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2023-2024学年广东省珠海市第四中学高一上学期期中数学试题含答案
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这是一份2023-2024学年广东省珠海市第四中学高一上学期期中数学试题含答案，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据集合的交集运算即可解出．
【详解】因为，，所以．
故选：A.
2．“0A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】利用充分不必要条件的定义判断得解.
【详解】解：“0“”成立时，“0所以“0故选：A
3．命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】利用特称命题的否定的概念即可求解,改量词，否结论.
【详解】由特称命题的否定的概念知，
“，”的否定为：，．
故选：B．
4．函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据函数特征得到不等式，求出定义域.
【详解】依题意，解得且，所以的定义域为.
故选：B
5．已知，则有（ ）
A．最大值B．最小值C．最小值D．最小值
【答案】B
【解析】本题可根据基本不等式求出的最小值，即可得出结果.
【详解】因为，
所以，当且仅当时取等号，
故有最小值，
故选：B.
6．德国数学家秋利克在年时提出“如果对于的每一个值，总有一个完全确定的值与之对应，则是的函数”，这个定义较清楚地说明了函数的内涵，只要有一个法则，使得取值范围中的每一个值，有一个确定的和它对应就行了，不管这个对应的法则是公式、图象、表格还是其它形式．已知函数由如表给出，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求出，从而，由此能求出结果．
【详解】由题意知：，．
故选：C．
7．设偶函数的定义域为，当时，是增函数，则，，的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用偶函数的性质及在上的单调性比较大小即得.
【详解】由是上的偶函数，得，
又在上单调递增，则，
所以.
故选：A
8．世界公认的三大著名数学家为阿基米德、牛顿、高斯，其中享有“数学王子”美誉的高斯提出了取整函数，表示不超过的最大整数，例如，．已知，，则函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据对勾函数得到的单调性，求函数的值域，再求.
【详解】对勾函数在上单调递减，上单调递增.
当时，；当时，；当时，；
所以；
则函数的值域为.
故选：A
二、多选题
9．给出下列四个结论，其中正确的结论有（ ）
A．
B．若，则
C．集合是无限集
D．集合的子集共有8个
【答案】BCD
【分析】根据空集的定义判断A，根据整数集的定义判断B，根据无限集的定义判断C，列举法表示集合，即可得到其子集个数，即可判断D.
【详解】对于A：或，故A错误；
对于B：若，则，故B正确；
对于C：因为，为无限集，所以集合是无限集，故C正确；
对于D：集合，
所以集合的子集共有个，故D正确；
故选：BCD
10．下列各组函数中，是同一个函数的有（ ）
A．与
B．与
C．与
D．与
【答案】AC
【分析】先求出各个函数的定义域，若定义域相同，则继续化简函数，观察即可得出答案.
【详解】对于A项，的定义域为R，的定义域为R，且，
所以，与为同一个函数，故A项正确；
对于B项，的定义域为R，的定义域为，定义域不一致，
所以，与不为同一个函数，故B项错误；
对于C项，的定义域为，的定义域为，且解析式表达形式一致，
所以，与为同一个函数，故C项正确；
对于D项，解，可得或，
所以定义域为.
解可得，，
所以，定义域为.
所以，与的定义域不一致，故D项错误.
故选：AC.
11．将水注入不同形状的玻璃容器中，从空瓶到注满为止，如图所示（设单位时间内进水量相同），在每个容器下方给出的图像中，能正确反映该容器中水面的高度随时间变化规律的是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】根据题意，依次分析4个容器中水的高度的速度变化的趋势，可得其对应的图形，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，容器为圆柱形，水的高度的变化速度应为直线型，所以A正确；
对于B中，容器下粗上细，水的高度的变化速度先慢后快，所以B不正确；
对于C中，容器上粗下细，水的高度的变化速度应先快后慢，所以C正确；
对于D中，容器为球形，水的高度的变化为快—慢—快，所以D不正确.
故选：AC.
12．下表表示y是x的函数，则（ ）
A．函数的定义域是B．函数的值域是
C．函数的值域是D．函数是增函数
【答案】AC
【解析】观察表格可知定义域以及值域，此函数为分段函数，在各自的区间内都是常函数，即可判断.
【详解】由表格可知：函数的定义域是，值域是，
此函数为分段函数，在各自的区间内都是常函数，
故函数不是增函数；
故选：AC.
三、填空题
13．设函数，则 ．
【答案】7
【分析】根据分段函数，先求，再求的值.
【详解】，
.
故答案为：7.
14．已知幂函数的图像过点，则 ．
【答案】16
【分析】根据条件先算出幂函数解析式，然后再求.
【详解】由题意，，解得，故，则.
