2023-2024学年吉林省长春市吉林省实验中学高一上学期12月期中考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年吉林省长春市吉林省实验中学高一上学期12月期中考试数学试题含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，问答题，证明题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，集合，则集合等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求出集合，，根据并集的定义解答即可．
【详解】解：，，，
，，，，
．
故选：A．
2．命题“方程有一个根是偶数”的否定是（ ）
A．方程有一个根不是偶数
B．方程至少有一个根不是偶数
C．方程至多有一个根不是偶数
D．方程的每一个根都不是偶数
【答案】D
【分析】根据命题的否定的定义判断．
【详解】命题“方程有一个根是偶数”的否定是：方程没有一个根是偶数，只有D符合．
故选：D．
3．定义在上的奇函数满足：当时，，则方程的实根个数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】将方程解的个数转化成函数图象交点问题.
【详解】当时，，即，
在同一平面直角坐标系中作出函数与的图象，如图所示，
可知函数与有一个交点，
即当时，有一个根，
又函数是定义在上的奇函数，
所以当时，也有一个根，
且，
综上所述，共有个解，
故选：C.
4．已知函数（且）的图象过定点，则函数的零点所在区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由函数所过定点的坐标可得出，求出、的值，可得出函数的解析式，分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出结论.
【详解】因为函数（且）的图象过定点，
则，可得，所以，，
因为函数、在上均为减函数，
所以，函数在上为减函数，
且，，
由零点存在定理可知，函数的零点在区间内.
故选：A.
5．不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据绝对值、一元二次不等式等知识求得正确答案.
【详解】由得，
所以，
解得，所以不等式的解集为.
故选：D
6．下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据函数的单调性和奇偶性逐一分析即可.
【详解】A选项：因为，所以为偶函数，A错误；
B选项：由反比例函数性质可知，
在上单调递增，但在定义域上不单调，故B错误；
C选项：因为，且定义域为R，
所以为奇函数，
又均为增函数，所以也为增函数，C正确；
D选项：因为，
所以不是奇函数，D错误.
故选：C
7．如图，己知函数的图象关于坐标原点对称，则函数的解析式可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先根据可得为奇函数，即有，再根据图象可得函数的定义域为，再结合图象即可判断各选项．
【详解】由题意可得为奇函数，即有，
由图象可知函数的定义域为，
对于A，由的定义域为，不符合，故A错误；
对于B，由的定义域为，且，
但在上单调递增，不符合图象，故B错误；
对于C，由的定义域为，且，
但在上恒成立，不符合图象，故C错误；
对于D，由的定义域为，且，
且符合图象，故D正确．
故选：D．
8．函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据函数定义域的求法求得正确答案.
【详解】由解得，
所以的定义域为.
故选：C
二、多选题
9．下列四组函数中，表示同一函数的是（ ）．
A．与B．与
C．与D．与
【答案】BD
【分析】分别判别四个选项的函数的定义域及对应关系是否相同，即可得解.
【详解】对于A，函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数的定义域不同，不是同一函数，故A错误；
对于B，函数的定义域为R，函数的定义域为R，并且对应关系相同，是同一函数，故B正确；
对于C，函数与函数定义域不同，不是同一函数，故C错误；
对于D，函数的定义域为，函数的定义域为，并且对应关系相同，是同一函数，故D正确；
故选：BD
10．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．当，时，
B．对于，，
C．函数可能有个不同的零点
D．若满足不等式成立的整数恰有两个，则整数的取值有个
【答案】ACD
【分析】化简的解析式，然后根据最值、零点、不等式等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】，
A选项，当时，，
，
所以A选项正确.
B选项，当时，，
，所以B选项错误.
C选项，令，得，
画出的图象如下图所示，
由解得，由解得，
由解得.
当时，由可得或或，
由图可知有个解；有个解；有个解.
则有个不同的零点，所以C选项正确.
