2023-2024学年山东省淄博市高青县第一中学高一上学期10月月考（一级部）数学试题含答案

这是一份2023-2024学年山东省淄博市高青县第一中学高一上学期10月月考（一级部）数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（ ）
A．–4B．–2C．2D．4
【答案】B
【分析】由题意首先求得集合A,B，然后结合交集的结果得到关于a的方程，求解方程即可确定实数a的值.
【详解】求解二次不等式可得：，
求解一次不等式可得：.
由于，故：，解得：.
故选：B.
【点睛】本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
2．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可.
【详解】求解二次不等式可得：或，
据此可知：是的充分不必要条件.
故选：A.
【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题.
3．已知命题 “”，则为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据存在量词命题的否定的知识求得正确答案.
【详解】存在量词命题：的否定是：.
故选：C
4．若a，b∈R，且a>|b|，则（ ）
A．a<－bB．a>b
C．a2
【答案】B
【分析】根据a>|b|，由绝对值的几何意义，分b≥0和b<0讨论，再利用不等式的性质求解.
【详解】因为a>|b|，
当b≥0时，a>b，
当b<0时，a>－b，
综上可知，当a>|b|时，则a>b成立，
故选：B.
【点睛】本题主要考查不等式的性质以及绝对值的几何意义，属于基础题.
5．已知函数，则（ ）
A．有最小值4B．有最小值－4
C．有最大值4D．有最大值－4
【答案】A
【解析】首先对进行变形，使其满足均值不等式的形式，再利用均值不等式的性质求出其最小值即可.
【详解】解：＝＝＝－＝＝.
因为，所以，，
所以，当且仅当，即时，等号成立.
故有最小值4.
故选：A.
【点睛】本题主要考查均值不等式的性质，要注意满足“一正，二定，三相等”的条件，考查运算求解能力，属于基础题型.
6．若不等式的解集为，则值是（ ）
A．-10B．-14C．10D．14
【答案】A
【分析】由题意可知方程的根为，结合根与系数的关系得出，从而得出的值.
【详解】由题意可知方程的根为
由根与系数的关系可知，
解得
即
故选：A
7．在上定义运算：，若使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先利用定义把整理成,结合题中不等式解集不是空集,可得函数的最大值大于1,由二次函数的性质得:成立,解之可得或.
【详解】解:由题知
若,使得不等式成立,
则需函数的最大值大于1,
即时,成立,
解得或.
故选:A
【点睛】题考查了在新定义下对函数恒成立问题的应用.关于新定义型的题转化为一元二次不等式求解.
8．已知方程有两个不等正实根，则实数m的取值范围为（ ）
A．或B．
C．D．或
【答案】D
【分析】应用二次方程根的分布等价于对应二次函数零点的分布问题，求解实数m的取值范围即可.
【详解】因为方程有两个不等正实根，设两根为，
则等价于函数有两个不相等且大于0的零点，
所以或，
故选：D
二、多选题
9．下列四个选项能推出的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】等价于，然后逐个分析判断即可.
【详解】，
对于A，当时，，所以，所以A正确，
对于B，当时，，所以，所以B错误，
对于C，当时，，所以，所以C正确，
对于D，当时，，所以，所以D正确，
故选：ACD.
10．若是的充分不必要条件，则实数的值可以是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】CD
【分析】先解一元二次不等式，然后根据充分不必要条件求得正确答案.
【详解】，解得，
由于是的充分不必要条件，
所以，所以AB选项错误，CD选项正确.
故选：CD
11．下列结论正确的是（ ）
A．当时，
B．当时，的最小值是
C．当时，的最小值是
D．设，且，则的最小值是
【答案】AD
【分析】根据基本不等式对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，当时，，
当且仅当时等号成立，所以A选项正确.
B选项，当时，，
但无解，所以等号不成立，所以B选项错误.
C选项，当时，如时，，
所以C选项错误.
D选项，设，且，
则，
当且仅当时等号成立，所以D选项正确.
故选：AD
12．已知关于的不等式的解集是，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】根据一元二次不等式与相应的一元二次方程的关系，利用根与系数的关系即可判断出结论．
【详解】关于的不等式的解集是，
所以，且是一元二次方程即的两根，
所以，选项A正确；
，选项B正确；
，选项D正确；
由，可得：是错误的，即选项C错误．
故选：ABD．
三、填空题
13．已知命题p：，命题q：.若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围为 ．
【答案】(－∞，－2]
【分析】根据条件分别求出命题，为真命题的等价条件，然后根据复合命题真假关系进行求解即可.
【详解】，得，则，即，
若，为真命题，
则判别式，
即，得或，即或，
若“p且q”是真命题，则真且真，则，
故答案为：.
【点睛】本题主要考查复合命题真假关系的应用，根据条件求出命题，的等价关系是解决本题的关键，属于基础题.
14．已知正实数，且，则的最小值为 .
【答案】13
【分析】根据基本不等式即可求解.
【详解】由可得，由于，所以，
故，
由于，所以，当且仅当时等号成立，
故，
故的最小值为13，
故答案为：13
15．已知集合A＝{x|(x＋1)(x－6)≤0}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}.若B⊆A，则实数m的取值范围为 .
【答案】
【分析】求出集合A，根据B⊆A，分B＝∅或B≠∅两种情况进行讨论，列不等式组，即可求出m的范围.
【详解】A＝{x|(x＋1)(x－6)≤0}＝{x|－1≤x≤6}.
∵B⊆A，∴B＝∅或B≠∅.
当B＝∅时，m－1>2m＋1，即m<－2.符合题意；
当B≠∅时，
解得：.
综上所述：m<－2或.
