的正误进行判断.
【详解】如下图所示，设，由图象知.
则直线与函数图象的四个交点的横坐标分别为、、、，
二次函数的图象的对称轴为直线，则点、关于该直线对称，
所以，，命题①错误；
由图象知，，，由，得，
，即，解得，命题②正确；
由，可得，.
函数在区间上单调递增，则，又，
，命题③正确；
由图象知，，则，
函数在区间上单调递减，所以，，即.
则，命题④正确.
因此，正确命题的序号为②③④.
故答案为：②③④.
【点睛】本题考查函数零点和与积的范围有关的命题的判断，解题时要充分利用函数的对称性以及对数的运算来进行求解，考查函数思想的应用，属于中等题.
四、计算题
17．（1）求值；
（2）已知为正实数，，求的值.
【答案】（1）；（2）1
【分析】（1）根据分数指数幂的运算性质即可直接计算出答案.
（2）根据指数式和对数式的互化及换底公式得出x,y,z，然后代入已知条件即可求出答案.
【详解】（1）
.
（2）为正实数，，
.
故的值为1.
五、解答题
18．已知集合.
(1)若，存在集合使得为 的真子集且为的真子集，求这样的集合；
(2)若集合是集合的一个子集，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）确定，并求出集合，写出的真子集即得；
（2）分类讨论，时满足题意，时，由集合中的元素属于集合，分别代入求出参数，得集合检验即可．
【详解】（1）当时，方程的根的判别式，所以.
又，故.
由已知，得应是一个非空集合，且是的一个真子集，
用列举法可得这样的集合共有6个，分别为.
（2）当时，是的一个子集，此时对于方程，
有，所以.
当时，因为，所以当时，
，即，此时，
因为，所以不是的子集；
同理当时，，，也不是的子集；
当时，，，也不是的子集.
综上，满足条件的的取值范围是.
六、问答题
19．定义：对于定义域为的函数，若，有，则称为的不动点.己知函数.
(1)当时，求函数的不动点；
(2)设，若有两个不动点为，且，求实数的最小值.
【答案】(1)或4
(2)12
【分析】（1）令，解方程，求出不动点；
（2）令，由韦达定理得到，结合得到，从而得到方程，求出，变形后利用基本不等式求出最小值.
【详解】（1）当时，，令，即，
解得或，所以的不动点为或4.
（2）令，即，
则，
当时，由韦达定理得，
由题意得，
故，
于是得，则，
令，则，
所以，
当且仅当，即时取等号，所以实数的最小值为12.
七、解答题
20．水葫芦原产于巴西能净化水质蔓延速度极快，在巴西由于受生物天敌的钳制，仅以一种观赏性的植物分布于水体.某市2018年底，为了净化某水库的水质引入了水葫芦，这些水葫芦在水中蔓延速度越来越快2019年一月底，水葫芦覆盖面积为，到了四月底测得水葫芦覆盖面积为，水葫芦覆盖面积（单位：），与时间（单位：月）的关系有两个函数模型且与可供选择.
(1)分别求出两个函数模型的解析式
(2)今测得2019年5月底水葫芦的覆盖面积约为，从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型求水葫芦覆盖面积达到的最小月份. 参考数据：，
【答案】(1)，．
(2)
【分析】（1）依题意函数过点和，根据所选模型利用待定系数法计算可得；
（2）将代入（1）中函数解析式，求出预测值，即可判断更合适的模型，可得，两边取对数，最后根据对数的运算性质求出的范围，即可得解.
【详解】（1）解：依题意函数过点和，
若选择模型，
则，解得，，
故函数模型为．
若选择模型，
则，解得，，
故函数模型为．
（2）解：若选择模型，即，当时，
若选择模型，即，当时，
因为，所以更合适，
令，则，两边取对数可得，
则，
所以水葫芦覆盖面积达到的最小月份是月份.
八、问答题
21．已知函数，函数．
（1）求函数的值域；
（2）若不等式对任意实数恒成立，试求实数的取值范围．
【答案】（1）[－4，﹢∞)；（2）．
【分析】（1）将原函数转化为二次函数，根据求二次函数最值的方法求解即可．（2）由题意得，求得，然后通过解对数不等式可得所求范围．
【详解】（1）由题意得
，
即的值域为[－4，﹢∞)．
（2）由不等式对任意实数恒成立得，
又，
设，则，
∴，
∴当时，=．
∴，即，
整理得，即，
解得，
∴实数x的取值范围为．
【点睛】解答本题时注意一下两点：
（1）解决对数型问题时，可通过换元的方法转化为二次函数的问题处理，解题时注意转化思想方法的运用；
（2）对于函数恒成立的问题，可根据题意转化成求函数的最值的问题处理，特别是对于双变量的问题，解题时要注意分清谁是主变量，谁是参数．
九、证明题
22．设函数是定义在上的奇函数.
(1)求的值，并判断的单调性（不需证明）；
(2)求不等式的解集；
(3)若，且在上的最小值为，求的值.
【答案】(1)，在上为增函数
(2)
(3)
【分析】（1）利用奇函数的性质即可求得，利用指数函数的单调性，结合增函数的性质即可判断的单调性；
（2）利用（1）中结论，将问题转化，从而得解；
（3）先由题意求得，再利用换元法将问题转化为的最小值问题，分类讨论的取值范围，结合二次函数的性质即可得解.
【详解】（1）是定义在上的奇函数，
，即，解得，
此时，其定义域为，
又，
所以是定义在上的奇函数，故，
因为当时，与在上单调递增，
在上为增函数.
（2）因为是奇函数，
所以由，得，
又因为是增函数，所以，解得，
所以不等式的解集为.
（3）因为，所以，解得或（舍去），
所以，
令，因为为增函数，
又，所以，
令，则其开口向上，对称轴为，
当，则时，有最小值为，解得或（舍去）；
当时，在上单调递增，
所以，解得（舍去）；
综上所述，.