2023-2024学年江西省赣州市信丰中学高一上学期第三次月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年江西省赣州市信丰中学高一上学期第三次月考数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．若集合，则的子集个数为（ ）
A．3B．4C．7D．8
【答案】D
【分析】先求得集合A,然后根据子集的个数求解即可.
【详解】解：，则的子集个数为个，
故选：D.
2．已知函数在上单调递增，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求出二次函数对称轴，由函数单调区间和对称轴关系即可求解.
【详解】因为的图象开口向上，且关于直线对称，所以在上单调递增，所以.
故选：C
3．函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由函数的根式部分得，利用指数函数单调性解不等式即可.
【详解】，故，故定义域为.
故选：D
4．下列选项中，是“是集合的真子集”成立的必要不充分条件的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由题意可知，即方程有实数解，当时，符合题意，当时，由解得的范围即为“是集合的真子集”成立的充要条件，即为所选选项的真子集，进而可得正确选项.
【详解】若“是集合的真子集”
所以，
所以方程有实数解，
当时，由可得，符合题意，
当时，由可得，
所以且，
综上所述：的充要条件为；
即“是集合的真子集”成立充要条件为；
所选集合是的必要不充分条件，则应是所选集合的真子集，
由选项判断A，B，C都不正确，选项D正确；
故选：D.
5．函数部分图像大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先由函数的奇偶性排除部分选项，然后再由的解及解的个数判断.
【详解】因为函数的定义域为R，又，
所以函数是偶函数，排除AD，
令，得，且只有一个解，排除C，
故选：B
6．已知正实数满足，则的最小值为（ ）
A．6B．8C．10D．12
【答案】B
【分析】令，用分别乘两边再用均值不等式求解即可.
【详解】因为，且为正实数
所以
，当且仅当即时等号成立.
所以.
故选：B.
7．荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点．我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是，一年后是若“进步”的值是“退步”的值的100倍，大约经过参考数据：，（ ）天．
A．200天B．210天C．220天D．230天
【答案】D
【分析】由题设得方程，根据指对数关系、对数运算性质求值即可.
【详解】设经过x天“进步”的值是“退步”的值的100倍，则，即，
．
故选：D．
8．已知函数是定义在R上奇函数，当时，.若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先判断函数在R上的单调性，再将函数值的大小转化为自变量的大小，分参转化为恒成立问题，进而得到答案.
【详解】因为在单调递增（增＋增），且函数是R上的奇函数，容易判断函数在R上是增函数.
对任意的,
问题
，
记，则问题
因为，当且仅当时取“=”，
所以.
故选：D.
【点睛】本题较为综合，到这一步都是比较正常的思路，接下来注意齐次式的处理方式，，目的是为了消元（看成一个量），下一步的换元一定要注意要把分母整体换元，这样后面的运算会简单，最后结合基本不等式或者导数解决即可.
二、多选题
9．下列函数中，与函数不是同一个函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】根据两函数定义域相同且解析式一致即为相等函数，一一判断即可.
【详解】解：的定义域为．
对于A，的定义域为，与的定义域不同，不是同一函数；
对于B，定义域为，与定义域相同，对应关系相同，是同一函数；
对于C，的定义域为，与定义域不同，不是同一函数；
对于D，，与的对应关系不同，不是同一函数．
故选：ACD．
10．设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数.令函数，以下结论正确的有（ ）
A．
B．为奇函数
C．
D．的值域为
【答案】AC
【分析】根据题中定义，结合奇函数的性质、函数的周期的性质逐一判断即可.
【详解】对于，故正确.
对于，取.1，则，而，故，所以不为奇函数，故B错误.
对于，故C正确.
对于，由可知，为周期函数，且周期为1，
当时，，当时，，
当时，；
当时，，则的值域为，故D错误，
故选：AC
【点睛】关键点睛：根据题中定义进行求解是解题的关键.
11．已知f（x）为奇函数，函数 若则（ ）
A． B．
C．D．
【答案】AC
【分析】由为奇函数，得，分别令，，即可求解.
【详解】因为为奇函数，，所以，
令，有，故A正确，
令，有，即，解得，故B错误，
所以，故C正确，
令，有，故D错误，
故选：AC.
12．已知x，y均为正实数，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】由基本不等式判断各选项．
【详解】A选项：，所以，当且仅当，即，时取等号，故A错误；
B选项：，由A知，则，故B正确；
C选项：，当且仅当，即，时取等号，故C正确；
D选项：由，得，即，当且仅当，即，时取等号，故D错误.
故选：BC．
三、填空题
13．已知幂函数的图象过点，且当时，恒有，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据幂函数的定义，代入已知点，建立方程，解得函数解析式，结合其单调性，解决不等式恒成立问题，可得答案.
【详解】因为幂函数的图象过点，所以，解得，所以，
所以在上恒成立，只需，
易知在上单调递减，所以，
所以所以实数的取值范围为
故答案为：.
14．已知函数，若，则实数 ．
【答案】
【分析】分和两种情况，解方程及，结合范围求得结果.
【详解】当时，由得，此方程无实数解；
当时，由得，解得．
故答案为：.
15．已知，则的最小值为 .