D选项，，
当时，由，得，
即①，
当时，，，
②，
当时，，，
③，
下面分类讨论的取值：
当时，由图可知，不等式组①至少有个整数解，不符合题意.
当时，不等式组①的整数解是，
此时，，
不等式组②无解，不等式组③无解，
所以时，符合题意.
当时，不等式组①的整数解是.
不等式组②的整数解是；不等式组③无解，
所以时，不符合题意.
当时，不等式组①的整数解是，
不等式组②的整数解是，不等式组③无整数解，
所以时，符合题意.
当时，不等式组①的整数解是，
不等式组②的整数解是，不等式组③无整数解，
所以时，不符合题意.
当时，不等式组①的整数解是，
不等式组②的整数解是，不等式组③无整数解，
所以时，不符合题意.
当时，不等式组①无解，
不等式组②的整数解是，不等式组③的整数解是，
所以时，不符合题意.
当时，不等式组①无解，
，
不等式组②的整数解是，
不等式组③至少有个整数解，
所以时，不符合题意.
综上所述，的取值可以为，共个，所以D选项正确.
故选：ACD
11．下列结论中，所有正确的结论是（ ）
A．当时，
B．当x＜0时，的最大值是﹣2
C．当x＞﹣3时的最小值为﹣1
D．当时，的最大值是1
【答案】ABCD
【分析】根据式子特点，结合均值不等式的“一正二定三项等”即可得解.
【详解】对于选项A：，当且仅当时，等号成立；
对于选项B: x＜0时，，当且仅当时，等号成立；
对于选项C：当x＞﹣3时
当且仅当时，等号成立；
对于选项D：当时，，
当且仅当时，取得最大值；
故选：ABCD.
12．已知定义在上的函数，下列结论正确的为（ ）
A．函数的值域为
B．存在，使得不等式成立
C．当时，函数的图象与轴围成的面积为，则
D．当时，
【答案】ACD
【分析】作出函数的图象，再根据函数图象数形结合即可判断；
【详解】解：作出函数的图象，具体如下：先作在的图象，先进行分段即，作出其图象，然后向右每次将横坐标变为原来的倍的同时，纵坐标变为原来的，如图所示；
（A）从图象可知；函数的值域为；
（B）结合的图象，即知对于任意的都有，即，
（C）显然当时，函数的最高点为，与轴围成的面积为
，故成立；
（D），，由图易知D为正确.
故选：ACD
三、填空题
13．计算： ．
【答案】
【分析】根据指数运算求得正确答案.
【详解】
.
故答案为：
14．若条件：，条件：，则是的 条件．（填写“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”和“既不充分也不必要”之一）．
【答案】充分不必要
【分析】根据充分、必要条件的知识确定正确答案.
【详解】对于条件，由解得或，
而命题，
所以是的必要不充分条件，
所以是的充分不必要条件.
故答案为：充分不必要
15．函数的最小值为 .
【答案】5
【分析】配凑函数解析式，使之能够使用均值不等式，利用均值不等式即可求得函数的最小值.
【详解】因为，
故可得，
当且仅当，即时取得最小值.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用基本不等式求函数的最值，属基础题.
16．已知，则不等式的解集为 .
【答案】
【解析】分、、三种情况解不等式，综合可得出该不等式的解集.
【详解】分以下三种情况讨论：
①当时，即当时，由可得，解得，此时；
②当时，即当时，由可得，
整理得，解得，此时；
③当时，由可得，可得恒成立，此时.
综上所述，不等式的解集为.
故答案为：.
【点睛】本题考查分段函数不等式的求解，考查分类讨论思想的应用，考查计算能力，属于中等题.
四、解答题
17．（1）计算：；
（2）已知全集，集合，，求．
【答案】（1）1；（2）
【分析】（1）根据指数、对数运算求得正确答案.
（2）解不等式求得集合，由此求得.
【详解】（1）
.
