2023-2024学年宁夏青铜峡市宁朔中学高一上学期第二次月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年宁夏青铜峡市宁朔中学高一上学期第二次月考数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，计算题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先分别解一元二次不等式和指数不等式，再根据交集的定义求解即可.
【详解】，解得，所以.
，解得，所以.
所以.
故选：B
2．与终边相同的角的表达式中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据角度的表示方法分析判断AB，根据终边相同的角的定义分析判断CD.
【详解】在同一个表达式中，角度制与弧度制不能混用，所以A，B错误．
与终边相同的角可以写成的形式，
时，，315°换算成弧度制为，所以C错误，D正确．
故选：D．
3．若实数a，b满足，则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】D
【解析】利用指数式与对数式的互化可得，再利用对数运算，即可得答案；
【详解】，，
，
故选：D.
4．已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】计算，，，得到大小关系.
【详解】，，，故.
故选：B.
5．设是第二象限角，则的终边在（ ）
A．第一、二、三象限B．第二、三、四象限
C．第一、三、四象限D．第一、二、四象限
【答案】D
【分析】由 ，得到，对k赋值判断.
【详解】解：因为是第二象限角，
所以 ，
，
当 时， ，在第一象限；
当 时， ，在第二象限；
当 时， ，在第四象限；
故选：D
6．已知扇形的周长为20，则该扇形的面积S的最大值为（ ）
A．10B．15C．20D．25
【答案】D
【分析】设扇形圆心角为，扇形半径为r，由题可得间关系，后用r表示S，即可得答案.
【详解】设扇形圆心角为，，扇形半径为，，
由题有，
则，当时取等号.
故选：D
7．函数在区间上的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用换元法以及对勾函数的单调性求解即可．
【详解】设，则问题转化为求函数在区间上的最大值．根据对勾函数的性质，得函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以．
故选：B
8．星等是衡量天体光度的量.为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯（又名依巴谷）在公元前二世纪首先提出了星等这个概念，例如，1等星的星等值为1，等星的星等值为.已知两个天体的星等值，，和它们对应的亮度，满足关系式（，），则1等星的亮度是6等星亮度的（ ）
A．倍B．10倍C．倍D．100倍
【答案】D
【分析】根据题意建立对数关系式，并结合指对数互化求解.
【详解】由题意得：当，时，，
即：，解之得：，故D项正确.
故选：D.
二、多选题
9．已知角的终边经过点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【分析】根据三角函数的定义求得，结合诱导公式确定正确答案.
【详解】角的终边经过点，，
，，，
，，故AB正确、CD错误，
故选：AB
10．下列函数既是奇函数，又在定义域内单调递增的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】根据奇偶性的定义和常见函数的单调性，即可判断和选择.
【详解】对A：定义域为，且，故为奇函数；
又是上的单调增函数，故A满足题意；
对B：定义域为，不关于原点对称，故为非奇非偶函数，B不满足题意；
对C：的定义域为，且，故为奇函数；
又都是上的单调增函数，故是上的单调增函数，C满足题意；
对D：的定义域为，其在定义域上不是单调增函数，故D不满足题意.
故选：AC.
11．已知，且，则函数与的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】分和两种情况，结合函数的单调性和图象特征，判断选项.
【详解】若，则函数的图象单调递减且过点，
函数的图象单调递减且过点；
若，则函数的图象单调递增且过点，
而函数的图象单调递增且过点，
只有A,C的图象符合．
故选：AC
12．已知函数，令，则（ ）
A．若有1个零点，则或
B．若有2个零点，则或
C．的值域是
D．若存在实数a，b，c（）满足，则的取值范围为（2，3）
【答案】BCD
【分析】根据函数图象的翻折变换和平移变换，由函数的图象与函数的图象，
可得函数的图象，利用数形结合，可得答案.
【详解】由函数的图象，根据函数图象的翻折变换，
由函数的图象，根据函数图象的平移变换，向右平移3个单位，向下平移1个单位，
可得函数的图象，如下图：
函数的图象可由函数经过平移变换得到，
显然当或时，函数的图象与轴存在唯一交点，故A错误；
由函数的图象，本身存在两个交点，向下平移一个单位，符合题意，故B正确；
由图象，易知C正确；
设，则，由前两个方程可得，则，
由图象可知，解得，即，故D正确；
故选：BCD.
三、填空题
13．已知函数，则 .
【答案】9
【分析】根据函数解析式直接求解即可.
【详解】解：根据题意，
故答案为：9
14．函数（，且）的图像恒过的定点的坐标为 ．
【答案】
【分析】根据指数函数过定点进行求解.
