2023-2024学年广东省佛山市南海区石门中学高一上学期期中考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年广东省佛山市南海区石门中学高一上学期期中考试数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设集合，，U为整数集，＝（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据并集和补集的定义进行求解.
【详解】，
故.
故选：A
2．以下4个命题：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
其中真命题的个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】D
【分析】（1）结合二次函数分析即可；
（2）取时验证即可；
（3）取时验证即可；
（4）解出方程的根验证即可.
【详解】（1）令，
由对称轴为，
则，
又，
且该二次函数开口朝上，
故对，
故正确；
（2）因为，
所以当时，，
故不正确；
（3）因为，
所以当时，，
故不正确；
（4）因为，
由均为无理数，故不存在，使得，
故不正确；
故选：D.
3．“且”是“”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用对数函数单调性，结合充分条件、必要条件的定义判断即得.
【详解】当且时，则成立，
当时，且，或且，
所以“且”是“”的充分不必要条件.
故选：A
4．当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约经过N年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．按照上述变化规律，生物体内碳14原有初始质量为Q，该生物体内碳14所剩质量y与死亡年数x的函数关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，结合半衰期的定义，建立指数函数模型，从而得到函数关系式.
【详解】设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为p，将刚死亡生物体内碳14含量看成1个单位，
根据经过N年衰减为原来的一半，则，即，
生物体内碳14原有初始质量为Q，
所以生物体内碳14所剩质量y与死亡年数x的函数关系为，即．
故选：D．
5．下列计算不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．时，
【答案】B
【分析】根据对数运算法则、换底公式和幂的运算法则判断．
【详解】，A正确；
，B错；
，C正确；
时，，D正确．
故选：B．
6．函数与函数的图象关于x轴对称，且函数是奇函数，则函数图象的对称中心是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据奇函数和中心对称的性质求解即可.
【详解】因为是奇函数，
，即，
所以是关于对称.
由于函数与函数的图象关于x轴对称
所以的中心对称点为.
故选：B
7．已知函数，当且时，则的最小值为（ ）
A．3B．C．2D．
【答案】C
【分析】结合函数性质，假设后可代入函数中，结合基本不等式即可求得最小值.
【详解】由得：
在上单调递增，在也单调递增，
由，不妨设，
则有，
故有，，
令，
即，即，，
则，
令，
则，
当且仅当时等号成立，故的最小值为.
故选：C.
8．已知，若对于任意，都有，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】对给定不等式作等价变形，构造函数并确定其单调性，再借助函数单调性并结合复合函数单调性求解即得.
【详解】不等式，
令，则，
依题意，，，因此函数在上单调递增，
令，而在上单调递增，则函数在上单调递增，且恒有
令，显然函数在上单调递增，因此在上单调递增，且，，
当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，
且恒成立，因此；
当时，由在上单调递增，得，解得，
由，，得，解得，因此，
所以实数a的取值范围是.
故选：B
二、多选题
9．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】应用作差法判断B、D，根据重要不等式判断A，由不等式性质判断C.
【详解】A：由重要不等式知：，而，故，正确；
B：由，则，故，错误；
C：由，则，错误；
D：，故，正确.
故选：AD
10．下列函数中，值域为的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】由已知结合基本初等函数的值域即可求解．
【详解】对于A，函数的值域为，故A符合；
对于B，因为分母上的，所以，
即函数的值域为，故B符合；
对于C，因为，所以，所以，
即函数的值域为，故C符合；
对于D，因为，所以，
即函数的值域为，故D不符合.
故选：ABC.