所以实数m的取值范围为.
故答案为：.
16．若，，，，使则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】原问题等价于g(x)的值域是f(x)值域的子集，据此即可求解﹒
【详解】原问题等价于函数的值域是函数值域的子集．
在上，二次函数的值域是，
单调递增的一次函数的值域是，
则，
则且，解得．
故答案为：．
四、解答题
17．已知集合A={x|2≤x<7}，B={x|3（1）求A∪B，(∁RA)∩B;
（2）若A∩C≠⌀，求a的取值范围．
【答案】（1）A∪B={x|2≤x<10}，(∁RA)∩B={x|7≤x<10}；（2）(2，+∞)．
【分析】（1）根据A={x|2≤x<7}，B={x|3（2）根据A∩C≠⌀，由交集的运算求解.
【详解】（1）因为A={x|2≤x<7}，B={x|3所以A∪B={x|2≤x<10}．
因为A={x|2≤x<7}，
所以∁RA={x|x<2或x≥7}，
所以(∁RA)∩B={x|7≤x<10}．
（2）因为A={x|2≤x<7}，C={x|x所以a>2，
所以a的取值范围是(2，+∞)．
【点睛】本题主要考查集合的基本运算及其应用，属于中档题.
18．已知不等式x2+x﹣6＜0的解集为A，不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集为B．
（1）求A∩B．
（2）若不等式x2+ax+b＜0的解集为A∩B，求不等式ax2+bx+3＜0的解集．
【答案】（1）（﹣1，2）
（2）（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）
【分析】（1）解一元二次不等式求得集合、.由此求得.
（2）根据不等式的解集列方程组，解方程组求得的值，进而求解出的解集.
【详解】（1）不等式x2+x﹣6＜0可化为（x+3）（x﹣2）＜0，
解得﹣3＜x＜2，所以不等式的解集为A＝（﹣3，2）；
不等式x2﹣2x﹣3＜0可化为（x+1）（x﹣3）＜0，
解得﹣1＜x＜3，所以不等式的解集为B＝（﹣1，3）；
所以A∩B＝（﹣1，2）．
（2）由不等式x2+ax+b＜0的解集为A∩B＝（﹣1，2），
所以方程x2+ax+b＝0的解﹣1和2，
由根与系数的关系知，，解得a＝﹣1，b＝﹣2；
所以不等式ax2+bx+3＜0化为﹣x2﹣2x+3＜0，即x2+2x﹣3＞0，
解得x＜﹣3或x＞1，
故所求不等式的解集为（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）．
【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查根据一元二次不等式的解集求参数，考查集合交集的概念和运算，属于基础题.
19．（1）已知，求的最大值；
（2）已知，且，求的最小值．
【答案】（1）-1；（2）.
【分析】（1）根据x的范围，可得，原式转化为，结合基本不等式，即可得结果；
（2）根据基本不等式，“1”的妙用，即可求解.
【详解】（1），
，
，（当且仅当，即时取等号），
，
，即最大值为；
（2），则，
，
，
（当且仅当，即时取等号），
，即的最小值为.
【点睛】本题考查基本不等式中配凑法的应用、“1”的妙用等知识，应用基本不等式时，应注意： “一正，二定，三相等”，考查分析理解，求值化简的能力，属中档题.
20．设集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|x2+2（a+1）x+a2-5=0}.
(1)若A∩B={2}，求实数a的值；
(2)若A∪B=A，求实数a的取值范围.
【答案】(1)-1或-3；
(2).
【分析】（1）根据集合交集的性质进行求解即可；
（2）根据集合并集的运算性质进行求解即可；
【详解】（1）由x2-3x+2=0得x=1或x=2，故集合A={1，2}.
因为A∩B={2}，所以2∈B，将x=2代入B中的方程，
得a2+4a+3=0，解得a=-1或a=-3，
当a=-1时，B={x|x2-4=0}={-2，2}，满足条件；
当a=-3时，B={x|x2-4x+4=0}={2}，满足条件，
综上，实数a的值为-1或-3；
（2）对于集合B，=4（a+1）2-4（a2-5）=8（a+3）.
因为A∪B=A，所以B⊆A.
当<0，即a<-3时，B为空集，满足条件；
当=0，即a=-3时，B={2}，满足条件；
当>0，即a>-3时，B=A={1，2}才能满足条件，
则由根与系数的关系，得1+2=-2（a+1），1×2=a2-5，
解得a=-，且a2=7，矛盾.
综上，实数a的取值范围是.
21．某厂家拟在2021年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元（）满足：（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2021年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）．
(1)将2021年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
(2)该厂家促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
【答案】(1)，
(2)投入3万元时
【分析】（1）根据已知先求k，表示出销售价格，然后由题意可得函数关系；
（2）由（1），，再根据基本不等式求解即可.
【详解】（1）由题意知，当时，∴，
∴，
∴每件产品的销售价格为（元），
∴，，
即，
（2）由（1），，又当时，，
当且仅当，即时，y取得最大值，∴，
故该厂家的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大．
22．已知命题：“，使等式成立”是真命题，
(1)求实数的取值集合；
(2)设不等式的解集为，若是的必要条件，求的取值范围．
【答案】(1)；
(2)或.
【分析】（1）由已知可得，由二次函数的性质计算在区间上的值域即可求解；
（2）根据已知条件可得，讨论，，时集合，再根据包含关系列不等式，解不等式即可求解.
【详解】（1）由可得，
因为，所以时，，
当时，，
所以，
（2）若是的必要条件，则，
方程的两根分别为，，
①当即时，，
由可得，解得：，
②当即时，，
由可得，解得：，
③当即时，，此时不符合题意，
综上可得：或.