2023-2024学年福建省泉州市泉州九中与侨光中学高一上学期12月联考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年福建省泉州市泉州九中与侨光中学高一上学期12月联考数学试题含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，单空题，问答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．若集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先计算出，根据元素和集合的关系得到答案.
【详解】由题意得，所以．
故选：C
2．“”是“”的 （ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用不等式的性质与充分必要条件的判定即可得解.
【详解】当时，
，
所以，则，即必要性成立；
当时，取，则，即充分性不成立；
所以“”是“”的必要不充分条件．
故选：B.
3．已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据对数函数及指数函数单调性，比较，，与0，1的大小关系即可得答案.
【详解】解：因为，，，
所以，，，
所以，
故选：A.
4．下列区间中，函数一定存在零点的区间是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】结合函数定义域、单调性，根据零点的存在性定理判断即可.
【详解】函数的定义域为，
当时，函数单调递减，函数单调递增，
所以函数单调递减，
又，所以函数在上一定无零点；
当时，函数单调递减，函数单调递增，
所以函数单调递减，
又，，
根据零点存在性定理可得函数在内一定存在零点.
故选：B
5．若函数（且）在R上为增函数，则函数的图象可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由题意可得，再求出函数的定义域，然后由对数函数的性质可判断出函数图象
【详解】因为函数（且）在R上为增函数，
所以，
函数的定义域为，所以排除AB，
当时，为增函数，所以排除D，
故选：C
6．已知函数，则满足的的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】判断出函数为偶函数，结合单调性即可解.
【详解】由，
得，所以为偶函数，
又在单调递增，在单调递增，
则，在单调递增，在单调递减，
对称轴为轴，
则，即，即，
解得：.
故选：B
7．已知函数的图象恒过定点，且函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据对数函数图像的性质可确定定点，再根据二次函数的性质可求实数的取值范围.
【详解】∵函数的图象恒过定点，令，求得，，故它的图象经过定点，∴，．
故函数，
因为在上单调递减，∴，∴，
故选：B．
【点睛】本题考查含参数的对数型复合函数的图象过定点问题、二次函数的单调性，前者是在函数图象上找一个与参数无关的点（即真数部分整体为1），后者可根据开口方向和对称轴的位置来考虑．
8．国内生产总值（GDP）是指按国家市场价格计算的一个国家（或地区）所有常驻单位在一定时期内生产活动的最终成果，常被公认为是衡量国家经济状况的最佳指标．某城市2020年的GDP为8000亿元，若保持6%的年平均增长率，则该城市的GDP达到1万亿元预计在（参考数据：）（ ）
A．2023年B．2024年C．2025年D．2026年
【答案】B
【分析】根据题意，列出方程，结合对数的运算，代入计算，即可得到结果.
【详解】设经过年该城市的GDP达到1万亿元，
则，则，
所以，
所以至少要经过4年，即预计在2024年该城市的GDP达到1万亿元.
故选：B
二、多选题
9．如图所示是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的剩留量y与净化时间t（月）的近似函数关系：的图象．有以下说法：其中正确的说法是（ ）
A．第4个月时，剩留量就会低于
B．每月减少的有害物质质量都相等
C．污染物每月的衰减率为
D．当剩留，，时，所经过的时间分别是，，，则
【答案】ACD
【分析】将代入函数可得，再依次求解即可判断每个选项的正误.
【详解】将代入函数，则，解得，则，
对A，当时，，故A正确；
对B，第一月的减少量为，第二月的减少量为，不相等，故B错误;
对C，污染物每月的衰减率为，故C正确；
对D，可得则，则，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点睛：本题考查指数函数的应用，解题的关键是得出解析式进行计算.
10．已知a，b为正实数，满足，则下列判断中正确的是（ ）
A．有最小值
B．有最小值
C．函数的最小值为1
D．有最大值
【答案】AD
【分析】直接利用基本不等式即可判断A；先求得，再利用基本不等式求得其最大值，进而即可判断B；先求得，再利用基本不等式求得其最小值，注意等号取不到，进而即可判断C；先令，得到，再根据“1”的妙用得到，再结合基本不等式求得的最小值，进而即可判断D．
【详解】由a，b为正实数，满足，
对于A，，当且仅当时，等号成立，
所以有最小值，故A正确；
对于B，，当且仅当时，等号成立，
所以有最大值，故B错误；
对于C，，
当且仅当，即或时，等号成立，但，
所以取不到最小值，故C错误；
对于D，令，则，
则，
当且仅当，即，时，等号成立，
则，即，所以有最大值，故D正确．
故选：AD．
11．若，则下列判断错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】根据对数和指数运算规则逐项分析.
