2023-2024学年甘肃省武威市天祝藏族自治县高一上学期第二次月考（12月）数学试题含答案

这是一份2023-2024学年甘肃省武威市天祝藏族自治县高一上学期第二次月考（12月）数学试题含答案，共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，计算题，问答题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求得集合，再根据交集的定义即可求解.
【详解】，
所以.
故选：B.
2．已知命题，，则命题p的否定为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题易求.
【详解】根据全称量词命题的否定为存在量词命题知：
命题，的否定为：，.
故选：C
3．不等式的解集为（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】C
【分析】因式分解后可求不等式的解集.
【详解】原不等式可化为即，
故不等式的解集为或
故选：C.
4．已知函数，则（ ）
A．B．C．3D．
【答案】D
【分析】令得，代入解析式求解.
【详解】令得，
故，
故选：D
5．已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据对数的运算性质即可结合换底公式求解.
【详解】，
故选:B.
6．“”是“函数在区间上单调递增”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据函数的单调性可得出关于实数的不等式，解出的取值范围，利用集合的包含关系判断可得出结论.
【详解】若函数在区间上单调递增，
则，解得，
因为，
因此，“”是“函数在区间上单调递增”的充分不必要条件，
故选：B.
7．已知函数，则的增区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用复合函数的单调性求函数的增区间.
【详解】函数定义域为，
令，又在上单调递增，的增区间为，
所以的增区间为.
故选：A.
8．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，若，则（ ）
A．1B．3
C．D．
【答案】D
【分析】由偶函数的性质得列式求解．
【详解】因为函数是定义在上的偶函数，
所以，解得．
故选：D
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】AD
【分析】根据不等式的性质即可判断A，举反例即可求解BC，作差法即可判断D.
【详解】因为，所以，所以，故A正确；
当时，，故B错误；
当时，，故C错误；
，又，所以，即，故D正确.
故选:AD.
10．下列每组函数不是同一函数的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】ABC
【分析】利用函数的概念，从函数的三要素分析是否为同一函数，逐一研究每个选项即可.
【详解】对于选项A：的定义域是，的定义域为R，定义域不同，故不是同一函数；
对于选项B：，对应法则不同，故不是同一函数；
对于选项C：由得或，所以的定义域是，
由得，所以的定义域为，定义域不同，故不是同一函数；
对于选项D： 与三要素相同，仅表示自变量的字母不同，是同一函数.
故选：ABC
11．已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的是（ ）
A．B．是奇函数
C．是偶函数D．在上单调递增
【答案】ACD
【分析】根据幂函数经过的点得其表达式，结合幂函数的性质即可根据选项逐一求解.
【详解】因为函数的图象过点，所以，即，所以，故A正确：
，定义域为，关于原点对称，所以，所以是偶函数，故B错误，C正确：
又，所以在上单调递减，又是偶函数，所以在上单调递增，故D正确．
故选：ACD．
12．已知关于的不等式，下列结论正确的是（ ）
A．不等式的解集可以是
B．不等式的解集可以是
C．不等式的解集可以是
D．不等式的解集可以是
【答案】AC
【分析】根据一元二次不等式，讨论参数及对应解集判断各项正误即可.
【详解】当，时满足题意，故A正确；
当时不等式成立，解集必含元素0，不可能为空，故B、D错误；
当，时，解集恰为，满足题意，故C正确；
故选：AC
三、填空题
13．函数的定义域为 .
【答案】
【分析】根据分式函数和根式函数，由求解.
【详解】解：由，
解得，
所以函数的定义域为.
故答案为：
14．函数且过定点 ．
【答案】
【分析】令，求得的值，再代入函数的解析式可求得定点的坐标.
【详解】令，可得，
.
因此，函数的图象过定点.
故答案为：.
15．已知函数是偶函数，且其定义域为，则 .
【答案】
【分析】根据偶函数的图像关于y轴对称的性质，即可求解
【详解】解：因为是偶函数，且其定义域为，
所以，解得，
，所以，解得，
所以，
故答案为：.
16．已知实数，，且，则的最小值为 ．
【答案】/
【分析】根据“1”的代换，结合基本不等式，即可得出答案.
【详解】由已知可得，
，
当且仅当，且，即，时等号成立．
所以，的最小值为.
故答案为：.
四、计算题
17．计算：
(1)
(2).
【答案】(1)8
(2)3
【分析】（1）直接根据指数的运算性质计算即可；
（2）直接根据对数的运算性质及换底公式计算即可.
【详解】（1）原式；
（2）原式.
五、问答题
18．已知集合，命题p：，．
(1)若命题p为真命题，求实数a的取值范围；
(2)若命题p为真命题时，a的取值构成集合B，且，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据命题p的真假性即可写出实数a的范围.
（2）由列出不等关系，求出实数m的取值范围.
【详解】（1）对于命题p，因为命题p为真命题，所以，
故a的取值范围为
（2）由（1）可得，又.
由，
当时，，满足题意；
当时，则，即．
综上所述，m的取值范围为．
六、解答题
19．已知函数的图象关于直线对称且.
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在区间上的值域.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）（1）根据已知条件求得，从而求得的解析式.
（2）结合二次函数的性质求得正确答案.
【详解】（1）依题意，函数的图象关于直线对称且，
所以，解得，
所以.
（2）由于的开口向下，对称轴为，
所以在上的最大值为，
，
故在的值域是.
七、问答题
20．已知函数是幂函数，且．
(1)求实数m的值；
(2)若，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据幂函数定义可求得实数m的所有可能取值，再根据即可得出结果；（2）根据幂函数的解析式可求得其定义域，再利用幂函数的单调性即可求出实数a的取值范围.
【详解】（1）因为是幂函数，所以，
解得或．
当时，，此时，，显然不符合题意：
当时，，此时，，满足，符合题意．
综上，；
（2）因为，所以的定义域为，且在上单调递增，
由，
得，解得，
即实数a的取值范围为
八、证明题
21．已知函数，且．
(1)证明：在区间上单调递减；
(2)若对恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】(1)由条件列方程求，再根据减函数的定义证明在区间上单调递减；
(2)由条件可得，解不等式求的取值范围．
【详解】（1）因为，，所以，解得，所以，
任取实数，且，则，
又，所以，，
所以，即，所以在区间上单调递减；
（2）由（1）知，在上单调递减，所以，
因为对恒成立，所以，
即，化简得，解得，
即实数t的取值范围是．
九、问答题
22．已知函数.
(1)若，求的值域；
(2)若，存在实数，，当的定义域为时，的值域为，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先得到解析式，令结合二次函数的性质求出函数的值域；
（2）首先可得在上单调递增，则问题转化为在上有两个不同的实数解，令，则问题转化为在上有两个不同的实数解，根据一元二次方程根的分布得到不等式组，解得即可.
【详解】（1）若则，令，
令，二次函数开口向上，对称轴为，
所以当时，
所以的值域为；
（2）因为，所以在上单调递增，
所以当的定义域为时，的值域为，
即，
即在上有两个不同的实数解，
即在上有两个不同的实数解，
令，所以在上有两个不同的实数解，
所以，解得，
所以实数的取值范围为.