2023-2024学年四川省成都市蓉城名校联盟高一上学期期末联考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年四川省成都市蓉城名校联盟高一上学期期末联考数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】运用集合的并集及区间的表示即可求得结果.
【详解】如图所示，
所以.
故选：.
2．命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据全称命题的否定从而可求解.
【详解】由题意可得“”的否定为“”，故C项正确.
故选:C.
3．（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用化简求值.
【详解】由题意可得，，
故选：D
4．函数的零点所在大致区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用零点的存在性定理判断零点所在区间.
【详解】因为为单调递增函数，
满足，
由零点的存在性定理可知，，使得.
故选：C.
5．函数的部分图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】判断函数的奇偶性，再取特殊值.
【详解】因为，，
所以函数为奇函数，图象关于原点对称，排除C项、D项，
，B项正确.
故选：B.
6．若函数是定义在上的增函数，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由分段函数在上为增函数的性质列式可求得结果.
【详解】因为是在上的增函数，所以，
故选：A.
7．若，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用幂函数和对数函数的单调性比较.
【详解】解：，
又，
故选：A.
8．已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】将问题转化为在上恒成立，且在上单调递增，进而可求得结果.
【详解】因为在区间上单调递增，
所以在上恒成立，且在上单调递增，
所以，
故选：D.
二、多选题
9．下列论述中，正确的有（ ）
A．集合的非空子集的个数有7个
B．第一象限角一定是锐角
C．若为定义在区间上的连续函数，且有零点，则
D．是的充分不必要条件
【答案】AD
【分析】将集合的非空子集一一列举，即可判断A，举出反例，比如即可判断B，举出反例即可判断C，由充分不必要条件的定义即可判断D
【详解】集合的非空子集有共7个，故正确；
因为是第一象限角，但不是锐角，故B错误；
函数在区间上有零点，但不满足，故C错误；
是的充分不必要条件，故D正确.
故选:
10．下列函数中，既是奇函数，又在定义域内是增函数的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【分析】由对勾函数的性质可判断A项，由偶函数定义可判断B项，由奇函数定义及单调性的性质可判断C项、D项.
【详解】对于A项，由对勾函数的性质可知，在定义域内不是增函数，故A项不成立；
对于B项，因为，所以为偶函数，故B项不成立；
对于C项，因为，所以为奇函数，
又因为在上是增函数，在上是减函数，
所以由单调性的性质可知，在上是增函数，故C项成立；
对于D项，因为，所以为奇函数，
又因为在上是增函数，在上是增函数，
所以由单调性的性质可知，在上是增函数，故D项成立.
故选：CD.
11．已知，则下列结论正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】利用三角函数基本关系和完全平方公式、三角函数值的正负求解.
【详解】将平方得，
因为，所以，
因为，所以，，，
所以，
因为，所以，
根据解得，
所以.
故选：ACD.
12．已知函数的定义域为，且满足以下三个条件：①；②；③，则下列说法正确的有（ ）
A．的图象关于直线轴对称
B．的图象关于点中心对称
C．
D．
【答案】ABC
【分析】由题意可得函数的奇偶性与对称性，借助赋值法推导出其周期性与其它性质，运用所得性质及计算其它值即可得.
【详解】，为奇函数，
又，的对称轴为；
A选项：，，
，
的图象关于直线轴对称，故A正确；
C选项：，，
，，故C正确；
B选项：，，
的图象关于点中心对称，故B正确；
D选项：，，，，
，
故D错误.
故选：ABC.
三、填空题
13．若扇形的弧长为8，圆心角为，则扇形的面积为 .
【答案】8
【分析】由弧长公式求出扇形的半径，再由扇形的面积公式求解即可.
【详解】解：
.
故答案为：8
14．已知，且，则的最小值为 .
【答案】
【分析】利用“1”的代换，结合基本不等式求解.
【详解】解：因为，且，
所以，
当且仅当时取等号，
所以的最小值为，
故答案为：
15．已知为定义在上的偶函数，在区间上单调递减，且满足，则不等式的解集为 .
【答案】
【分析】根据给定条件，利用偶函数的性质及函数单调性求解即得.
【详解】因为为定义在上的偶函数，则不等式，
不等式化为或，而，于是为或，
又函数在区间上单调递减，则在上单调递增，
解，得，解，得，
所以原不等式的解集为.
故答案为：
16．若函数恰有四个零点，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】分析可知，函数在、上各有两个零点，利用数形结合思想以及方程思想可得出关于实数的不等式（组），综合可解得实数的取值范围.
