2023-2024学年河北省保定市第一中学高一上学期12月阶段考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年河北省保定市第一中学高一上学期12月阶段考试数学试题含答案，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】直接根据全称命题的否定是特称命题得到答案.
【详解】命题“”的否定是：.
故选：C
2．设集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】确定，再根据集合的运算法则依次计算得到答案.
【详解】，
对选项A：，错误；
对选项B：，正确；
对选项C：，则，错误；
对选项D：，，错误；
故选：B
3．在半径为的圆上，有一条弧的长是，则该弧所对的圆心角（正角）的弧度数为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】A
【分析】直接利用弧长公式计算得到答案.
【详解】该弧所对的圆心角（正角）的弧度数为.
故选：A
4．已知是定义在上的减函数，且，，，，，则的零点可能为（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】C
【分析】根据函数单调性结合得到答案.
【详解】是定义在上的减函数，且，
所以的零点必在区间内，所以的零点可能为2.
故选：C
5．溶液酸碱度是通过计算计量的.的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.已知某溶液中氢离子的浓度为摩尔/升，取，则该溶液的值为（ ）
A．7.201B．6.799C．7.301D．6.699
【答案】D
【分析】由对数的运算性质运算即可.
【详解】因为溶液中氢离子的浓度为摩尔/升，所以该溶液的值为.
故选：D.
6．已知在上是增函数，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据分段函数单调性得到，解得答案.
【详解】在上是增函数，
则，解得.
故选：D.
7．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用抽象函数的定义域求解即可.
【详解】因为函数的定义域为，即，所以，
所以函数的定义域为，
由，得，所以函数的定义域为.
故选：B.
8．已知函数，设，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】确定在上单调递减，关于直线对称，根据得到，，得到大小关系.
【详解】，的图象关于直线对称.
为减函数且在上单调递增，
所以在上单调递减，在上单调递增，
因为，且，所以.
因为，所以.
综上所述：.
故选：B
二、多选题
9．设为第二象限角，则可能是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角
【答案】CD
【分析】为第二象限角，得到，得到答案.
【详解】为第二象限角，故，
所以，
所以可能是第三象限角，也可能是第四象限角,或轴的负半轴.
故选：CD
10．下列命题为真命题的是（ ）
A．函数是指数函数
B．幂函数是增函数
C．“为偶数”是“为偶数”的充分不必要条件
D．集合与集合相等
【答案】BCD
【分析】对A，结合指数函数的定义即可判断；对B，结合幂函数的定义及单调性即可；对C，结合充分不必要条件判断；对D，结合集合相等判断.
【详解】因为不能化为的形式，所以函数不是指数函数，错误.
若是幂函数，则，得或，
则或，这两个函数在其定义域内都是增函数，正确.
因为偶数与偶数的乘积为偶数，所以若为偶数，则为偶数，反之不成立，正确.
因为（当且仅当时，等号成立），
所以，D正确.
故选：BCD
11．已知是定义在上的函数，函数恰有5个零点，则的大致图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】结合图象的交点、方程解的个数以及函数的零点之间关系进行判断
【详解】令，得或，
设直线与的图象的交点个数为，直线与的图象的交点个数为，
依题意则有，又，
对于选项A，，则，不符合题意；
对于选项B，，则，符合题意；
对于选项C，，则，符合题意；
对于选项D，，则5，符合题意.
故选：BCD
12．某超市在双十二当天推出单次消费满188元有机会获得消费券的活动，消费券共有4个等级，等级与消费券面值（元）的关系式为，其中为常数，且为整数.已知单张消费券的最大面值为68元，等级2的消费券的面值为20元，则（ ）
A．消费券的等级越小，面值越大
B．单张消费券的最小面值为5元
C．消费券的等级越大，面值越大
D．单张消费券的最小面值为10元
【答案】AB
【分析】分，，进行讨论，根据已知条件确定，的值，从而得出结论.
【详解】设，则为增函数，则等级4的消费券的面值为68元，
所以两式相减得，则，令，则，解得，此时不是整数，所以不满足条件.
设，则为常数函数，显然不满足条件.
设，则为减函数，则等级1的消费券的面值为68元，
所以两式相减得，则，令，则，解得或，因为为整数，所以，此时，所以消费券的等级越小，面值越大，且单张消费券的最小面值为元.