【详解】由条件：，即，A正确；
，即，B错误，D正确；
由，则，C错误；
故选：BC.
12．某数学兴趣小组对函数进行研究，得出如下结论，其中正确的有（ ）
A．
B．，都有
C．的值域为
D．，都有
【答案】ACD
【分析】根据给定的函数解析式，结合函数单调性及作差法比较大小，逐项计算判断即可.
【详解】对于A，，A正确；
对于B，当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递减，
因此函数在R上单调递减，则，都有，B错误；
对于C，由选项B知，当时，，当时，，
即，，因此函数的值域为，C正确；
对于D，当时，，，，
，当且仅当时取等号，
因此成立，D正确.
故选：ACD
三、填空题
13．已知，若幂函数奇函数，且在上为严格减函数，则 .
【答案】-1
【分析】根据幂函数在上为严格减函数，可得，再由幂函数奇函数即可得答案.
【详解】解：因为幂函数在上为严格减函数，
所以，
所以，
又因为幂函数奇函数，且，
所以，
故答案为：-1
14．计算 ．
【答案】
【分析】直接利用指数对数的运算性质计算即可.
【详解】
.
故答案为：.
15．函数的单调增区间为 ．
【答案】
【分析】根据复合函数的单调性即得.
【详解】函数的定义域是，
在定义域内函数的单调增区间是，
而函数的单调增区间就是在定义域内函数的增区间，
所以函数的单调增区间为.
故答案为：.
四、单空题
16．已知函数，若关于x的方程有5个不同的实数根，则实数m的取值范围为 .
【答案】
【分析】作出函数的图象，把复合方程根的问题化为函数与三条直线有5个交点问题，结合图象，列不等式组计算即可.
【详解】作出函数图象如下：
令，则，所以，，，
所以，，，
所以，，，
即，，，
因为关于x的方程有5个不同的实数根，
所以函数与直线，，共有5个交点，
所以，解得，即实数m的取值范围为.
故答案为：
【点睛】方法点睛：将方程根的个数问题转化成函数图象交点个数问题是解决此类问题的方法，画出函数图象并利用数形结合列式求解即可.
五、问答题
17．已知集合，.
（1）命题，命题，且是的必要非充分条件，求实数的取值范围；
（2）若，都有，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）求出集合，由题意可得出，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围；
（2）由参变量分离法可知，不等式对任意的恒成立，利用二次函数的基本性质求出函数在区间上的最大值，由此可解得实数的取值范围.
【详解】（1）解不等式，即，解得，
所以，.
由于是的必要非充分条件，则，所以，解得，
因此，实数的取值范围是；
（2）由，都有，得，，
令，，
当时，取最大值为，所以，.
因此，实数的取值范围是.
【点睛】本题考查利用必要不充分条件求参数的取值范围，同时也考查了利用一元二次不等式在区间上恒成立求参数，考查了参变量分离法的应用，考查计算能力，属于中等题.
18．函数的图像过点和.
(1)求函数的解析式；
(2)当的定义域为时，求的最小值与最大值.
【答案】(1)；
(2)最小值为6，最大值为22.
【分析】（1）把点和代入，求出的解析式；（2）先求出的定义域，化简得到，换元后得到二次函数，利用单调性求出最值.
【详解】（1）由题意得：，解得：，所以；
（2）由题意得：，解得：，故的定义域为，，令，故，所以当时，单调递增，所以，
19．已知函数（，）．
(1)若关于的不等式的解集为，求不等式的解集；
(2)若，，求关于的不等式的解集．
【答案】(1)
(2)当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为
【分析】（1）根据题意可得，且，3是方程的两个实数根，利用韦达定理得到方程组，求出，，进一步可得不等式等价于，即，最后求解不等式即可；
（2）当时，时，不等式等价于，从而分类讨论，，三种情况即可求出不等式所对应的解集．
【详解】（1）解：的不等式的解集为，
，且，3是方程的两个实数根，
，，解得，，
不等式等价于，即，
故，解得或，
所以该不等式的解集为；
（2）解：当时，不等式等价于，即，
又，所以不等式等价于，
当，即时，不等式为，解得；
当，即时，解不等式得或；
当，即时，解不等式得或，
综上，当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为．
20．已知函数为奇函数
（1）求的值.