【详解】因为函数在上最多有个零点，
函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，函数在上至多有两个零点，
因为函数恰有四个零点，
所以，函数在上有两个零点，则，解得；
函数在上有两个零点，由可得，
作出函数、在上的图象如下图所示：
由图可知，当时，直线与函数在上的图象有两个交点，
综上所述，.
故答案为：.
四、解答题
17．化简求值（需要写出计算过程）.
(1)；
(2).
【答案】(1)2
(2)7
【分析】（1）根据指数、根式运算的性质计算可得答案；
（2）根据指数、对数运算的性质计算可得答案
【详解】（1）
；
（2）
.
18．已知.
(1)求；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）上下同除，将正余弦化成正切即可计算；
（2）借助，将原式化为齐次分式后上下同除，将正余弦化成正切后借助的值即可计算.
【详解】（1），，
解得；
（2）
.
19．已知函数.
(1)若，求函数在区间上的最大值与最小值；
(2)求不等式的解集.
【答案】(1)，
(2)答案见解析
【分析】（1）根据二次函数的单调性来求最值；
（2）分，，讨论，分别求解即可.
【详解】（1）对称轴为，
在区间上单调递增，在区间上单调递减，
，
，
；
（2）易知函数的判别式，
①当时，等价于，
则的解集为；
②当时，，方程的两根分别为
，且，
则的解集为；
③当时，，则的解集为.
综上所述：当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为.
20．若函数为定义在上的奇函数.
(1)求实数的值，并证明函数的单调性；
(2)若存在实数使得不等式能成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)，证明见解析
(2)
【分析】（1）由求得a的值，运用函数单调性的定义证明即可.
（2）由在上的奇函数可得，由在上单调递增可得，成立，进而可得，成立，令，运用换元法将问题转化为，，进而求在上的最小值即可.
【详解】（1）因为函数为定义在上的奇函数，
所以，解得，
经检验符合题意，
所以，
证明：任取，，且，
则
因为，所以，
所以，， ，
所以，即，
所以函数在上单调递增.
（2）因为，在上的奇函数，
所以，
由（1）知函数在上单调递增，
所以，成立，
即，成立，
设，则，
所以，，
所以，，
设，，
则在上单调递增，在上单调递减，
又，，
所以，
所以.
21．某环保组织自2023年元旦开始监测某水域中水葫芦生长的面积变化情况并测得最初水葫芦的生长面积，此后每隔一个月（每月月底）测量一次，通过近一年的观察发现，自2023年元旦起，水葫芦在该水域里生长的面积增加的速度越来越快.最初测得该水域中水葫芦生长的面积为（单位：），二月底测得水葫芦的生长面积为，三月底测得水葫芦的生长面积为，水葫芦生长的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系有两个函数模型可供选择，一个是；另一个是，记2023年元旦最初测量时间的值为0.
(1)请你判断哪个函数模型更适合，说明理由，并求出该函数模型的解析式；
(2)该水域中水葫芦生长的面积在几月起是元旦开始研究时其生长面积的240倍以上？（参考数据：）.
【答案】(1)第一个函数模型满足要求，理由见解析，
(2)该水域中水葫芦生长的面积在7月份是元旦开始研究时其生长面积的240倍以上
【分析】（1）由随着的增大，的函数值增加得越来越快，而的函数值增加得越来越慢求解；
（2）根据题意，由求解.
【详解】（1）解：两个函数模型在上都是增函数，随着的增大，的函数值增加得越来越快，
而的函数值增加得越来越慢，
在该水域中水葫芦生长的速度越来越快，即随着时间增加，该水域中水葫芦生长的面积增加得越来越快，
第一个函数模型满足要求，
由题意知，，解得，所以；
（2）由，解得，
又
故，
该水域中水葫芦生长的面积在7月份是元旦开始研究时其生长面积的240倍以上.
22．已知函数的定义域为.
(1)求实数的取值范围；
(2)若，使得在区间上单调递增，且值域为，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据对数函数定义域得到恒成立，分参转化为求函数最值；
（2）根据题意得到有两个不同的实数根，转化为求函数零点问题.
【详解】（1）的定义域为，
恒成立
即恒成立，
，当时等号成立，
，即的取值范围为.
（2）函数在其定义域上为增函数，
要使在区间上单调递增，
则函数在区间上单调递增，又为增函数，
在区间上为增函数，
又，，
又在区间上的值域为，
，
即
在区间上有两个不等实根，
则，解得，
的取值范围为.