故答案为：
15．建党百年之际，影片《1921》《长津湖》《革命者》都已陆续上映，截止2021年10月底，《长津湖》票房收入已超56亿元，某市文化调查机构，在至少观看了这三部影片中的其中一部影片的市民中随机抽取了若干人进行调查，得知其中观看了《1921》的有51人，观看了《长津湖》的有60人，观看了《革命者》的有50人，数据如图，则图中 ．
【答案】
【分析】根据韦恩图得到方程组，根据方程组的特点进行求解即可.
【详解】由韦恩图可知：，
故答案为：
16．设是定义域在上的奇函数，，当时，，则的值为 ．
【答案】/
【分析】转化条件得，进而可得，再利用条件与奇函数的性质即可得解.
【详解】因为，所以，
则是以为周期的周期函数，
又是定义在上的奇函数，且当时，，
所以.
故答案为：.
四、解答题
17．已知集合，集合，集合.
(1)求；
(2)求.
【答案】(1)，；
(2)或.
【分析】（1）（2）由集合的交、并、补运算求对应集合即可.
【详解】（1）集合，而，
所以，.
（2）由（1）知，，结合已知集合U，
所以或.
18．已知函数是二次函数，，．
(1)求的解析式；
(2)解不等式．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据得对称轴为，再结合顶点可求解;
(2)由（1）得，然后直接解不等式即可.
【详解】（1）由，知此二次函数图象的对称轴为，
又因为，所以是的顶点，
所以设
因为，即
所以得
所以
（2）因为所以
化为，即或
不等式的解集为
19．已知函数
(1)判断函数的奇偶性；
(2)根据定义证明函数在区间上单调递增．
(3)求函数在区间上最大值和最小值．
【答案】(1)为奇函数
(2)证明见详解
(3)最小值：；最大值：.
【分析】（1）用函数奇偶性的定义进行判断；
（2）用单调性定义证明；
（3）结合单调性求最大、最小值.
【详解】（1）因为函数的定义域为，且，所以函数为奇函数.
（2）设，
因为
因为，所以，，所以，即，也就是.
所以函数在上单调递增.
（3）因为函数在上为增函数，
所以在上为增函数.
所以：函数最小值为：；最大值为：.
20．已知是定义在R上的奇函数，当时，．
（1）求时，函数的解析式；
（2）若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围．
（3）解不等式．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）设，计算，再根据奇函数的性质，即可得对应解析式；
（2）作出函数的图像，利用数形结合思想，列出关于的不等式组求解；
（3）由（1）知分段函数的解析式，分类讨论解不等式再取并集即可.
【详解】（1）设，则，所以
又为奇函数，所以，
所以当时，，
（2）作出函数的图像，如图所示：
要使在上单调递增，结合的图象知，所以，
所以的取值范围是.
（3）由（1）知，解不等式，
等价于或，解得：或
综上可知，不等式的解集为
【点睛】易错点睛：本题考查利用函数奇偶性求解分段函数解析式、根据函数在区间内的单调性求解参数范围的问题，易错点是忽略区间两个端点之间的大小关系，造成取值范围缺少下限，属于基础题.
21．党的十九大报告指出，建设生态文明是中华民族永续发展的千年大计．而清洁能源的广泛使用将为生态文明建设提供更有力的支撑．沼气作为取之不尽、用之不竭的生物清洁能源，在保护绿水青山方面具有独特功效．通过办沼气带来的农村“厕所革命”，对改善农村人居环境等方面，起到立竿见影的效果．为了积极响应国家推行的“厕所革命”，某农户准备建造一个深为2米，容积为50立方米的长方体沼气池，如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，沼气池盖子的造价为2000元，问怎样设计沼气池能使总造价最低，最低总造价是多少?
【答案】当沼气池的底面是边长为5米的正方形时，沼气池总造价最低，最低总造价为7700元．
【分析】根据题意列出沼气池总造价的函数关系式，利用基本不等式即可求解最小值.
【详解】设沼气池的底面一边长为米，沼气池总造价为元，
因为沼气池的深为2米，容积为50立方米，所以沼气池底面面积为平方米，
则沼气池的底面另一边长为米，
依题意，，
当且仅当，即时，等号成立，
所以当沼气池的底面是边长为5米的正方形时，沼气池总造价最低，最低总造价为7700元．
22．已知函数.
(1)若，且，求的最小值：
(2)若，解关于的不等式.
【答案】(1)9
(2)答案见解析
【分析】（1）由条件得，利用1的代换结合基本不等式求解最值；
（2）根据的范围分类讨论求解不等式的解集.
【详解】（1）∵，即，且，
∴
当且仅当即时，等号成立，
所以的最小值为9.
（2）若，则由，得，即，
当时，，解得，
当时，，
当，即时，解得，
当，即时，解得，
当，即时，解得，
当时，解得或.
