2023-2024学年广东省部分名校高一上学期期中联合质量监测数学试题含答案

这是一份2023-2024学年广东省部分名校高一上学期期中联合质量监测数学试题含答案，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知是幂函数，则（ ）
A．0B．1C．2D．-2
【答案】C
【解析】根据幂函数的概念可得结果.
【详解】因为是幂函数，所以，即.
故选：C
【点睛】关键点点睛：掌握幂函数的概念是解题关键.
2．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据条件得到或，再利用集合的运算即可求出结果.
【详解】由，即，得到或，
所以或，又，所以，
故选：C.
3．已知，则的最小值为（ ）
A．50B．40C．20D．10
【答案】C
【分析】利用基本不等式计算即可.
【详解】由，则，当且仅当，即时，
等号成立，故的最小值为20．
故选：C
4．已知函数，则（ ）
A．B．1C．7D．5
【答案】B
【分析】由分段函数性质分别代入计算即可求得结果.
【详解】由题意可知：，
，
故.
故选：B
5．巴布亚企鹅，属鸟类，是企鹅家族中游泳速度最快的种类，时速可达36千米，也是鸟类中当之无愧的游泳冠军，其模样憨态有趣，有如绅士一般，十分可爱，被称为“绅士企鹅”，若小迪是一只鸟，则“小迪是巴布亚企鹅”是“小迪会游泳”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分条件、必要条件的概念判断即可.
【详解】会游泳的鸟有很多种，巴布亚企鹅是其中的一种，
则“小迪是巴布亚企鹅”可以推出“小迪会游泳”，但“小迪会游泳”并不能推出“小迪是巴布亚企鹅”.
所以“小迪是巴布亚企鹅”是“小迪会游泳”的充分不必要条件.
故选：B
6．在某个时期，某湖泊的蓝藻每天以5%的增长率呈指数增长，则经过2天后，该湖泊的蓝藻变为原来的（ ）
A．1.1倍B．1.25倍C．1.1025倍D．1.0025倍
【答案】C
【分析】根据指数函数求解即可.
【详解】解：设某湖泊的蓝藻量为1，
由题意可知，每天的蓝藻量是以1.05为底的指数函数，
即，
所以经过2天后，湖泊的蓝藻量，
所以该湖泊的蓝澡变为原来的倍.
故选：C.
7．函数的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据函数的奇偶性、定义域以及特殊点的函数值确定正确答案.
【详解】因为，所以为奇函数，排除选项A．
因为的定义域为，所以排除选项D．
因为，所以排除选项C．
故选：B
8．已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由的最小公倍数来的系数统一化，再利用对数函数的单调性即可判断.
【详解】由题意可得，，.
因为函数在上单调递增.
所以，则.
故选：A.
二、多选题
9．下列函数的定义域为的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【分析】由函数解析式直接求函数的定义域一一判定选项即可.
【详解】对于函数，要有意义需，即其定义域为，
对于函数，显然其定义域为，
对于函数要有意义，需，即其定义域为．
即A、B正确，C、D错误.
故选：AB
10．已知函数在区间上是单调函数，则可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】利用复合函数的单调性计算即可.
【详解】因为函数在上单调递增，上单调递减，
函数在R上单调递增，
根据复合函数的单调性可得：的单调递增区间为，单调递减区间为．
显然选项A、C对应集合是的真子集，选项D对应集合是的真子集，
故A、C、D正确，B错误.
故选：ACD
11．人们常用里氏震级表示地震的强度，（单位：焦耳）表示地震释放出的能量，其关系式可以简单地表示为（为常数），已知甲地发生的里氏5.0级地震释放出的能量约为焦耳，则（ ）
A．
B．
C．乙地发生的里氏3.2级地震释放出的能量为焦耳
D．甲地发生的里氏5.0级地震释放出的能量是丙地发生的里氏4.3级地震释放出的能量的倍
【答案】BD
【分析】AB选项，得到方程，解得；C选项，将代入求出释放出的能量为；D选项，代入，求出释放出的能量为，从而得到比值.
【详解】AB选项，由题意可得，即，解得，A错误，B正确.
C选项，由题意得，解得，C错误.
D选项，由题意得，解得，，D正确.
故选：BD
12．已知函数，若，则（ ）
A．B．若，则
C．D．
【答案】ABD
【分析】由题意首先证明函数的单调性，得到，对于A，直接由指数函数单调性即可判断；对于B，由结合作差法即可判断；对于C，由结合对数函数的单调性即可判断；对于D，由结合幂函数的单调性即可判断.
【详解】因为函数在上都单调递减，所以在上是减函数.
由，得，
即，则，A正确.
因为，所以，
则，所以，B正确.
因为在上是增函数，且，
所以，即，C错误.
因为，所以，因为幂函数在上单调递增，
所以，D正确.
故选：ABD.