（2）探究的单调性，并证明你的结论；
（3）若存在实数，使得不等式成立，求的范围.
【答案】（1）1；（2）单调递增 ，证明见解析；（3）.
【分析】（1）根据函数是奇函数，得到，化简得出答案;
（2）根据函数单调性的定义，先在区间上任取两个自变量且，然后作差比较其函数值的大小关系，从而得到函数的单调性;
（3）由为奇函数，则不等式可化为，即，结合（1）得到的单调性和定义域可解.
【详解】（1）因为函数为奇函数
∴，即
化简得
∴;
（2）为增函数.
证明：定义域为，任取设
即
所以为增函数;
（3）由已知存在实数，使得不等式成立
由（1）可知只需存在实数,使得，即成立即可
令，易知在时单调递增
所以，所以.
【点睛】通过函数的奇偶性求函数中的参数时，一般来说要利用函数奇偶性的定义来求，当函数是奇函数，且定义域包含0时，可以利用求参数；第三问中的求不等式，不能直接代入函数，要充分的利用函数的单调性和定义域来求解.
21．北京时间2021年10月16日0时23分，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心精准发射，约582秒后，飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，发射取得圆满成功，这是我国载人航天工程立项实施以来的第21次飞行任务，也是空间站阶段的第2次载人飞行任务。航天工程对人们的生活产生方方面面的影响，有关部门对某航模专卖店的商品销售情况进行调查发现：该商品在过去的一个月内（以30天计）的日销售价格（元）与时间（天）的函数关系近似满足（常数）.该商品的日销售量（百个）与时间（天）部分数据如下表所示：
已知第10天该商品的日销售收入为3500元.
(1)求实数的值；
(2)给出以下三种函数模型：①，②；③，请你依据上表中的数据，从以上三种函数模型中，选择你认为最合适的一种函数模型，来描述该商品的日销售量与时间的关系，说明你选择的理由.并借助你选择的模型，预估该商品的日销售收入（，）（元）在哪一天达到最低？
【答案】(1)15
(2)模型③，理由见解析，第16天达到最低
【分析】（1）将第10天的销售数据代入关系式即可求出实数的值；
（2）通过表格数据的特点可以排除①②，将，带入模型③求出，再通过，利用基本不等式可求出最值.
【详解】（1）由题意，，∴.
（2）∵表格中对应的数据匀速递增时，对应的数据并未匀速变化，∴排除模型①
又∵表示在两侧“等距”的函数值相等（或叙述为函数图象必然关于直线对称），而表格中的数据并未体现此规律（），∴排除模型②
对于模型③，将，代入模型③，有：，解得：
此时，，经验证，，均满足，∴选模型③
取等条件：，即
∴第16天达到最低.
22．设，函数．
(1)当时，求在的单调区间；
(2)记为在上的最大值，求的最小值．
【答案】(1)单调递增区间为，递减区间为；
(2).
【分析】（1）当时，得，根据二次函数的图象和性质，即可得出在的单调区间；
（2）对进行讨论，分类和两种情况，再分和，结合函数的单调性求出在上的最大值，再由分段函数的解析式和单调性，即可求出的最小值．
【详解】（1）解：当时，，
当时，，则对应抛物线开口向下，对称轴为，
可知，在单调递增，单调递减，
即在的单调递增区间为，递减区间为.
（2）解：，若时，，对称轴为，
所以在单调递增，可得；
若，则在单调递增，在单调递减，在单调递增，
若，即时，在递增，可得；
由，可得在递增，在递减，
即有在时取得，
当时，由，解得：，
若，即，
可得的最大值为；
若，即，可得的最大值为；
即有，
当时，；
当时，；
当，可得．
综上可得的最小值为．
（天）
5
10
17
26
（百个）
4
5
6
7