综上：时，不等式的解集为；
时，不等式的解集为；
时，不等式的解集为；
时，不等式的解集为；
时，不等式的解集为或.
2
3
4
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一、单选题
1．集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据集合的交集运算即可解出．
【详解】因为，，所以．
故选：A.
2．“0
【答案】A
【分析】利用充分不必要条件的定义判断得解.
【详解】解：“0
3．命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】利用特称命题的否定的概念即可求解,改量词，否结论.
【详解】由特称命题的否定的概念知，
“，”的否定为：，．
故选：B．
4．函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据函数特征得到不等式，求出定义域.
【详解】依题意，解得且，所以的定义域为.
故选：B
5．已知，则有（ ）
A．最大值B．最小值C．最小值D．最小值
【答案】B
【解析】本题可根据基本不等式求出的最小值，即可得出结果.
【详解】因为，
所以，当且仅当时取等号，
故有最小值，
故选：B.
6．德国数学家秋利克在年时提出“如果对于的每一个值，总有一个完全确定的值与之对应，则是的函数”，这个定义较清楚地说明了函数的内涵，只要有一个法则，使得取值范围中的每一个值，有一个确定的和它对应就行了，不管这个对应的法则是公式、图象、表格还是其它形式．已知函数由如表给出，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求出，从而，由此能求出结果．
【详解】由题意知：，．
故选：C．
7．设偶函数的定义域为，当时，是增函数，则，，的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用偶函数的性质及在上的单调性比较大小即得.
【详解】由是上的偶函数，得，
又在上单调递增，则，
所以.
故选：A
8．世界公认的三大著名数学家为阿基米德、牛顿、高斯，其中享有“数学王子”美誉的高斯提出了取整函数，表示不超过的最大整数，例如，．已知，，则函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据对勾函数得到的单调性，求函数的值域，再求.
【详解】对勾函数在上单调递减，上单调递增.
当时，；当时，；当时，；
所以；
则函数的值域为.
故选：A
二、多选题
9．给出下列四个结论，其中正确的结论有（ ）
A．
B．若，则
C．集合是无限集
D．集合的子集共有8个
【答案】BCD
【分析】根据空集的定义判断A，根据整数集的定义判断B，根据无限集的定义判断C，列举法表示集合，即可得到其子集个数，即可判断D.
【详解】对于A：或，故A错误；
对于B：若，则，故B正确；
对于C：因为，为无限集，所以集合是无限集，故C正确；
对于D：集合，
所以集合的子集共有个，故D正确；
故选：BCD
10．下列各组函数中，是同一个函数的有（ ）
A．与
B．与
C．与
D．与
【答案】AC
【分析】先求出各个函数的定义域，若定义域相同，则继续化简函数，观察即可得出答案.
【详解】对于A项，的定义域为R，的定义域为R，且，
所以，与为同一个函数，故A项正确；
对于B项，的定义域为R，的定义域为，定义域不一致，
所以，与不为同一个函数，故B项错误；
对于C项，的定义域为，的定义域为，且解析式表达形式一致，
所以，与为同一个函数，故C项正确；
对于D项，解，可得或，
所以定义域为.
解可得，，
所以，定义域为.
所以，与的定义域不一致，故D项错误.
故选：AC.
11．将水注入不同形状的玻璃容器中，从空瓶到注满为止，如图所示（设单位时间内进水量相同），在每个容器下方给出的图像中，能正确反映该容器中水面的高度随时间变化规律的是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】根据题意，依次分析4个容器中水的高度的速度变化的趋势，可得其对应的图形，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，容器为圆柱形，水的高度的变化速度应为直线型，所以A正确；
对于B中，容器下粗上细，水的高度的变化速度先慢后快，所以B不正确；
对于C中，容器上粗下细，水的高度的变化速度应先快后慢，所以C正确；
对于D中，容器为球形，水的高度的变化为快—慢—快，所以D不正确.
故选：AC.
12．下表表示y是x的函数，则（ ）
A．函数的定义域是B．函数的值域是
C．函数的值域是D．函数是增函数
【答案】AC
【解析】观察表格可知定义域以及值域，此函数为分段函数，在各自的区间内都是常函数，即可判断.
【详解】由表格可知：函数的定义域是，值域是，
此函数为分段函数，在各自的区间内都是常函数，
故函数不是增函数；
故选：AC.
三、填空题
13．设函数，则 ．
【答案】7
【分析】根据分段函数，先求，再求的值.
【详解】，
.
故答案为：7.
14．已知幂函数的图像过点，则 ．
【答案】16
【分析】根据条件先算出幂函数解析式，然后再求.
【详解】由题意，，解得，故，则.