11．19世纪，德国著名数学家狄利克雷定义了一个“奇怪的函数”，后世称为“狄利克雷函数”，这个函数（记为）可表达为：任一个有理数x对应数值1，任一个无理数x对应数值0.关于狄利克雷函数，下面表述正确的有（ ）
A．有最大值且有最小值
B．是偶函数
C．恒成立
D．存在3个点可构成等边三角形
【答案】ABD
【分析】根据题意，由狄利克雷函数的定义，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】对于A，用分段函数的形式表示狄利克雷函数，
所以有最大值1，有最小值0，故A正确；
对于B，当为有理数时，也为有理数，故有，
当为无理数时，也为无理数，故有，所以，
则是偶函数，故B正确；
过于C，当时，可得，则为无理数，可得，又，
所以，故C错误；
对于D，当三个数都不是有理数时，它们都是无理数，则有，
此时三点共线，不构成三角形；
当三个数都是有理数时，此时，因此三点共线，构不成三角形；
当三个数有二个数是有理数时，不妨设是有理数，则为无理数，
所以有，当是等边三角形时，有，
则，即，显然，
于是有，两个有理数的和不可能是无理数，所以构不成等边三角形；
当三个数有一个数是有理数时，不妨设是有理数，则为无理数，
所以有，当是等边三角形时，有，
则，即，显然，
于是有，取，设，如下图所示：
由得，即，
所以存在三点，使得为等边三角形，故D正确.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：根据已知函数的解析式，结合无理数和有理数的性质是解题的关键.
12．设，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【分析】由题意首先由基本不等式确定，由此即可判断A，再根据对数函数、指数函数单调性、运算性质即可判断BCD三个选项.
【详解】对于A，因为，
所以，且等号不成立，即，故A正确；
而，所以，故C正确、D错误；
令，再令，
所以，
从而，
即，所以，所以，故B正确.
故选：ABC.
【点睛】关键点睛：本题的关键是首先判断出，其他选项就根据对数函数、指数函数单调性去估算即可.
三、填空题
13．填入恰当的数，令命题为真：当 时，函数在上递增．
【答案】1（答案不唯一）
【分析】分析发现函数在上递增，只需即可得解.
【详解】由题意，
所以函数在上递增，在上递减，
若函数在上递增，则只需即可，
所以答案可以是任何一个不超过1的数.
故答案为：1（答案不唯一）.
14．函数的反函数为，若，则 .
【答案】/
【分析】根据反函数的性质结合已知求出的值，即可得出答案.
【详解】根据反函数的性质以及，
可得，即，
所以，.
所以，.
故答案为：.
四、双空题
15．幂函数的图象经过点，偶函数满足：时，，；则 ；不等式的解集是 .
【答案】 /
【分析】由幂函数定义求得解析式，利用偶函数的定义求函数值，由偶函数性质变形不等式，然后求解．
【详解】设，则，，，
当时，，是偶函数，
所以，
易知，当时，单调递增，且，
所以可化为，
则，即，则或，
所以或．
故答案为：；．
五、填空题
16．已知函数，若对任意实数x满足不等式，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据的表达式可判断在定义域上单调递增，且，故可将不等式转化为，结合单调性得，即可进行求解.
【详解】由得，
又当时，函数均为单调递增函数，因此在单调递增，且
当时，由于，时，故当时，，且，而函数在均为单调递减函数，因此在均为单调递增函数，又在定义域连续，
故在定义域上单调递增，且，
由得，由单调性得，故对任意实数x满足，因此
故答案为：
六、解答题
17．已知集合，．
(1)若，求实数m的值；
(2)若，求实数m的取值集合．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）解不等式得到，，根据交集结果得到，检验后得到答案；
（2）先得到，根据包含关系得到不等式，求出实数m的取值集合.
【详解】（1），解得，故，
，
因为，所以，解得，
此时，满足要求，故；
（2）由（1）知，，，
故，
因为，所以或，
解得或
故实数m的取值集合为.
18．为促进旅游事业的发展，我市某著名景点推出“一费全包，团体打折”的团体票方案：
(1)只要一次购票即可游玩景点内所有项目且能当天无限次乘坐园内观光车；
(2)当团体不超过40人时，人均收费100元；超过40人且不超过m人时，每增加1人，人均收费降低1元；超过m人时，人均收费都按照m人时的标准.设景点接待有x名游客的某团队时，收取总费用为y元.
