2023-2024学年天津市滨海新区田家炳中学高一上学期第二次月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年天津市滨海新区田家炳中学高一上学期第二次月考数学试题含答案，共11页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知全集，集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先根据题意求，再结合并集的概念求答案.
【详解】因为全集， 集合，
所以，
又因为集合，所以，
故选：D.
2．命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】利用含有一个量词的命题的否定规律“改量词，否结论”分析判断即可得解.
【详解】解：因为命题“，”为存在量词命题，
所以其否定为“，”．
故选：B．
3．“”是“且”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据题意，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】当，此时满足，但且不成立，所以充分性不成立；
反之：若且，可得成立，所以必要性成立，
所以“”是“且”必要不充分条件.
故选：B.
4．下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】C
【分析】根据不等式的性质，即可判断选项.
【详解】A.当，有，若，则，故A错误；
B.若，则，故B错误；
C.若，则，则，故C正确；
D.若，则，故D错误.
故选：C
5．已知，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】化简，通过讨论函数和的单调性和取值范围即可得出的大小关系.
【详解】解：由题意，
，
在中，函数单调递增，且，
∴，
在中，函数单调递增，且当时，，
∴，
∴，
故选：A.
6．函数的零点所在区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】计算端点函数值，根据零点存在性定理和单调性直接判断可得.
【详解】易知增函数加增函数为增函数，函数在定义域上单调递增，且，
，所以存在唯一零点，且.
故选：C.
7．的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用诱导公式与特殊角的三角函数值即可得解.
【详解】.
故选：D.
8．以下函数中，在上单调递减且是奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】A选项，根据解析式直接得到函数在上单调递减，且为奇函数；BC选项，判断出函数为偶函数，D选项，函数不满足在单调递减.
【详解】A选项，在R上单调递减，且，
故是奇函数，满足要求，A正确；
B选项，定义域为R，且，故为偶函数，B错误；
C选项，定义域为R，且，
故为偶函数，C错误；
D选项，在上单调递增，D错误.
故选：A
9．函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】求出函数的定义域，然后判断函数的奇偶性，再根据函数的单调性进行分析判断即可.
【详解】函数的定义域为，
因为，
所以为奇函数，所以的图象关于原点对称，
所以排除A，
当时，，所以排除C，
当时，，
因为和在上递增，所以在上递增，所以排除B，
故选：D
10．分段函数，则满足的值为（ ）
A．0B．3C．0或3D．
【答案】C
【分析】对分类讨论，当时，，当时，，分别求解，即可得到满足的的值．
【详解】，依题意有，
①当时，，∵，∴，∴；
②当时，，∵，∴，∴．
综合①②，满足的的值为0或3．
故选C．
【点睛】本题考查了分段函数的解析式，分段函数的取值问题．对于分段函数一般选用数形结合和分类讨论的数学思想进行解题．主要考查了根据函数值求变量的取值，解题的关键是判断该用哪段解析式进行求解．属基础题．
11．已知函数在[2，8]上单调递减，则k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用二次函数的单调性可得答案.
【详解】因为函数的对称轴为
所以要使函数在[2，8]上单调递减，则有，即
故选：C
12．已知函数，，设函数，则下列说法错误的是（ ）
A．是偶函数B．方程有四个实数根
C．在区间上单调递增D．有最大值，没有最小值
【答案】C
【分析】画出函数的图象，结合图象对选项一一判断即可得出答案.
【详解】因为函数，，
由可得：或，
或，解得：或，
所以，
即，
作出函数的图象如下：

由图象可知，关于轴对称，是偶函数，故A正确；
方程有四个实数根，即与的图象有四个交点，由图可知，故B正确；
在区间上单调递增，在区间上单调递减，故C错误；
当时，有最大值为，无最小值，故D正确
故选：C.
二、填空题
13．若函数为偶函数，则 ．
【答案】
【分析】根据偶函数的定义求得的值.
【详解】依题意设为偶函数，
则，
，
恒成立，所以.
故答案为：
14．函数的图象一定过定点P，则P 点的坐标为 .
【答案】（-1,0）
【详解】的图象可以看作把的图象向左平移一个单位再向下平移1个单位而得到，且一定过点，则应过点，故答案为.
15．已知幂函数的图象经过点，则 ．
【答案】/
【分析】根据幂函数定义，设幂函数，带入点求出参数a，求出函数解析式，再带入计算即可.
【详解】设幂函数，所以，解得，所以，所以．
故答案为：
16．已知，则 ．
【答案】23
【详解】试题分析：因为，所以．
【解析】幂函数的运算．
17．一元二次不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】利用一元二次不等式的解法求出.
【详解】分解因式可得，
所以不等式的解集为，
故答案为：
18．若函数（，且）在区间上的最大值和最小值的和为，则函数在区间上的最小值是 ．
【答案】-1
【分析】由指数函数的性质有求参数a，再由单调性求最小值.
【详解】由题设，，可得，
所以在上递减，故其最小值为.
故答案为：-1.
19．已知，，且，则的最大值为 ，的最小值为 .
【答案】 /0.5 4
【分析】根据基本的不等式直接应用即可得的最大值，利用“1”的代换可求的最小值.
【详解】解：，，且，所以，所以
当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为；
又，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为4.
故答案为：；4.
20．已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据二次函数的开口方向，得到，求出答案.
【详解】开口向下，
要想在上恒成立，只需，
解得，
故实数的取值范围是
故答案为：
三、解答题
21．求下列式子的值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由指数幂的运算，即可得到结果；
（2）由对数的运算，即可得到结果；
【详解】（1）原式.
（2）原式.
22．已知，且为第三象限角.
(1)求和的值；
(2)已知，求的值.
【答案】(1)，；
(2).
【分析】（1）利用平方关系可得，再由同角三角函数之间的基本关系可得；
（2）利用诱导公式将化简代入（1）中的值即可求得结果.
【详解】（1）由可得，，所以
又为第三象限角，所以；
;
所以，；
（2）利用诱导公式可得，
将代入可得，
即.
23．已知函数．
(1)求的值；
(2)若，求a的取值范围；
(3)画出函数的图象，若方程有三个解，求b的取值范围（直接写出答案）
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）由解析式先求，再求的值；（2）分、两种情况解不等式，综合可得出实数的取值范围；（3）作出函数的图象，数形结合可得出实数的取值范围.
【详解】（1）由题意可得，则.
（2）当时，由，得，解得，此时；
当时，由，可得，此时.
综上所述，实数的取值范围是.
（3）作出函数的图象如下图所示：
由图象可知，当时，函数的图象与直线有三个交点，
因此，实数的取值范围是.
24．已知函数.
(1)写出函数的定义域并判断其奇偶性；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)的定义域为；为偶函数
(2)
【分析】（1）先列不等式组求得函数的定义域再利用定义判断其奇偶性即可；（2）先将转化为对数不等式，再列不等式组即可求得实数的取值范围.
【详解】（1）由，可得，则函数的定义域为
由
可得函数为偶函数
（2）由，
可得
由 ，可得
解之得，则实数的取值范围为