故答案为：
15．建党百年之际，影片《1921》《长津湖》《革命者》都已陆续上映，截止2021年10月底，《长津湖》票房收入已超56亿元，某市文化调查机构，在至少观看了这三部影片中的其中一部影片的市民中随机抽取了若干人进行调查，得知其中观看了《1921》的有51人，观看了《长津湖》的有60人，观看了《革命者》的有50人，数据如图，则图中 ．
【答案】
【分析】根据韦恩图得到方程组，根据方程组的特点进行求解即可.
【详解】由韦恩图可知：，
故答案为：
16．设是定义域在上的奇函数，，当时，，则的值为 ．
【答案】/
【分析】转化条件得，进而可得，再利用条件与奇函数的性质即可得解.
【详解】因为，所以，
则是以为周期的周期函数，
又是定义在上的奇函数，且当时，，
所以.
故答案为：.
四、解答题
17．已知集合，集合，集合.
(1)求；
(2)求.
【答案】(1)，；
(2)或.
【分析】（1）（2）由集合的交、并、补运算求对应集合即可.
【详解】（1）集合，而，
所以，.
（2）由（1）知，，结合已知集合U，
所以或.
18．已知函数是二次函数，，．
(1)求的解析式；
(2)解不等式．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据得对称轴为，再结合顶点可求解;
(2)由（1）得，然后直接解不等式即可.
【详解】（1）由，知此二次函数图象的对称轴为，
又因为，所以是的顶点，
所以设
因为，即
所以得
所以
（2）因为所以
化为，即或
不等式的解集为
19．已知函数
(1)判断函数的奇偶性；
(2)根据定义证明函数在区间上单调递增．
(3)求函数在区间上最大值和最小值．
【答案】(1)为奇函数
(2)证明见详解
(3)最小值：；最大值：.
【分析】（1）用函数奇偶性的定义进行判断；
（2）用单调性定义证明；
（3）结合单调性求最大、最小值.
【详解】（1）因为函数的定义域为，且，所以函数为奇函数.
（2）设，
因为
因为，所以，，所以，即，也就是.
所以函数在上单调递增.
（3）因为函数在上为增函数，
所以在上为增函数.
所以：函数最小值为：；最大值为：.
20．已知是定义在R上的奇函数，当时，．
（1）求时，函数的解析式；
（2）若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围．
（3）解不等式．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）设，计算，再根据奇函数的性质，即可得对应解析式；
（2）作出函数的图像，利用数形结合思想，列出关于的不等式组求解；
（3）由（1）知分段函数的解析式，分类讨论解不等式再取并集即可.
【详解】（1）设，则，所以
又为奇函数，所以，
所以当时，，
（2）作出函数的图像，如图所示：
要使在上单调递增，结合的图象知，所以，
所以的取值范围是.
（3）由（1）知，解不等式，
等价于或，解得：或
综上可知，不等式的解集为
【点睛】易错点睛：本题考查利用函数奇偶性求解分段函数解析式、根据函数在区间内的单调性求解参数范围的问题，易错点是忽略区间两个端点之间的大小关系，造成取值范围缺少下限，属于基础题.
21．党的十九大报告指出，建设生态文明是中华民族永续发展的千年大计．而清洁能源的广泛使用将为生态文明建设提供更有力的支撑．沼气作为取之不尽、用之不竭的生物清洁能源，在保护绿水青山方面具有独特功效．通过办沼气带来的农村“厕所革命”，对改善农村人居环境等方面，起到立竿见影的效果．为了积极响应国家推行的“厕所革命”，某农户准备建造一个深为2米，容积为50立方米的长方体沼气池，如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，沼气池盖子的造价为2000元，问怎样设计沼气池能使总造价最低，最低总造价是多少?
【答案】当沼气池的底面是边长为5米的正方形时，沼气池总造价最低，最低总造价为7700元．
【分析】根据题意列出沼气池总造价的函数关系式，利用基本不等式即可求解最小值.
【详解】设沼气池的底面一边长为米，沼气池总造价为元，
因为沼气池的深为2米，容积为50立方米，所以沼气池底面面积为平方米，
则沼气池的底面另一边长为米，
依题意，，
当且仅当，即时，等号成立，
所以当沼气池的底面是边长为5米的正方形时，沼气池总造价最低，最低总造价为7700元．
22．已知函数.
(1)若，且，求的最小值：
(2)若，解关于的不等式.
【答案】(1)9
(2)答案见解析
【分析】（1）由条件得，利用1的代换结合基本不等式求解最值；
（2）根据的范围分类讨论求解不等式的解集.
【详解】（1）∵，即，且，
∴
当且仅当即时，等号成立，
所以的最小值为9.
（2）若，则由，得，即，
当时，，解得，
当时，，
当，即时，解得，
当，即时，解得，
当，即时，解得，
当时，解得或.
综上：时，不等式的解集为；
时，不等式的解集为；
时，不等式的解集为；
时，不等式的解集为；
时，不等式的解集为或.
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