2023-2024学年内蒙古自治区乌兰浩特市第一中学高一上学期第二次月考数学（理）试题含答案

这是一份2023-2024学年内蒙古自治区乌兰浩特市第一中学高一上学期第二次月考数学（理）试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．若集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】解对数不等式和分式不等式可求得集合，由交集定义可得结果.
【详解】由得：，则；
由得：，即，解得：或，则或；
.
故选：D.
2．函数的大致图象为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】确定函数为奇函数排除CD，当时，，排除A，得到答案.
【详解】，函数定义域为，
，函数为奇函数，排除CD，
当时，，，排除A.
故选：B
3．若满足时，恒有，则不可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据给定的不等式关系，结合均值不等式逐项判断作答.
【详解】对于A，取，，，
而，此时有，A不可能；
对于B，，于是，B可能；
对于C，，C可能；
对于D，，D可能.
故选：A
4．某食品加工厂2021年获利20万元，经调整食品结构，开发新产品，计划从2022年开始每年比上一年获利增加20%，问从哪一年开始这家加工厂年获利超过60万元（，）（ ）
A．2026年B．2027年C．2028年D．2029年
【答案】C
【分析】依据题意设出解析式，再用对数的相关知识求解即可.
【详解】设第年获利元，则是正整数，年是第一年，
故，解得
故，即从年开始这家加工厂年获利超过60万元.
故选：C
5．已知函数，分别由下表给出，且，，则（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】A
【分析】由题得到，然后解方程组即可.
【详解】由
得
得，所以.
故选：A.
6．已知函数为R上的奇函数，当时，，则（ ）
A．B．C．1D．3
【答案】A
【分析】利用奇函数的性质即可求解.
【详解】由题可知＝－3.
故选：A.
7．已知，，，则，，的大小关系为
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】 ，，，再比较的大小.
【详解】，，，，故选A.
【点睛】本题考查了指对数比较大小，属于简单题型，同底的对数，指数可利用单调性比较大小，同指数不同底数，按照幂函数的单调性比较大小，或是和中间值比较大小.
8．已知正实数x，y满足4x+3y＝4，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将4x+3y＝4变形为含2x+1和3y+2的等式，即2(2x+1)+(3y+2)＝8，再由换元法、基本不等式换“1”的代换求解即可．
【详解】由正实数x，y满足4x+3y＝4，可得2(2x+1)+(3y+2)＝8，
令a＝2x+1，b＝3y+2，可得2a+b＝8，
∴，即，当且仅当时取等号，
∴的最小值为.
故选：A．
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．函数的增区间是
B．函数是偶函数
C．函数的减区间是
D．幂函数图象必过原点
【答案】BC
【分析】由复合函数单调性、函数的奇偶性和幂函数知识进行判断即可.
【详解】对于A，由解得或，
∴定义域为，
令，则当时，单调递增，
令，其图象为开口向上，对称轴为直线的抛物线，当时，单调递减，当时，单调递增，
又∵定义域为，
∴由复合函数的单调性知，的增区间是，故选项A错误；
对于B，令，定义域为，，都有，
且，∴是偶函数，故选项B正确；
对于C，定义域为，
令，则当时，单调递减，
令，由A选项的判断过程，当时，单调递减，当时，单调递增，
∴由复合函数的单调性知，的减区间是，故选项C正确；
对于D，幂函数的定义域为，其图象不过原点，故选项D错误.
故选：BC.
10．若，，且，则下列不等式恒成立的（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】利用基本不等式可判断各选项的正误.
【详解】因为，，且，则，
当且仅当时，等号成立，所以，，A对；
，
当且仅当时，等号成立，B对；
，当且仅当时，等号成立，C错；
因为，则，故，
当且仅当时，等号成立，D对.
故选：ABD.
11．下列命题是真命题的有（ ）
A．“，”的否定为“，”.
B．“且”是“”的充分不必要条件.
C．“”是“”的必要不充分条件.
D．“”的充要条件是“”.
【答案】BC
【分析】根据特称命题的否定得到A错误，根据充分不必要条件条件和必要不充分条件的判断得到BC正确，举反例得到D错误，得到答案.
【详解】对选项A：“，”的否定为“，”，错误；
对选项B：若且，则；
若，取，不满足且.
故“且”是“”的充分不必要条件，正确；
对选项C：若，当时，；若，则且，
故“”是“”的必要不充分条件，正确；
对选项D：当时，，但是不成立，错误；
故选：BC
12．已知函数且，则下列命题为真命题的是（ ）
A．时，的增区间为
B．是值域为的充要条件
C．存在，使得为奇函数或偶函数
D．当时，的定义域不可能为
【答案】ABD
【分析】根据复合函数单调性判断A，根据真数取遍所有正数可判断B，利用奇偶性定义判断C，根据定义域可判断D.
【详解】当时，在上单调递增，故A正确；
当可以取遍之间的一切实数值，从而可以取遍的一切值，即值域为，此时（舍去），是值域为的充要条件，故B正确；
的定义域是不等式的解集，不论实数取何值，
定义域都是无限集，要使为偶函数，则，
于是，即对定义域内的实数恒成立，，
但此时对数的底数为零，无意义；要使为奇函数，
则，即，于是，
即，该式不能恒成立.综上，错误；
的解集为，等价于，即，
所以当时，的定义域不可能为，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题
13．若，，为正实数，，，则 ．
【答案】1
【分析】设，结合题意和指数的运算法则即可求得abc的值.
【详解】设，则， ， ， ，
因此 ．
故答案为1．
【点睛】本题主要考查指数幂的运算法则，属于基础题.
