2023-2024学年陕西省西安市高新第一中学高一上学期第二次月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年陕西省西安市高新第一中学高一上学期第二次月考数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，应用题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】化简集合然后利用交集运算即可求解
【详解】由可得，解得，故，
因为所以，
所以，
故选：D
2．已知函数．则的值为（ ）
A．6B．5C．4D．3
【答案】B
【分析】根据题意，令可得的值，将的值代入，即可得答案．
【详解】解：根据题意，函数，若，解可得，
将代入，可得，
故选：．
3．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据幂函数性质，结合已知判断条件间推出关系，进而确定它们的充分、必要关系.
【详解】由，
当时，由幂函数的性质知：必成立，
当时，也有，
∴“”是“”的充要条件.
故选：C
4．已知（且，且），则函数与的图像可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由对数的运算性质可得ab＝1，讨论a，b的范围，结合指数函数和对数函数的图像的单调性，即可得到答案．
【详解】，即为，即有ab＝1；
当a＞1时，0＜b＜1，
函数与均为减函数，四个图像均不满足，
当0＜a＜1时，b＞1，
函数数与均为增函数，排除ACD，
在同一坐标系中的图像只能是B，
故选：B．
5．已知，，，则下列判断正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】对数函数的单调性可比较、与的大小关系，由此可得出结论.
【详解】，即.
故选：C.
6．我国某科研机构新研制了一种治疗新冠肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段．已知这种新药在注射停止后的血药含量c（t）（单位：mg/L）随着时间t（单位：h）的变化用指数模型描述，假定某药物的消除速率常数（单位：），刚注射这种新药后的初始血药含量，且这种新药在病人体内的血药含量不低于1000mg/L时才会对新冠肺炎起疗效，现给某新冠病人注射了这种新药，则该新药对病人有疗效的时长大约为（ ）（参考数据：）
A．5.32hB．6.23hC．6.93hD．7.52h
【答案】C
【分析】根据所给模型解不等式即得．
【详解】由题意，，，，
故选：C．
7．已知是偶函数，任意，且，满足，，则的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】先判断出的图象关于对称，且在上单调递减，在上单调递增，再分类讨论，将原不等式转化为不等式组求解即可.
【详解】因为是偶函数，所以的图象关于轴对称，
又因为的图象可由的图象向右平移1个单位得到，
所以的图象关于对称，
因为任意，且，满是，
所以任取，
则在上单调递减，
由对称性可知在上单调递增，
由根据对称性可得，
因为，所以或
解得或.
即的解集是，
故选：A.
【点睛】方法点睛：解答抽象不等式问题 时，切勿将自变量代入函数解析式进行求解，首先应该注意考查函数的单调性．若函数为增函数，则；若函数为减函数，则．
8．设函数若存在最小值，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据一次函数和二次函数的单调性，分类讨论进行求解即可.
【详解】若时，，；
若时，当时，单调递增，当时，，故没有最小值；
若时，时，单调递减，，当时，，若函数有最小值，需或，解得.
故选：B
【点睛】关键点睛：利用分类讨论法，结合最值的性质是解题的关键.
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，则D．函数的最小值是2
【答案】BC
【分析】对于A选项，取特殊值即可判断正误；
对于B、C选项，根据不等式的运算性质即可判断正误；
对于D选项，将函数化简为，，然后根据对勾函数的单调性即可判断正误
【详解】对于A选项，取，，，则，故错误；
对于B选项，，，，，故B正确；
对于C选项，，，，，故C正确；
对于D选项，函数，令，
由函数在上单调递增，，故D错误.
故选：BC
10．关于函数的性质描述，正确的是（ ）
A．的定义域为B．的值域为
C．的图象关于点对称D．在定义域上是减函数
【答案】ABC
【分析】首先对原式分离常数，再根据函数性质即可求解.
【详解】由题可知，，分母不能为，则，A正确；，，即值域为，B正确；关于原点对称，可以由的图像先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，则对称中心平移为，C正确；在上不符合函数单调性的定义，D错误.
故选：ABC
11．已知定义在R上的函数的图像关于点对称，则下列结论成立的是（ ）．
A．是奇函数B．
C．D．
【答案】CD
【分析】由题意可得，根据函数图像的对称性和函数性质，对选项进行判断．
【详解】由题得函数图像上的点关于点的对称点也在函数图像上，所以，
对于A：函数的图像由函数的图像向右平移一个单位得到，则函数的图像关于点对称，不能得到函数为奇函数，所以A选项错误；
对于B：由，令，则有，故B选项错误；
对于C：由，令，则有，故C选项正确；
对于D：由，令，则有，∴，故D选项正确．
故选：CD．
12．定义在上的函数，对于任意的都有；且；当时，；则下列结论正确的是（ ）
A．B．是奇函数
C．在上单调递增D．的解集为
【答案】ACD
【分析】对于A：利用赋值法求出；
对于B：借助于赋值法，利用奇偶性的定义直接证明；
对于C：利用单调性的定义进行证明；
对于D：利用赋值法求出，把化为，即可解得.
【详解】对于A：对于任意的都有，令，则有，所以.故A正确；
对于B：对于任意的都有，令，则有，所以；令，则有，所以，故是偶函数.故B错误；
对于C：任取，不妨令，则有，因为当时，，所以，即，所以在上单调递增.故C正确；
对于D：由B的判断过程，可知是偶函数；由C的推导过程，在上单调递增.