（2）由，
解得或，所以或，
所以，而，
所以.
五、问答题
18．已知函数，关于的不等式的解集为.
(1)求不等式的解集；
(2)当在上单调时，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据二次不等式的解集可得出，的值，代入不等式即可得出结果.
(2)根据二次函数图像性质，结合对称轴得出关于的不等式，解出即可.
【详解】（1）的解集为，则1和2是的两个根，
所以代入，解得，由，则，
，即的解集为
（2）由，对称轴，
因为在上单调，可得或，解出或，
即的取值范围为
六、证明题
19．已知函数对任意的x，，都有，且当时．
(1)求的值，判断并证明函数的奇偶性；
(2)试判断函数在上的单调性并证明；
(3)解不等式．
【答案】(1)，是奇函数，证明见解析
(2)在上单调递减，证明见解析
(3)
【分析】（1）利用赋值法求得，根据函数奇偶性的定义判断并证明函数的奇偶性.
（2）利用函数单调性的定义证明函数在上的单调性.
（3）根据函数的单调性和奇偶性求得不等式的解集.
【详解】（1）依题意，函数对任意的x，，都有，
令，得，
是奇函数，证明如下：
用代替，得，则，
所以是奇函数.
（2）在上单调递减，证明如下：
任取，
，
由于，所以，
所以，
所以在上单调递减.
（3），，
由于在上单调递减，
所以，
所以不等式的解集是.
七、解答题
20．如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，使点，分别在，的延长线上，且对角线过点，已知米，米．
(1)若要使矩形的面积不大于平方米，则的长应在什么范围内？
(2)当的长为多少时，矩形花坛的面积最小？并求出最小值．
【答案】(1)
(2)，面积最小为平方米
【分析】（1）根据已知条件列不等式，从而求得的范围.
（2）先求得花坛面积的表达式，然后利用基本不等式求得最小值.
【详解】（1）设的长为米，则米，
因为，所以，
所以矩形的面积，
因为矩形的面积不大于平方米，
所以，而，所以整理得，
解得，所以的长的取值范围是.
（2）矩形花坛的面积，
当且仅当，即时，矩形花坛的面积最小为平方米．
八、证明题
21．已知函数．
(1)试判断的单调性，并证明你的结论；
(2)若为定义域上的奇函数，
①求函数的值域；
②求满足的的取值范围．
【答案】(1)答案见解析；
(2)①值域为；②．
【分析】（1）任取，且，根据的符号判定函数的单调性；
（2）先由函数为定义域上的奇函数，求得的值，从而求得函数的值域，再根据函数的单调性求得的取值范围．
【详解】（1）函数为定义域，且，
任取，且，
则．
∵在上单调递增，且，
∴，，，，
∴，即，∴在上的单调增函数．
（2）①∵是定义域上的奇函数，∴，
即对任意实数恒成立，
化简得，∴，即，
由得，
∵，∴，∴，∴，
故函数的值域为．
②由，得，
∵在上单调递增，∴，解得，
故的取值范围为．
九、问答题
22．已知函数，
(1)求函数的单调区间与极值点；
(2)若，方程有三个不同的根，求的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）先求导，然后分类讨论，从而求解.
（2）利用（1）中结论可求出的取值范围.
【详解】（1）定义域为，
，
令得或，
当即时，，，在区间上单调递减；
，，在区间上单调递增；
故有极小值点，无极大值点，
当即时，时，，在区间单调递增，
当时，，在区间单调递减；
当时，，在区间上单调递增；
当极小值点为，极大值点为；
当即时，时，，在区间单调递增，
当时，，在区间单调递减；
当时，，fx在区间单调递增；
故有极小值点，有极大值点为；
当时，即时，，在单调递增，无减区间，无极值点．
（2）当时，即，
由（1）可知，时，单调递增，时，单调递减，
时，单调递增；
极大值，极小值，
要使有三个不同的根，则.
故的取值范围为