14．已知函数，则 .
【答案】
【分析】计算，根据得到答案.
【详解】，函数定义域为，
则，
.
故答案为：
15．已知，，若，，使得，则实数的最大值是 .
【答案】
【分析】根据恒成立和能成立的思想可知，根据指数函数、对数型复合函数单调性可分别求得，由此可构造不等式求得结果.
【详解】，，使得，；
在上单调递减，；
在上单调递增，在上单调递增，
在上单调递增，；
，解得：，则实数的最大值为.
故答案为：.
16．若函数是函数的反函数，其图象过点，且函数在区间上是增函数，则正数的取值范围是
【答案】
【分析】由条件求得，结合题意可得函数在区间上是减函数．再根据在区间上大于零，且在，是增函数，可得，由此解得的范围．
【详解】由题意可得函数，再根据其图象过点，
可得，即，．
函数在区间上是增函数，且，
函数在区间上是减函数，
故在区间上是增函数．
再根据在区间上大于零，且在，是增函数，
可得，解得，
故答案为：，．
四、解答题
17．计算下列各式的值：
(1)
(2).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接计算得到答案.
（2）根据对数的运算法则直接计算得到答案.
【详解】（1）；
（2）
.
18．已知函数.
(1)当时，在给定的坐标系中作出函数的图象，并写出它的单调递减区间；
(2)若，且，求实数.
【答案】(1)图象见解析，单调递减区间为和
(2)或
【分析】（1）根据分段函数、一次函数、对数函数的知识画出图象，根据图象求得单调递减区间.
（2）根据进行分类讨论，通过解方程求得的值.
【详解】（1）当时，，图象如图所示，
由图可知的单调递减区间为和.
（2）依题意，当时，，
即，解得或.
当时，，即由得方程无解；
综上所述，当时，或.
19．已知函数是奇函数.
(1)求的值；
(2)求在上的值域.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）根据，利用函数是奇函数求解；
（2）根据指数函数的单调性易证是上的减函数求解.
【详解】（1）解：因为，
所以.
因为是奇函数，
所以，即，
即，
解得.
（2）由（1）可知，
易知在上单调递增且，在上单调递减，
所以是上的减函数.
因为，，
所以在上的值域为.
20．随着科技的发展，手机上各种APP层出不穷，其中抖音就是一种很火爆的自媒体软件，抖音是一个帮助用户表达自我，记录美好生活的视频平台．在大部分人用来娱乐的同时，部分有商业头脑的人用抖音来直播带货，可谓赚得盆满钵满，抖音上商品的价格随着播放的热度而变化．经测算某服装的价格近似满足：，其中（单位：元）表示开始卖时的服装价格，J（单位：元）表示经过一定时间t（单位：天）后的价格，（单位：元）表示波动价格，h（单位：天）表示波动周期．某位商人通过抖音卖此服装，开始卖时的价格为每件120元，波动价格为每件20元，服装价格降到70元每件时需要10天时间．
(1)求h的值；
(2)求服装价格降到60元每件时需要的天数．（结果精确到整数）
参考数据：
【答案】(1)10；
(2)14.
【分析】（1）把给定的数据代入，解指数方程作答.
（2）由（1）求出函数关系，再由函数值求出自变量值作答.
【详解】（1）在中，，
则有，整理得，即，解得，
所以h的值为10.
（2）由（1）知，，当时，，即有，
取常用对数得：，解得，而，则，
所以服装价格降到60元每件时需要14天.
21．已知二次函数满足和对任意实数都成立，.
（1）求解析式；
（2）若，记函数在上最大值为，最小值为，且，求的最大值.
【答案】（1）；（2）2.
【解析】（1）设函数，由可求得的值，由，利用待定系数法即可求得，的值，从而可得函数的解析式；
（2）由，分和，讨论最值列不等式即可得解.
【详解】（1）由题意可设函数.
∵
∴
∵
∴对任意恒成立，即.
∴，且
∴，
∴；
（2），开口向上，对称轴为.
当，即时，，，
，解得，结合，所以无解；
当，即时，，，
，解得，结合，得.
所以的最大值为2.
【点睛】本题主要考查了二次函数解析式和最值的求法，同时考查了分类讨论的思想方法，解答中熟记一元二次函数的图象与性质是解答的关键，试题综合性强.
22．若定义在上的函数对任意的、，都有成立，且当时，.
（1）求证：为奇函数；
（2）求证：是上的增函数；
（3）若，解不等式．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.
【分析】（1）构造函数，由题意得出，先令求出的值，再令，，代入可证明出函数为奇函数；
（2）任取，由题中条件得出，于此可得出函数在上的单调性；
（3）由题意得出，于此可将不等式化为，由函数在上的单调性得出，解出该不等式可得出实数的取值范围.
【详解】（1）证明：定义在上的函数对任意的、，
都有成立，
构造函数，则，
即.
令，得，所以，.
由于函数的定义域为，关于原点对称，
令，，则，，
因此，函数为奇函数；
（2）任取，则，.
另一方面，即，
因此，函数在上为增函数，即函数在上为增函数；
（3），则，，
由，得，即，
，又，，
所以，.
由于函数在上单调递增，所以，，即，
解得，因此，不等式的解集为.
【点睛】本题考查抽象函数的奇偶性与单调性的证明，同时也考查了函数不等式的求解，需转化为同一函数的两个函数值的大小关系，利用单调性得出自变量的大小关系求解，考查分析问题和求解问题的能力，属于中等题.