（i）当时，求y关于x的函数表达式；
（ii）若m设置不合理，有可能出现团体人数增加而收取的总费用反而减少这一现象.要令收取的总费用总随着团队中人数的增加而增加，求m的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（i）对x分类讨论求解即可；
（ii）结合一次函数和二次函数的单调性，根据分段函数的单调性即可求解.
【详解】（1）当时，；
当时，，
当时，，
所以.
（2）当时，，y随着x的增大而增大；
当时，，则，y随着x的增大而增大；
当时，，
所以当时，y随着x的增大而增大，当时，y随着x的增大而减小；
综上所述，当时，景点收取的总费用随着团队中人数增加而增加.
19．已知定义在上的奇函数，当时的解析式为.
(1)求在上的解析式；
(2)求在上的最大值．
【答案】(1)；
(2)0.
【分析】（1）由题可得，然后根据函数的奇偶性即得；
（2）利用换元法，然后根据二次函数的性质即得.
【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，
所以，即，
所以，时，，
设，则，
，
又，
，
所以，在上的解析式为；
（2）当，，
令，由，可得，
所以，在上单调递减，
当，即时，，
所以，函数在上的最大值为0.
七、证明题
20．已知函数．
(1)判断的单调性并证明你的结论；
(2)若，求s，t的值．
【答案】(1)在、都递减，证明见解析；
(2)，.
【分析】（1）利用单调性定义证明的单调性；
（2）由题意时，根据参数范围讨论区间与的位置关系，利用单调性列方程求参数值.
【详解】（1）在、均递减，而在定义域上不单调，证明如下：
由且定义域为，关于点中心对称，
令，则，
又，，，则，
所以上递减，
令，则，
又，，，则，
所以上递减，
且当，；当，；
综上，在、都递减，在定义域上不单调.
（2）由，即时，
若，则，不合题设；若，无解，不合题设；若，则，满足题设，
综上，结合函数单调性，有.
八、解答题
21．设函数且．
(1)解关于的不等式；
(2)若恒成立，则是否存在实数，令时，恒有？若存在，求实数的范围；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）根据分析函数单调性，结合定义域写出不等式组，由此求解出解集；
（2）根据已知条件分析函数单调性，然后结合单调性将问题转化为，借助对勾函数性质求解出结果.
【详解】（1）的定义域为，
当时，在上单调递增，因为，
所以，解得；
当时，在上单调递减，因为，
所以，解得；
所以不等式解集为；
（2）设存在实数满足条件，
因为，
当且仅当即时取等号，
又恒成立，所以在上单调递增，
又因为时，恒有，
所以时，恒有，即恒成立，
所以，
令，
由对勾函数单调性可知在上单调递减，在上单调递增，
又时，，时，，所以，
所以，
综上所述，存在实数满足条件.
22．已知函数且是奇函数．
(1)当为自然对数底数)时，解不等式：；
(2)关于x的不等式解集中有且仅有3个整数，讨论实数n的取值范围．
【答案】(1)；
(2)或.
【分析】（1）由奇函数性质求参数，注意验证是否满足题设，再由在定义域上为增函数，结合指数函数单调性解不等式求解集；
（2）讨论、，结合对应的单调性，得到与0的大小关系，最后结合二次函数的性质求参数的范围.
【详解】（1）由题设，易知函数定义域为R，且为奇函数，故，
所以，则，满足题设，
若，则，显然在定义域上为增函数，
由，
则且，可得，
所以，不等式解集为.
（2）由，且有且仅有3个整数，
当时，在定义域上递减，此时，
令，，，对称轴为，
若显然不合题设，则，故开口向下，且对称轴为
又，即到对称轴距离比到对称轴距离近，
只需，故；
当时，在定义域上递增，此时，
令，，，对称轴为，
若显然不合题设，所以，故开口向上，对称轴为，
此时，可得或，
当时，对称轴为，则不可能有3个整数解；
当时，对称轴为，
若时，对称轴为，且，则不可能有3个整数解；
若时，对称轴为，故，
要使有3个整数解，只需，可得；
综上，或.
【点睛】关键点点睛：第二问，注意讨论、得到与0的大小关系，根据二次函数性质研究参数范围为关键.