2023-2024学年广东省江门市新会陈经纶中学高一上学期期中考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年广东省江门市新会陈经纶中学高一上学期期中考试数学试题含答案，共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，问答题，证明题，应用题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若集合，则下列选项不正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用元素与集合、集合与集合的基本关系一一判定即可.
【详解】易知，，，，故不正确的是B.
故选：B
2．命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断可得；
【详解】解：命题，为全称量词命题，其否定为，；
故选：C
3．设，则“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件.
【答案】A
【分析】利用充分条件、必要条件的定义一一判定即可.
【详解】易知，而或，
所以设，则“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
4．函数的定义域为（ ）
A．B．(1+∞)C．D．
【答案】D
【解析】根据偶次方根下非负，且分母不为零，列式即可得解.
【详解】由，
可得：，解得：且，
故选：D.
5．不等式的解集为（ ）
A．{或}B．
C．或D．
【答案】A
【分析】原不等式可化为，直接求解即可．
【详解】原不等式可化为，即，解得{或}，
故原不等式的解集为{或}．
故选：A．
6．已知，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．4D．8
【答案】D
【分析】由基本不等式直接可得.
【详解】由基本不等式可得，整理得
当且仅当，即时，等号成立.
所以的最小值为8.
故选：D
7．已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据奇函数的性质即可求解.
【详解】时，，，∴，
故选：C.
8．已知定义在上的偶函数，且当时，单调递减，则关于x的不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由偶函数的性质求得，利用偶函数的性质化不等式中自变量到上，然后由单调性转化求解．
【详解】解：由题意，，的定义域，时，递减，
又是偶函数，因此不等式转化为，
，，解得．
故选：D．
二、多选题
9．下列函数中既是奇函数，又在上为减函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】利用幂函数的性质一一判定即可.
【详解】易知是奇函数，在上为增函数，即A错误；
易知是奇函数，在上为减函数，即B正确；
易知是非奇非偶函数，在上为增函数，即C错误；
易知是奇函数，在上为减函数，即D正确；
故选：BD
10．对于实数，下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】BCD
【分析】根据不等关系对选项一一分析即可.
【详解】对于A，当时，，故A错误；
对于B，若，则，故B正确；
对于C，若，则，故C正确；
对于D，若，则 ，从而有，故正确.
故选：BCD
11．已知不等式的解集为{或}，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．的解集为
【答案】AD
【分析】利用三个二次关系一一计算判定选项即可.
【详解】由已知可得开口向下，即，故A正确；
是方程的两个根，即，
显然，故B错误；
，故C错误；
，故D正确.
故选：AD
12．已知函数，以下结论正确的是（ ）
A．为奇函数
B．对任意的，且，都有
C．对任意的，都有
D．的值域是
【答案】ABD
【分析】根据函数的奇偶性、单调性一一判定即可.
【详解】易知，即为奇函数，故A正确；
令，则，
此时函数单调递增，由函数为奇函数可知在R上单调递增，
所以，故B正确；
显然，两式不等，故C错误；
当时，，当时，，
又由奇函数的性质可知时，，综上的值域是，故D正确.
故选：ABD
三、填空题
13．已知幂函数的图像过点，则 ．
【答案】4
【详解】试题分析：由于幂函数的图象过，则，，所以，
【解析】1.幂函数定义；2.待定系数法；
14．已知，，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】利用不等式的性质计算即可.
【详解】易知.
故答案为：
15．已知或，，若是的充分不必要条件，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】依题意可得推得出，推不出，即可求出参数的取值范围；
【详解】解：因为是的充分不必要条件，所以推得出，推不出，
又或，，
所以，即；
故答案为：
16．关于的不等式对于任意恒成立，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】分类讨论结合判别式计算即可.
【详解】显然当时不等式恒成立；
当时，要满足题意则需；
综上
故答案为：
四、问答题
17．已知全集，集合，.
(1)求；
(2)求.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）利用并集的概念计算即可；
（2）利用交集和补集的概念计算即可.
【详解】（1）易知；
（2）易知.
18．已知函数.
(1)求的值；
(2)当时，求的值域.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据函数解析式直接计算即可；
（2）利用一次函数、二次函数的性质计算即可.
【详解】（1）易知；
（2）由可知当时，函数单调递减，，
当时，函数单调递减，，
综上.
19．（1）已知，求的最小值；
（2）已知x，y是正实数，且，求的最小值．
【答案】（1）7；（2）.
【分析】（1）由题设知，利用基本不等式求最小值，注意等号成立的条件；
（2）利用基本不等式“1”的代换即可求最小值，注意等号成立条件.
【详解】（1）∵，即，
，
当且仅当，即时取等号，
∴的最小值为7．
，，．
当且仅当，即，时取等号．
∴的最小值为.
五、证明题
20．已知函数.
(1)判断函数的奇偶性；
(2)指出该函数在区间上的单调性，并用函数单调性定义证明；
【答案】(1)奇函数
(2)在上单调递减，证明见解析
【分析】（1）首先确定定义域，由奇偶性定义可判断得到结果；
（2）设，由可得结论.
【详解】（1）由题意知：的定义域为，
，
为定义在上的奇函数.
（2）在上单调递减，证明如下：
设，
，
，，，，
，在上单调递减.
六、应用题
21．某医院需要建造隔离病房和药物仓库，已知建造隔离病房的所有费用（万元）和病房与药物仓库的离（千米）的关系为：．若距离为千米时，隔离病房建造费用为万元，为了方便，隔离病房与药物仓库之间还需修建一条道路，已知购置修路设备需万元，铺设路面每千米成本为万元，设为建造病房与修路费用之和．
(1)求的表达式：
(2)当隔离病房与药物仓库距离多远时，可使得总费用最小?并求出最小值．
【答案】(1)
(2)当隔离病房与药物仓库距离为千米时，可使得总费用最小为万元.
【分析】（1）由已知得当时，，代入可得，则；
（2）利用基本不等式求最值即可.
【详解】（1）由已知得当时，，代入可得，解得，
所以，
所以总费用；
（2）由（1）得，
所以（万元），
当且仅当，即时，等号成立，
所以当隔离病房与药物仓库距离为千米时，可使得总费用最小为万元.
七、问答题
22．已知函数过点，且满足.
(1)求的解析式；
(2)求在上的最大值的解析式；
(3)设，若对任意，均成立，求实数m的取值范围.
【答案】(1)；
(2)；
(3)
【分析】（1）利用待定系数法计算即可；
（2）利用二次函数的性质分类讨论计算即可；
（3）先得出，分离参数化简不等式为，利用二次函数的性质在定区间内求函数最小值，再解不等式即可.
【详解】（1）由题意可知，
则，
所以；
（2）由上可知，其开口向下，对称轴为，
若，则在上的最大值为，
若，则在上的最大值为，
综上；
（3）由（1）可知，
故
对任意恒成立，
整理得，
当时，可知，
在即时取得最大值，在即时取得最小值，
故，
即.
【点睛】本题第二问需要注意分类讨论结合二次函数的性质求最值；第三问需要分离参数将恒成立问题转化为求函数最值，再解不等式即可.