2023-2024学年福建省漳州市华安县第一中学高一上学期第二次（12月）月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年福建省漳州市华安县第一中学高一上学期第二次（12月）月考数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】解二次不等式，结合集合交集运算即可.
【详解】，则.
故选：A
2．已知为R上的奇函数，当时，，则的值是（ ）
A．19B．7C．D．
【答案】C
【分析】利用奇函数的性质即可得解.
【详解】因为当时，，所以，
又为定义在上的奇函数，所以.
故选：C.
3．已知函数，则函数单调递增区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用指数型复合函数的单调性求解.
【详解】令在单调递增，单调递减，
所以函数在单调递减，单调递增，
故选:C.
4．已知，，试比较a，b，c的大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据对数函数和指数函数的单调性将､､与0､1相比较，即可得到结论.
【详解】∵，
，
，
∴.
故选：B.
5．函数的零点所在的区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】判断函数零点问题，要先考虑函数定义域和单调性，再运用零点存在定理确定零点所在区间.
【详解】由知函数定义域为，且在为增函数，又，
故函数的零点所在的区间为.
故选：C.
6．核酸检测在新冠疫情防控核中起到了重要作用，是重要依据之一，核酸检测是用荧光定量PCR法进行的，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增过程中的靶标DNA进行实时检测．已知被标靶的DNA在PCR扩增期间，每扩增一次，DNA的数量就增加．若被测标本DNA扩增5次后，数量变为原来的10倍，则p的值约为（ ）．（参考数据：，）
A．36.9B．41.5C．58.5D．63.1
【答案】C
【分析】设DNA数量没有扩增前数量为a，由题意可得，，化简得，再根据指数函数的运算，即可求解．
【详解】设DNA数量没有扩增前数量为a，
由题意可得，，即，
所以，即，
故．
故选：C．
7．函数的图像大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由函数的奇偶性和区间内函数值的符号，用排除法求解.
【详解】由，可知函数的定义域为，
，函数为偶函数，图像关于轴对称，排除CD；
当时，，，，又，所以，排除B.
故选：A
8．设函数，则关于x的不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】易知是偶函数，且在上是增函数，将不等式转化为求解.
【详解】解：的定义域为R，且，
所以是偶函数，易知在上是增函数，
所以不等式即为，
则，解得，
所以不等式的解集为，
故选：B
二、多选题
9．下列表示中正确的是（ ）
A．与终边相同的角的集合是；
B．＝180°；
C．在半径为6的圆中，弧度的圆心角所对的弧长为2；
D．第二象限角都是钝角；
【答案】ABC
【分析】根据任意角的相关概念逐项分析判断.
【详解】对A：与终边相同的角的集合是，A正确；
对B：＝180°，B正确；
对C：在半径为6的圆中，弧度的圆心角所对的弧长为，C正确；
对D：第二象限角的取值范围为，不一定为钝角，D错误.
故选：ABC.
10．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数，称为狄利克雷函数，则关于，下列说法正确的是（ ）
A．B．的定义城为
C．，D．为偶函数
【答案】BCD
【分析】根据新函数定义，结合各项描述判断正误即可.
【详解】由，故，且的定义城为，A错、B对；
对于，或0，故，C对；
由于正负有理数、无理数在原点两侧对称分布，所以对应关于y轴对称，D对.
故选：BCD
11．已知正数x，y满足，则下列选项正确的是（ ）
A．的最小值是2B．的最大值是
C．的最小值是4D．的最大值是
【答案】AD
【分析】根据已知条件，结合基本不等式及相关结论逐一验证各选项，注意基本不等式成立条件.
【详解】因为正数x，y满足，
则，当且仅当时等号成立，故A正确；
由，可得，，当且仅当时等号成立，故B错误；
由，当且仅当时等号成立，
故C错误；
，当且仅当，即，时等号成立，
故D正确.
故选：AD
12．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的单调递增区间为
B．函数的值域为
C．若方程仅有1个实根，则
D．若方程有3个实根，则
【答案】BCD
【分析】由题可作出函数的大致图象，然后利用数形结合，结合条件即得.
【详解】作出分段函数的图像，如图所示，
选项A：有图像可知，函数的单调递增区间为，A错；
选项B：由，的值域为，则函数的值域为，B正确；
选项C：由图像可知，若方程仅有1个实根，则，C正确；
选项D：若方程有3个实根，则，设，
则，由得，，
则，则，D正确.
