2023-2024学年广东省深圳实验学校光明部高一上学期期中考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年广东省深圳实验学校光明部高一上学期期中考试数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，单空题，问答题，解答题，作图题，应用题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】计算出集合后借助并集的运算即可得.
【详解】由，解得，故，
则.
故选：B.
2．下列条件中，是的充分不必要条件的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据充分不必要条件的定义与集合间的关系判断即可.
【详解】因为不是的真子集，所以选项A不符合题意；
因为不是的真子集，所以选项B不符合题意；
因为⫋，所以选项C符合题意；
因为不是的真子集，所以选项D不符合题意.
故选：C.
3．下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的函数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】对于A，分析函数的奇偶性即可；对于B，分析函数的单调性即可；对于C，分析奇偶性即可；对于D，分析奇偶性与单调性即可.
【详解】对于A，设，则,
所以不是偶函数，不符合题意；
对于B，易知在上单调递增，不符合题意；
对于C，设，定义域为，
则，所以是奇函数，不符合题意；
对于D，设，定义域为，
则，为偶函数.
又时，，在上单调递减，符合题意.
故选:D.
4．函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据函数定义域的求法求得正确答案.
【详解】由题意得，解得且，
所以定义域为，故A项正确；
故选：A.
5．我国著名的数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，则函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】确定函数的定义域，奇偶性，单调性排除法确定正确结论．
【详解】的定义域是，关于原点对称，
，是偶函数，排除BC；
又时，，是增函数，排除A．
故选：D．
【点睛】本题考查由解析式先把函数图象，解题方法是排除法．
确定函数的定义域、值域，函数的奇偶性、单调性等性质，确定特殊的函数值，函数值的正负，函数值变化趋势．排除3个选项，得出一个正确的选项．
6．近来猪肉价格起伏较大，假设第一周､第二周的猪肉价格分别为a元/斤､b元/斤，甲和乙购买猪肉的方式不同，甲每周购买20元钱的猪肉，乙每周购买6斤猪肉，甲､乙两次平均单价为分别记为，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．的大小无法确定
【答案】C
【分析】分别计算甲､乙购买猪肉的平均单价，作商法，结合基本不等式比较它们的大小.
【详解】甲购买猪肉的平均单价为：，
乙购买猪肉的平均单价为：，
显然，
且，
当且仅当时取“=”，
因为两次购买的单价不同，即，
所以，
即乙的购买方式平均单价较大.
故选：C.
7．已知命题：任意，命题：存在，若“且”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先分别求两个命题为真命题时的取值范围，取其补集即可得答案.
【详解】命题为真时恒成立，，即，，
命题为真时，即 ，解得：或.
命题“且”是真命题时，取交集部分，可得或，
所以命题“且”是假命题时，可得且，
故选： D.
8．已知函数，若对任意，不等式恒成立，，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】确定函数是增函数，由解析式得，这样利用单调性不等式化为，从而转化为在上恒成立，由二次函数知识分类讨论可得．
【详解】，因此在定义域上是增函数，
，
不等式即为，所以，
所以在上恒成立，
若，即，显然成立，
若，即时，由于，因此，，从而也满足题意，
综上，，
故选：B．
【点睛】方法点睛：本题考查不等式恒成立问题，对函数不等式解题方法一般是利用函数的单调性进行转化，因此本题关键点有两个：一是确定函数的单调性，二是对函数式进行变形：，这由函数解析式分析才能得出．
二、多选题
9．下列各组函数表示不同函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】从定义域和对应关系两个方面考虑，两者均相同为同一函数，否则表示不同函数.
【详解】A选项，的定义域为R，
，解得，所以的定义域为，两函数的定义域不同，表示不同函数，A正确；
B选项，的定义域为R，的定义域为，
两函数的定义域不同，表示不同函数，B正确；
C选项，，两函数为同一函数，C错误；
D选项，的定义域为R，的定义域为，
两函数定义域不同，表示不同函数，D正确.
故选：ABD
10．对于实数a，b，c，下列命题是真命题的为（ ）
A．若a>b，则acb
C．若aab>b2D．若a>0>b，则|a|<|b|
【答案】BC
【分析】结合不等式的性质、差比较法以及特殊值确定正确选项.
【详解】A选项，，若，则，所以A选项错误.
B选项，，B选项正确.
C选项，，
；，
所以，C选项正确.
D选项，，所以D选项错误.
故选：BC
11．已知集合，，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则或D．若时，则或
【答案】ABC
【分析】求出集合，根据集合包含关系，集合相等的定义和集合的概念求解判断．
【详解】，若，则，且，故A正确.
时，，故D不正确.
若，则且，解得，故B正确.
当时，，解得或，故C正确.
故选：ABC．
12．下列说法不正确的是（ ）
A．函数的最小值为2.
B．函数在定义域上是减函数.
C．定义在上的奇函数满足，则函数的周期为4
D．若定义在上的函数为增函数，且，则实数的取值范围为.
【答案】ABD
【分析】由已知化，令，则，根据对勾函数的性质即可得出最小值，判断A；由函数单调性的定义赋值或通过反比例函数图象判断B；通过函数奇偶性的定义对已知化简，再结合函数周期性的公式判断C；利用函数单调性结合函数定义域列出不等式，解出解集判断D.
