2023-2024学年北京市第一七一中学高一上学期12月调研数学试题含答案

这是一份2023-2024学年北京市第一七一中学高一上学期12月调研数学试题含答案，共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．设集合，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据集合的运算，即可得到结果.
【详解】因为，
则，且
所以.
故选:D.
2．已知函数的图象与函数的图象关于轴对称，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由点是函数上任意一点，则点在函数的图像上，列出方程，即可得到正确答案.
【详解】设点是函数上任意一点，则点在函数的图像上
即
所以函数的解析式为：
故选：A
【点睛】本题主要考查了函数图像的对称性，属于中档题.
3．已知，，下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】应用特殊值判断A、C；由指数函数的单调性判断B、D.
【详解】时、，A、C错；
B：由在定义域上递增，则，对；
D：由在定义域上递减，则，错；
故选：B
4．下列函数中是奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用奇偶函数定义即可判断每个选项
【详解】对于A，令，其定义域为，且，
所以为偶函数，故A不正确；
对于B，令，其定义域为，不关于原点对称，故不是奇函数，故B不正确；
对于A，令，其定义域为，且，
所以为偶函数，故C不正确；
对于A，令，其定义域为，且，
所以为奇函数，故D正确；
故选：D
5．已知{第一象限角}，{锐角}，{小于的角}，那么A、B、C的关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分别判断，，的范围即可求出；
【详解】解：第一象限角，；锐角，
小于的角
，
，；
“小于的角”里边有“第一象限角”，从而．
故选：．
6．已知函数，则下列区间中含有的零点的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】分析函数的单调性，利用零点存在定理可得出结论.
【详解】由于函数为增函数，函数在和上均为增函数，
所以，函数在和上均为增函数.
对于A选项，当时，，，此时，，
所以，函数在上无零点；
对于BCD选项，当时，，，
由零点存在定理可知，函数的零点在区间内.
故选：C.
7．已知指数函数是减函数，若，，，则m，n，p的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由已知可知，再利用指对幂函数的性质，比较m，n，p与0，1的大小，即可得解.
【详解】由指数函数是减函数，可知，
结合幂函数的性质可知，即
结合指数函数的性质可知，即
结合对数函数的性质可知，即，
故选：B.
【点睛】方法点睛：本题考查比较大小，比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法，解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.
8．已知在上是减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分段函数是减函数，就要求每一段都是减函数，并且满足，解不等式组即得解.
【详解】当，是减函数，所以，即 ① ；
当，也是减函数，故 ② ；
在衔接点x=1，必须要有成立，才能保证在上是减函数，即 ③，
∴由①②③取交集，得.
故选：C.
9．以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，所以以他的名字命名．一些地方的市政检修井盖、方孔转机等都有应用勒洛三角形如图，已知某勒洛三角形的三段弧的总长度为，则该勒洛三角形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设等边三角形的边长为，由题意可得，进而求出的值，再求出扇形的面积和等边三角形的面积，从而求出该勒洛三角形的面积.
【详解】设等边三角形的边长为，
则由题意得：，解得：，
所以扇形的半径为，圆心角为，则其面积为，
又等边三角形的面积为，
则该勒洛三角形的面积为，
故选：B.
10．已知函数若函数有3个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】要使函数有三个零点，则有三个不相等的实根，即与的图象有三个交点，结合函数的性质及图象即可得出.
【详解】
要使函数有三个零点，则有三个不相等的实根，即与的图象有三个交点，
当时，在上单调递减，；
当时，在上单调递增，；
当时，在上单调递增，；
由与的图象有三个交点，结合函数图象可得，
故选：A.
二、填空题
11．角化为弧度制等于 .
【答案】/
【分析】根据角度制与弧度制的转化公式求解即可.
【详解】因为，
所以.
故答案为：.
12．函数的定义域为 .
【答案】
【解析】根据对数型复合函数定义域可得：，解不等式即可求解.
【详解】由，
则，解得，
所以函数的定义域为.
故答案为：
13．已知函数是指数函数，若，则 .(用“”“”“”填空）
【答案】
【解析】根据题意，设且，结合题中条件，确定，根据指数函数单调性，即可得出结果.
【详解】因为是指数函数，所以可设且，
又，所以，则，
即函数是减函数，所以.
故答案为：.
14．若，且，求 .
【答案】
【分析】根据已知可得且，解方程即可得答案.