故选：BCD
三、填空题
13．点是角终边上一点，则 ．
【答案】
【分析】根据任意角的三角函数定义求解即可.
【详解】根据任意角的三角函数定义，得．
故答案为：.
14．已知，（且）的图像恒过定点P，则点P的坐标为 ．
【答案】
【分析】根据对数函数过定点问题，令令求解.
【详解】解：令，解得，
则，
所以，（且）的图像恒过定点P，
故答案为：
15．已知函数是R上的减函数，则a的取值范围为 ．
【答案】
【分析】利用分段函数的性质即可求解.
【详解】因为函数是R上的减函数，则，解得.
a的取值范围为.
故答案为：.
16．已知函数，若关于的方程有5个不等的实数根，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】由化解得出或，即有5个不等的实数根等价于与和共有五个交点，作出的图象，根据图象得出答案.
【详解】化为，
即或，
的图象如下：
，
有5个不等的实数根，
即与和共有五个交点，
由图得与有两个交点，
则与有三个交点，
则，
故的取值范围为.
故答案为：.
四、解答题
17．（1）已知，在第二象限，求，的值；
（2）已知，求的值；
【答案】（1），；（2）
【分析】（1）根据三角函数的基本关系式即得；
（2）弦化切即可.
【详解】（1）∵，在第二象限，
∴，；
（2）由，
所以.
18．（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据指数幂的性质运算即可得到；
（2）根据对数的性质运算即可得到.
【详解】（1）原式；
（2）
．
19．已知集合，集合
(1)当时，求；
(2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分别求出集合，然后利用集合的并集补集运算即可求解；
（2）由题意可知集合是的真子集，然后对分类讨论，即可求解
【详解】（1）由题意得，解得，所以，
因为，得，解得，所以
所以，
所以.
（2）因为“”是“”的必要不充分条件，所以集合是的真子集，
由不等式，可得，
当时，不等式的解集为，即，因为集合是的真子集，则；
当时，不等式为，解得，即；集合是的真子集成立；
当时，不等式的解集为，即，因为集合是的真子集，则，
综上所述，即的取值范围是．
20．已知函数．
(1)求函数的值域；
(2)若关于x的不等式对任意的恒成立，求正实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用对数的运算性质化简，令，结合二次函数即可求出函数的值域；
（2）将恒成立问题转化成，借助（1）的结论，解不等式即可．
【详解】（1），因为，
令，可得，
所以当且仅当，即，解得时，
所以函数的值域为；
（2）不等式对任意的恒成立，
即，
由（1）可得：当且仅当，即时，函数取到最大值6，
所以，即，
且，解得，即，
故实数a的取值范围为．
21．已知定义在R上的函数是奇函数．
(1)求实数a的值；
(2)证明在R上为减函数,并解不等式．
【答案】(1)1
(2)证明见解析，
【分析】（1）由奇函数的性质，结合，可求a值，注意验证即可；
（2）首先求的单调性，再利用单调性和奇偶性解不等式即可.
【详解】（1）由题意，
解得，此时，满足，
所以实数a的值为1．
（2），不妨设，则
，
因为，所以，，，
从而，即，
所以在R上为减函数，由题意，
所以，解得．即不等式的解集为．
22．已知函数，在区间上有最大值，最小值.
(1)求实数，的值；
(2)存在，使得成立，求实数的取值范围；
(3)若，且，如果对任意都有，试求实数的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）根据二次函数的单调性可得，进而求解即可；
（2）令，由题意转为问题为成立，进而结合对勾函数的单调性求解即可；
（3）由题意转为问题为恒成立，进而结合二次函数的性质求解即可.
【详解】（1）由题意，函数的对称轴为，开口向上，
所以函数在上单调递增，
则，解得，.
（2）由（1）知，，
则存在，使得成立，
即存在，使得成立，
令，即成立，
即成立，则只需满足.
因为函数在上单调递增，
所以当上，，
所以，即，
所以实数的取值范围为.
（3）由题意，，
因为对任意都有，
即恒成立，
当时，显然成立；
当时，转化为恒成立，
由，则，
对于，
所以当，即时，，即；
对于，
所以当，即时，，即.
综上所述，实数的取值范围为.
【点睛】方法点睛：对于不等式恒成立或存在成立问题，常常分离参数，结合函数最值求解.