【详解】因为，
所以恒过的定点的坐标为，
故答案为：.
15．函数的单调递减区间是 .
【答案】
【分析】先确定函数的定义域, 再分别得出内层函数和外层函数的单调性，根据复合函数的性质求出函数的单调区间即可.
【详解】 的定义域为，解得，
或,
求原函数的单调递增区间, 即求函数的减区间,
, 可知单调递减区间为,
综上可得, 函数单调递增区间为 .
令 , 由 , 得或,
函数 的定义域为 ,
当 时, 内层函数 为增函数,而外层函数 为减函数,
函数 的单调递减区间是 .
故答案为:.
16．给出下列函数：①；②；③；④.
（1）是定义在上的偶函数；
（2）对任意且，有，其中同时满足上述两个条件的函数是 (填序号)．
【答案】②③
【分析】根据函数的奇偶性的定义和判定方法，以及基本初等函数的单调性，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意，函数，，的定义域都是，
且都满足，所以都是定义域上的偶函数；
根据对数函数的图象与性质，可得函数为非奇非偶函数，不符合题意，
又由对任意且，有，
可得函数是上的单调递减函数，
根据二次函数的性质，可得函数在上为单调递增函数，不符合题意；
当，可得，在上为单调递减函数，符合题意；
当，可得，在上为单调递减函数，符合题意；
故答案为：②③
四、计算题
17．求值：
(1)；
(2) ．
【答案】(1)3
(2)10
【分析】根据指对幂的运算规则计算.
【详解】（1）
；
（2）原式；
综上，（1）原式=3；（2）原式=10.
五、解答题
18．（1）已知，且为第二象限角，求的值；
（2）已知，求的值.
【答案】（1），；（2）答案见解析
【分析】（1）根据函数值和角的象限，利用平方关系求出余弦，再利用商数关系求正切值；
（2）根据函数值的符号确定角的象限，利用平方关系求出正弦，再利用商数关系求正切值.
【详解】（1）因为且是第二象限角，
所以，
；
（2）因为，所以是第二或第三象限角，
当为第二象限角时，，
所以，；
当是第三象限角时，
所以，
19．已知.
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用平方关系及商数关系有，再代入求值.
（2）应用诱导公式化简，再由商数关系及已知求值.
【详解】（1）因为，
所以.
（2）因为，
.
20．已知，，求下列各式的值．
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据已知条件及同角三角函数的平方关系即可求解；
（2）利用（1）的结论及完全平方公式，结合同角三角函数的平方关系即可求解；
（3）利用（2）的结论及平方差公式即可求解.
【详解】（1）∵，
∴,即，
∴，
∴．
（2）由（1）知，，
，
又，
∴，，
∴，
∴．
（3）∵，，
∴．
六、证明题
21．已知函数，（，且）．
(1)求函数的定义域；
(2)判断函数的奇偶性，并证明．
【答案】(1)
(2)函数为定义域上的偶函数，证明见解析
【分析】（1）由题意可得，解不等式即可求出结果；
（2）令，证得，根据偶函数的定义即可得出结论.
【详解】（1）由，
则有，得．则函数的定义域为．
（2）函数为定义域上的偶函数．
令，
则，
又
．
则，有成立．
则函数为在定义域上的偶函数．
22．已知函数过定点，函数的定义域为.
（Ⅰ）求定点并证明函数的奇偶性；
（Ⅱ）判断并证明函数在上的单调性；
（Ⅲ）解不等式.
【答案】（Ⅰ）定点为，奇函数，证明见解析；（Ⅱ）在上单调递增，证明见解析；（Ⅲ）.
【解析】（Ⅰ）根据解析式可求得定点为，即可得的解析式，根据奇函数的定义，即可得证；
（Ⅱ）利用定义法即可证明的单调性；
（Ⅲ）根据的单调性和奇偶性，化简整理，可得，根据函数的定义域，列出不等式组，即可求得答案.
【详解】（Ⅰ）函数过定点，定点为，
，定义域为，
.
函数为奇函数.
（Ⅱ）在上单调递增.
证明：任取，且，
则.
，，
，，
，即，
函数在区间上是增函数.
（Ⅲ），即，
函数为奇函数
在上为单调递增函数，
， ，解得：.
故不等式的解集为：
【点睛】解题的关键是熟练掌握函数奇偶性、单调性的定义，并灵活应用，在处理单调性、奇偶性综合问题时，需要注意函数所有的自变量都要在定义域内，方可求得正确答案.