对于任意的都有，且，令可得：，令可得：.
所以可化为：，即解得：，即的解集为.故D正确.
故选：ACD
【点睛】（1）定义法证明函数单调性的步骤：
①取值；②作差；③定号；④下结论．
（2）解抽象函数型不等式利用函数的单调性.
三、填空题
13．若命题“，”为假命题，则实数a的取值集合为 ．
【答案】
【分析】根据题意，将条件进行等价转化为对恒成立，进而转化为二次函数与轴没有交点的问题，利用判别式即可求解.
【详解】因为命题“，”为假命题，所以对恒成立，也即对应的二次函数与轴没有交点，
所以，解得：，
故答案为：.
14．定义在上的奇函数，当时，，则的值为 ．
【答案】/
【分析】根据题意，得到，代入结合对数的运算性质，即可求解.
【详解】由题意，定义在上的奇函数，当时，，
则.
故答案为：.
15．已知（且）在上单调递减，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据对数函数的单调性及定义域结合已知即可得解.
【详解】令，
因为，所以函数在定义域内为减函数，
因为函数（且）在上单调递减，
所以函数在定义域内为增函数，
所以，解得，
所以实数a的取值范围为.
故答案为：.
16．设表示不超过实数x的最大整数，例如，，．已知函数，则函数的值域为 ．
【答案】
【分析】首先判断的奇偶性，结合的定义，讨论取整数和非整数时对应的结果即可.
【详解】易知的定义域为，关于原点对称，则，
故是定义在上的奇函数，，
若，是整数，则，
若，是整数，则，
故有，，
故，
综上或
故答案为：
四、解答题
17．已知集合．
(1)若，求；
(2)若，求实数的取值集合．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据交集的知识求得正确答案.
（2）根据对进行分类讨论，从而求得的取值范围.
【详解】（1）依题意，
当时，，
所以.
（2）由解得，，
若，则，，符合题意.
若，由于，所以.
综上所述，实数的取值集合为.
18．已知，，且．
(1)求的最大值；
(2)求的最小值．
【答案】(1)
(2)8
【分析】（1）由基本不等式得到，从而求出；
（2）利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【详解】（1）因为，，
由基本不等式得，即，解得，
当且仅当时，等号成立，故的最大值为；
（2）因为，，，
故，
当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为8.
19．已知函数．
(1)当时，解不等式；
(2)若函数的图象过点，求函数的值域．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）当时，利用对数函数和指数函数的单调性可得出不等式的解集；
（2）由可求出的值，再化简函数的解析式，利用指数函数和对数函数的基本性质可得出函数的值域.
【详解】（1）解：当时，．
由，得，得，得，解得．
故不等式的解集是．
（2）解：因为函数的图象过点，所以，
即，解得．所以．
所以，
则．
因为，则，，所以的值域为．
五、应用题
20．已知某工厂生产某种产品的年固定成本为200万元，每生产x千件，需另投入成本．当年产量不足50千件时，（万元）；年产量不小于50千件时，（万元）．每千件商品售价为50万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．
(1)写出年利润（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；
(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)60千件，最大利润为280万元．
【分析】（1）根据已知条件，结合利润销售额成本公式，分类讨论，即可得出答案；
（2）由（1）得，结合二次函数的性质及基本不等式的公式，即可得出答案．
【详解】（1）每千件商品售价为50万元，
千件产品销售额为，
当时，，
当时，．
；
（2）由（1）得，
当时，，
则万元，
当时，，当且仅当，即时等号成立，
又，
则当年产量为60千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润是280万元．
六、解答题
21．已知函数．
(1)若关于x的不等式的解集为，求的取值范围；
(2)若函数在上是减函数，且对任意的，总有成立，求实数m的范围．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）由不等式的解集是，得方程的两根为，由韦达定理可求的值，则由，可得，由范围求解二次函数值域即可；
（2）由区间单调性可得范围，再由题意转化为的最值问题求解.
【详解】（1）由题意可知方程有两个不相等的实数根a，b，
所以，解之得：或．
由韦达定理得：，，
所以，
令，
则当时，，
当时，，
所以，所以，即的取值范围为；
（2）函数的图象开口向上，且对称轴为，
在上是减函数，
所以有，即，则有，
又因为对任意的，总有，
要使成立，则有，
在区间上，在上单调递减，在上单调递增，
又，
所以，
所以有，即，
解之得：，
综上，实数m的范围是．
22．我们知道，函数的图象是关于坐标原点的中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象是关于点的中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.
(1)求函数的对称中心；
(2)函数，若对任意，都存在，使得，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）构造函数，由列方程组，从而求得对称中心.
（2）先求得在区间上的值域，根据“任意”、“存在”以及绝对值不等式的知识列不等式，从而求得的取值范围.
【详解】（1）假设的图象存在对称中心，
则的图象关于原点中心对称，
因为的定义域为，所以恒成立，
即恒成立，
所以，解得，
所以的图象存在对称中心.
（2）函数在区间上单调递减，其在区间上值域为，
由题可知，，即对恒成立.
由得或；
即或对恒成立，
所以或，
故的取值范围为.
【点睛】判断一个函数是否是奇函数，首先考虑函数的定义域是否关于原点对称，然后利用定义：，或来确定函数是否是奇函数.对于存在性、恒成立问题，可以转化为值域问题来进行求解.