【答案】
【分析】根据基本不等式求得正确答案.
【详解】由于，所以，
所以，
当且仅当时等号成立.
故答案为：
16．已知函数，对任意的，恒成立，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据函数奇偶性以及单调性，可得，然后构造新函数，根据函数的性质可得结果．
【详解】，定义域为，
则，可知函数为奇函数，
又均为增函数，所以为增函数，
由，得，即，
则，即，
由题意可知，对任意的，恒成立，
令，
所以，解得，
所以的取值范围为．
故答案为：．
四、解答题
17．化简求值：
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据指数幂的运算性质即可求解.
（2）根据对数的运算性质即可化简求值.
【详解】（1）
（2）
18．已知关于x不等式.
(1)若不等式的解集为，求实数k的值；
(2)若不等式的解集为R，求实数k的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将不等式的解集问题转化为方程的根问题，利用韦达定理求出答案；
（2）分与两种情况，结合根的判别式列出不等式，求出实数k的取值范围.
【详解】（1）由题意：，1是方程的两个实根，
所以根据韦达定理：，解得：；
（2）当时，不等式为，恒成立，符合题意；
当时，若不等式解集为R，则，解得：
综上所述：.
19．已知函数．
(1)解关于x的方程；
(2)若不等式对任意恒成立，求实数k的取值范围．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）利用指数函数的性质，直接解方程即可得解；
（2）将问题转化为恒成立，再利用指数函数的性质与二次函数的最值即可得解.
【详解】（1）根据题意得，，即，
解得或舍去，
所以；
（2）不等式对任意恒成立，即恒成立，
当时，有，
所以，
则，
所以实数的取值范围为．
20．第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬奥会于2022年2月4日开幕.冬奥会吉祥物“冰墩墩”早在2019年9月就正式亮相，到如今已是“一墩难求”，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办.某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为200万元.每生产x万盒，需投入成本h(x)万元，当产量小于或等于50万盒时；当产量大于50万盒时，若每盒玩具手办售价200元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售完.（利润=销售总价-成本总价，销售总价=销售单价×销售量，成本总价=固定成本+生产中投入成本）
(1)求“冰墩墩”玩具手办销售利润y（万元）关于产量x（万盒）的函数关系式；
(2)当产量为多少万盒时，该企业在生产中所获得利润最大.
【答案】(1)
(2)70万盒，利润最大为1200万元
【分析】（1）根据产量的范围，分段列出函数关系式，即得答案；
（2）求出每段函数的最大值，比较即可得答案.
【详解】（1）当产量小于或等于50万盒时, ,
当产量大于50万盒时, ,
故销售利润y（万元）关于产量x（万盒）的函数关系式为： ；
（2）当 时， （万元）；
当 时，，
当时，取到最大值1200万元.
21．设函数的定义域为R，并且满足，且，当时，．
（1）求的值，并判断函数的奇偶性；
（2）解不等式
【答案】（1），奇函数（2）
【解析】（1）利用赋值法，求的值；利用函数奇偶性的定义，判断函数的奇偶性；
（2）先证明函数是定义在上的增函数，求出，利用函数的奇偶性将不等式进行转化为，再利用函数的单调性脱去函数符号，即可求解．
【详解】（1）令，则，
∴．
∵，∴，
由，得，
∴函数是奇函数．
（2）设，且，则，
，
∵当时，，
∴，即，
∴，
∴函数是定义在上的增函数，
由，得，
，
∵，∴，
∴，
∵函数是定义在上的增函数，
∴，∴，
∴不等式的解集为
【点睛】本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法是解决抽象函数常见的方法．本题综合性较强．属于难题.
22．已知函数为奇函数．
(1)求实数k的值；
(2)若对任意的x2∈，存在x1∈，使成立，求实数t的取值范围．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）根据求解即可；
（2）求得和在对应区间上的最小值，根据其大小关系，再解不等式即可.
【详解】（1）因为x∈R，为奇函数，所以，
所以，，经检验，满足题意，
故.
（2）因为任意的x2∈，存在x1∈，使成立，
所以在[t,+)上的最小值小于或等于在[1,2]的最小值，
易知＝ex﹣e﹣x在R上为增函数，所以在[t,+)上也为增函数，
所以的最小值为f(t)＝et﹣e﹣t，
令m＝|x﹣t|，当t≤1时，m＝|x﹣t|在x＝1处取小值为1﹣t，所以的最小值为e1﹣t，
所以et﹣e﹣t≤e1﹣t，即(et)2≤1+e，所以，所以；
当1＜t＜2时，m＝|x﹣t|在x＝t处取小值为0，所以的最小值为e0＝1，et﹣e﹣t≤1，
即，令k＝et，k＞0，则k2﹣k﹣1≤0，解得，
即，解得＜＝1，与t＞1矛盾，故舍去；
当t≥2时，m＝|x﹣t|在x＝2处取小值为t﹣2，所以的最小值为et﹣2，et﹣e﹣t≤et﹣2，即，
所以与t≥2矛盾，故舍去．
综上所述，t的范围为：．
下证＝ex﹣e﹣x在R上为增函数：
在上任取，则，
又当时，，，故，即，
故＝ex﹣e﹣x在R上为增函数.