【详解】对于A，，
令，则，
由对勾函数的性质可知，在上单调递增，
故，则的最小值不是2，故A说法不正确；
对于B，当时，，当时，，即，
则根据函数单调性的定义，函数在定义域上不是减函数，故B说法不正确；
对于C，是定义在上的奇函数，则
化为，即，
则，
则，
则，故函数的周期为4，故C说法正确；
对于D，函数是定义在上的增函数，
则由得，解得，
则实数的取值范围为，故D说法不正确；
故选：ABD.
三、填空题
13．“，”的否定为 .
【答案】，
【分析】根据全称量词命题的否定形式直接写出结果即可.
【详解】因为该命题是全称量词命题,所以命题的否定为特称量词命题，
则该命题的否定为：
，.
故答案为：，.
四、单空题
14．已知，则的最大值为 .
【答案】
【分析】直接应用基本不等式即可得.
【详解】由，
则，
当且仅当，即时等号成立.
故答案为：
15．已知函数是上的增函数，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】利用分段函数的性质和单调性列不等式组解出即可.
【详解】根据题意可得，解得，
故答案为：
五、填空题
16．定义在上的函数满足对任意的实数都有，当时，，当时，，则 .
【答案】338
【分析】由，得到函数的周期为6，再结合当时，，当时，，求得求解.
【详解】解：因为定义在上的函数满足对任意的实数都有，
所以函数的周期为6，
又因为当时，，当时，，
所以 ，
，
所以，
所以，
故答案为：338
六、问答题
17．已知全集为全体实数，集合，集合.
(1)求和；
(2)求和.
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）根据题意，由交集与并集的定义代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，先由补集的定义可得，，然后代入计算即可.
【详解】（1）因为，且，
则，.
（2）因为，，
则，.
七、解答题
18．已知函数定义域为.
(1)证明在上为奇函数；
(2)用定义证明在上为增函数；
(3)解不等式.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）由函数奇偶性的定义先得出函数定义域关于原点对称，再由函数解析式得出，即可证明；
（2）由函数单调性的定义先根据函数解析式得出，再根据不等式的性质得出当时，，即可证明；
（3）根据（1）得出的奇偶性得出所求不等式等价于，即可根据（2）得出的单调性结合函数定义域列出方程组求解即可.
【详解】（1）函数定义域为，
因为，都有，
且，
故在上为奇函数.
（2）任取，
则，
因为，所以，，
则当时，，则，
所以在上为增函数；
（3）函数是定义在上的奇函数，
由，得，
又因为在上为增函数，
所以，解得.
所以的取值范围为.
八、问答题
19．已知集合，.
(1)若集合，求此时实数的值；
(2)已知命题：，命题：，若是的充分条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用一元二次不等式解集与方程之间的关系和韦达定理，即可求出的值；
（2）把利用充分条件关系求参数的范围，转化为集合的包含关系，通过分类讨论思想，列出关于实数的不等式组，解出即可.
【详解】（1）因为，
所以方程的两根分别为和，
由韦达定理得，解得；
（2）因为，
由于是的充分条件，则，
当时，，
此时不成立；
当时，，
因为，则有，解得；
当时，，
因为，则有，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
九、作图题
20．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，.
(1)求函数的解析式并画出其图象；
(2)求函数的单调区间；
(3)设函数在上的最大值为，求.
【答案】(1)，图象见解析
(2)递增区间为；递减区间为
(3)
【分析】（1）由奇函数性质求区间上的解析式；
（2）由图象写出函数的单调区间；
（3）结合图象可知，最大值为或，又，则分类讨论与的大小，确定最大值.
【详解】（1）由是定义在上的奇函数，可得，
设，则，
因为当时，，
所以
函数的解析式为，图象如下.
（2）函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
（3）由图象可知：
当时，在上单调递增，；
时，令，解得；
当时，；
当时，.
所以.
十、应用题
21．为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形且），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10cm（宣传栏中相邻两个三角形板块间在水平方向上的留空宽度也都是10cm），设.
(1)当时，求海报纸（矩形）的周长；
(2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形的面积最小）？
【答案】(1)900cm
(2)选择长、宽分别为350cm，140cm的海报纸，可使用纸量最少
【分析】（1）根据宣传栏的面积以及可计算出直角三角形的高，再根据留空宽度即可求得矩形的周长；
（2）根据阴影部分面积为定值，表示出矩形面积的表达式利用基本不等式即可求得面积的最小值，验证等号成立的条件即可得出对应的长和宽.
【详解】（1）设阴影部分直角三角形的高为cm，
所以阴影部分的面积，所以，
又，故，
由图可知cm，cm.
海报纸的周长为cm.
故海报纸的周长为900 cm.
（2）由（1）知，，，
，
当且仅当，即cm，cm时等号成立，
此时，cm，cm.
故选择矩形的长、宽分别为350 cm，140 cm的海报纸，可使用纸量最少.
十一、问答题
22．已知函数，，
(1)若，成立，求的取值范围；
(2)若对，总，使得，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据题意得到，，再根据二次函数的性质可得，进而求解即可；
（2）先根据题意可得原条件等价于在上的最小值大于在上的最小值，再结合二次函数的性质分，，三种情况讨论即可求解．
【详解】（1）因为，成立，
即，成立，
所以，，
设，
则，
解得或，
故的取值范围为.
（2）对，总，使得，等价于，
等价于在上的最小值大于在上的最小值，
由于在上单调递增，因此；
因为开口向上，且其对称轴为，
①若，即，函数在上单调递减，在上单调递增，
则，
所以，即，解得，不符合；
②若，即，函数在上单调递增，
则，
所以，即，解得，符合；
③若，即，函数在上单调递减，
则，
所以，即，无解，
综上所述，的取值范围是．