三、填空题
13．“，”的否定是 ．
【答案】，
【分析】利用特称命题的否定形式解答即可.
【详解】因为存在量词命题的否定是全称量词命题，
即“，”的否定是“，”．
故答案为：，.
14．已知集合，则的子集个数为 ．
【答案】4
【分析】利用描述法及子集的概念计算即可.
【详解】易知，有2个元素，
所以的子集个数为．
故答案为：4
15．函数的图象恒在函数图象的上方，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据题意可得恒成立，即恒成立，然后分类讨论，即可求解.
【详解】由题意可得恒成立，即恒成立，
当时，恒成立，符合题意；
当时，由解得；
故的取值范围为.
故答案为：.
16．已知函数．若关于的方程有四个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】利用换元法结合二次函数的零点计算即可.
【详解】易知，令，
则满足条件，需关于的方程在上有两个不相等的实数根，
则，解得．
故答案为：
四、解答题
17．计算：
(1)．
(2)．
【答案】(1)2
(2)
【分析】利用指数、对数的运算法则计算即可.
【详解】（1）原式；
（2）原式．
18．已知实数满足且，且函数满足.
(1)求的值；
(2)求在上的值域.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）根据对数运算求得，再利用指数运算求解a即可；
（2）根据指数函数的单调性求解值域即可.
【详解】（1）由得，则，解得.
（2）因为在上单调递减，
所以，，
故在上的值域为.
19．如图，对数函数的图象与一次函数的图象有两个公共点．
(1)求的解析式；
(2)若关于的不等式的解集中恰有1个整数解，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据图象的公共点结合对数函数的定义计算即可；
（2）利用对数的运算法则解不等式即可.
【详解】（1）根据图象及条件可知，所以．
设（且），则，解得，
所以．
（2）不等式即．
因为的定义域为，
所以关于的不等式的解集中只有1个整数元素1，
所以，即的取值范围为．
20．已知定义在上的偶函数．当时，．
(1)在平面直角坐标系中作出在上的图象；
(2)若在上单调递增，求的取值范围．
【答案】(1)作图见解析
(2)
【分析】（1）根据偶函数的图象的性质，结合时的解析式，即可作出函数图象；
（2）结合函数的单调区间，以及在上单调递增，列出相应不等式组，即可求得答案.
【详解】（1）因为为偶函数，所以的图象关于轴对称，
且当时，，
作出在上的图象，如图所示：
（2）由图可知的单调递增区间为，．
当时，，解得．
当时，由，解得．
综上，的取值范围为．
21．某厂家生产某类产品进行销售，已知该厂家的该类产品年销量（单位：万件）与年广告宣传费用（单位：万元）之间满足关系式，生产该类产品每年的固定投入费用为8万元，每年政府的专项补贴为万元，每件产品的生产费用为64元.已知该厂家销售的该类产品的产品单价每件产品的生产费用平均每件产品的广告宣传费用，且该厂家以此单价将其生产的该类产品全部售出.
(1)请写出该类产品的年度总利润（单位：万元）与年广告宣传费用（单位：万元）之间的函数关系式.（注：年度总利润年销售总收入+年度政府的专项补贴-总成本，总成本固定投入费用+生产总费用+年广告宣传费用）
(2)试问该厂家应投入多少万元的广告宣传费用，才能使该类产品的年度总利润最大？并求出最大年度总利润.
【答案】(1).
(2)该厂家应投入11万元的广告宣传费用，才能使该类产品的年度总利润最大，最大年度总利润为89万元.
【分析】（1）根据题意先表示出年生产量为万件时的总成本和年销售总收入；再根据年度总利润公式即可得出结果；
（2）先对（1）中的总利润进行变形；再利用基本不等式求解即可.
【详解】（1）由题意知，当年生产量为万件时，总成本为（万元），
当销售量为万件时，年销售总收入为（万元），
由题意得，
即.
（2）由（1）得，
因为，
所以，
则
，
当且仅当，即时，等号成立.
故该厂家应投入11万元的广告宣传费用，才能使该类产品的年度总利润最大，最大年度总利润为89万元.
22．已知函数为奇函数.
(1)求的值；
(2)试判断的单调性，并用定义证明；
(3)设函数，若，函数的两个零点分别为，函数的两个零点分别为，求的最大值.
【答案】(1)
(2)在上单调递增，证明见解析
(3).
【分析】（1）利用奇函数性质建立方程求解即可.
（2）利用单调性的定义证明即可.
（3）由函数的零点得，，利用指数运算得，从而利用二次函数性质求得最大值，即可求解最大值.
【详解】（1）由，可得，
即，化简得，故.
（2）在上单调递增.由（1）得.任取，且，
则，
因为，所以，
所以，即，故在上单调递增.
（3）由题意得.
函数的两个零点分别为即，得，
从而，函数的两个零点分别为，
得，则，从而，
则，
又因为，所以，
则，即的最大值为.