【详解】由题设，且，，
所以，即，可得.
故答案为：
15．若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】令，由题设易知在上为增函数且恒大于零，根据二次函数的性质列不等式组求的取值范围.
【详解】由题设，令，而为增函数，
∴要使在上是增函数，即在上为增函数且恒大于零，
，可得，
∴的取值范围是.
故答案为：
三、解答题
16．已知全集，集合，.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）设非空集合，若，求实数的取值范围.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）分别解不等式，化简两集合，再由交集和补集的概念，即可求出结果；
（Ⅱ）由（Ⅰ），根据集合非空，且，列出不等式求解，即可得出结果.
【详解】（Ⅰ）因为，，
所以或，则；
（Ⅱ）因为非空集合，且，
所以或，
解得或，
即实数的取值范围是.
17．已知，.
(1)求，的值；
(2)求的值.
【答案】(1)，；
(2).
【分析】（1）应用平方关系、商数关系求正弦值和正切值；
（2）应用诱导公式化简求值.
【详解】（1）由，，则，；
（2）原式.
18．已知函数．
(1)若，求a的值；
(2)判断函数的奇偶性，并证明你的结论；
(3)若对于恒成立，求实数m的范围．
【答案】(1)
(2)奇函数，证明见解析
(3)
【分析】（1）代入，得到，利用对数的运算即可求解；
（2）先判断奇偶性，然后分析定义域并计算的数量关系，由此完成证明；
（3）将已知转化为，求出在的最小值，即可得解.
【详解】（1），，即，解得，
所以a的值为
（2）为奇函数，证明如下：
由，解得：或，所以定义域为关于原点对称，
又，
所以为奇函数；
（3）因为，
又外部函数为增函数，内部函数在上为增函数，
由复合函数的单调性知函数在上为增函数，
所以，
又对于恒成立，所以，所以，
所以实数的范围是
19．已知函数是奇函数.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）判断的单调性；（只需写出结论）
（Ⅲ）若不等式恒成立，求的取值范围．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）增函数；（Ⅲ）.
【解析】（I）根据题意可知，即可列出等式求解a；（Ⅱ）的值随着x的值增大而增大，故函数为增函数；（Ⅲ）根据函数的奇偶性可将不等式转化为，再由函数的单调性可得恒成立，则，即可得解.
【详解】（I）因为为奇函数，定义域为，
所以，即，解得，
当时，此时即，函数为奇函数.
（Ⅱ）为增函数
（Ⅲ）不等式恒成立，即恒成立，
因为在定义域上是奇函数，所以，
又为增函数，所以恒成立，
由恒成立，有△，解得，
所以，的取值范围是．
20．某食品的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：℃）满足函数关系（为自然对数的底数，，为常数）.若该食品在0℃的保鲜时间为192小时，在33℃的保鲜时间是24小时，
(1)求的值；
(2)求该食品在22℃的保鲜时间.
【答案】(1)；
(2)小时.
【分析】（1）由题设可得，即可求参数k；
（2）由（1）得，将代入求即可.
【详解】（1）由题设，则，可得，
所以；
（2）由（1）知：，
当，则，
所以小时.
21．若集合，其中为非空集合，，则称集合为集合A的一个n划分．
(1)写出集合的所有不同的2划分；
(2)设为有理数集Q的一个2划分，且满足对任意，任意，都有．则下列四种情况哪些可能成立，哪些不可能成立？可能成立的情况请举出一个例子，不能成立的情况请说明理由；
①中的元素存在最大值，中的元素不存在最小值；
②中的元素不存在最大值，中的元素存在最小值；
③中的元素不存在最大值，中的元素不存在最小值；
④中的元素存在最大值，中的元素存在最小值．
(3)设集合，对于集合A的任意一个3划分，证明：存在，存在，使得．
【答案】(1)
(2)①可能成立，例子见解析；②可能成立，例子见解析；③可能成立，例子见解析；④不可能成立，证明过程见解析；
(3)证明过程见解析.
【分析】（1）根据题意写出含有3个元素的2划分即可；
（2）①②③可以举出反例，④可以利用反证法进行证明；
（3）用反证法进行证明,
【详解】（1）集合的所有不同的2划分为
（2）①可能成立，举例如下：，；
②可能成立，举例如下：，；
③可能成立，举例如下：，；
④不可能成立，证明如下：假设④成立，不妨设中元素的最大值为S，中元素的最小值为t，由题可知：s