故选：AB
三、填空题
13．已知函数且的图象恒过定点，则点的坐标为 .
【答案】
【分析】考虑，可以解决这个问题.
【详解】令，得，则，所以点的坐标为.
故答案为：
14．函数是 （填入“偶”“奇”“非奇非偶”中的一个）函数.
【答案】偶
【分析】确定函数定义域为，计算，得到答案.
【详解】函数的定义域为，，
所以是偶函数.
故答案为：偶
15．请写出一个同时满足下列两个条件的函数： .
①的定义域为；②函数在上是单调递减的对数函数.
【答案】（答案不唯一，形如均可）
【分析】利用对数函数的运算法则与性质即可得解.
【详解】因为函数在上是单调递减的对数函数，
注意到，所以可设，
此时，
因为函数在上单调递减，所以，则，
所以满足这两个条件.
故答案为：（答案不唯一，形如均可）.
16．已知，且，则的最小值是 .
【答案】9
【分析】变换，展开利用均值不等式计算得到答案.
【详解】，所以，
，
当且仅当，即，即时，等号成立.
所以的最小值是9.
故答案为：
四、解答题
17．已知函数.
(1)求的值；
(2)求的定义域.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）直接计算得到答案.
（2）函数定义域满足，解得答案.
【详解】（1），.
（2）函数定义域满足，得且，
故的定义域为.
18．从以下三题中任选两题作答．
(1)已知，求的值；
(2)已知，求的值；
(3)求方程的解集．
【答案】(1)
(2)2
(3)
【分析】（1）利用分数指数幂的运算法则化简求解；
（2）指数式化为对数式，利用对数运算法则计算出答案；
（3）利用对数运算法则得到求出解集.
【详解】（1）因为，
所以．
（2）因为，所以，
所以，
所以．
（3）由，得，
则
解得或20，
所以方程的解集为．
19．已知函数.
(1)求的最小值；
(2)证明：当时，
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）直接利用均值不等式计算得到答案.
（2）计算，确定，得到证明.
【详解】（1），
当且仅当，即，即时，等号成立，
所以的最小值为.
（2）
，
，故，即，，所以，
即.
20．如图，在正方形中，，分别为的中点，为边上更靠近点的三等分点，一个质点从点出发（出发时刻），沿着线段作匀速运动，且速度，记的面积为.
(1)当质点运动后，求的值；
(2)在质点从点运动到点的过程中，求关于运动时间（单位：）的函数表达式.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）确定，在线段上，且，计算面积得到答案.
（2）考虑，，三种情况，计算面积得到答案.
【详解】（1），，所以当质点运动到点时，经过了，
所以当质点运动后，在线段上，且，
所以.
（2）当时，；
当时，；
当时，.
综上所述：
21．设，且是定义在上的奇函数，且不是常数函数.
(1)求的值；
(2)若对恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接由奇函数的性质求出参数，并注意要检验此时的是否满足题意.
（2）首先由复合函数单调性、奇函数性质将不等式等价转换为对恒成立，分离参数以及结合对数函数单调性即可得解.
【详解】（1）因为是奇函数，所以，
即，解得或.
当时，不符合题意；
当时，满足，定义域为，满足题意.
所以.
（2）可化为.
因为是增函数，是减函数，所以是增函数，
所以对恒成立，
即对恒成立.
当时，，
所以，解得，故的取值范围是.
22．已知函数的定义域，且对任意，当时，恒成立，则称为上的函数.
(1)若定义在上的函数为减函数，判断是否为上的函数，并说明理由；
(2)若为上的函数，且，求不等式的解集；
(3)若为上的函数，求的取值范围.
【答案】(1)为上的函数，理由见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据减函数确定，，得到答案.
（2）变换得到，构造新函数，确定函数单调递减，得到，得到，解得答案.
（3）确定在上为减函数，换元，得到，解得答案.
【详解】（1）设任意，且，因为定义在上的函数为减函数，
所以，所以.
因为，且，所以，则，
所以恒成立，故为上的函数.
（2），得，
为上的函数，故在上为减函数.
因为，所以.
因为，所以，即，
所以，解得，
则的解集为.
（3）为上的函数，
所以在上为减函数.
设，则在上为减函数，
则，即，因为为上的增函数，且，所以，
即的取值范围为.