2023-2024学年河南省南阳市六校高一上学期第二次联考（12月）数学试题含答案

这是一份2023-2024学年河南省南阳市六校高一上学期第二次联考（12月）数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】解一元二次不等式求出集合B，再利用补集和交集的定义求解.
【详解】因为，解得或，则，
所以.
故选：B.
2．下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，，则D．若，则
【答案】B
【分析】根据不等式的性质即可判断AB；举例说明即可判断CD.
【详解】A：若，当时，，故A错误；
B：若，则，所以，故B正确；
C：当，，，时，满足，；但，故C错误；
D：当，时，满足，但，故D错误.
故选：B
3．函数的零点一定位于区间（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据零点的存在性定理即可得出答案.
【详解】解：，
又因为函数在区间上都是增函数，
所以在区间上为增函数，所以其零点一定位于区间.
故选：C.
4．若函数为偶函数，则（ ）
A．B．0C．D．1
【答案】B
【分析】利用奇函数、偶函数定义求解未知数a.
【详解】函数的定义域为，令，
因为
，
所以是奇函数，又因为是偶函数，
所以是奇函数，所以，
则，解得.
故选：B.
5．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为
A．1010.1B．10.1C．lg10.1D．
【答案】A
【解析】由题意得到关于的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值.
【详解】两颗星的星等与亮度满足,令,
.
故选A.
【点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及指数对数运算.
6．高一某班有30位同学，他们依次编号为01，02，…，29，30，现利用下面的随机数表选取6位同学组建“文明校园督查组”.选取方法是从随机数表第1行第5列的数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6位同学的编号为（ ）
A．29B．21C．14D．09
【答案】A
【分析】根据随机数表法分析求解.
【详解】从随机数表第1行第5列的数字开始，由左到右依次选取两个数字分别为
27，16，35（舍去），86（舍去），08，93（舍去），21，57（舍去），
95（舍去），62（舍去），09，21（舍去），09（舍去），29.
故最终取得的第6个数字为29.
故选：A.
7．设正实数，，分别满足，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据方程与函数的关系，作出函数图象，可得答案.
【详解】由已知可得，，，
作出，，的大致图象如图所示.
它们与交点的横坐标分别为，，，由图可得.
故选：D.
8．已知定义在上的函数满足，且，时，，记，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意能得到函数关于直线轴对称，且在上单调递增，然后根据离对称轴的远近比较大小.
【详解】由，时，得函数在上单调递减，
由得函数关于直线轴对称，
所以函数在上单调递增.
又因为（最远离），（最靠近），
所以.
故选：A
二、多选题
9．有一组数据，其中是最小值，是最大值，则（ ）
A．，，，，的平均数等于的平均数
B．，，，，的中位数等于的中位数
C．，，，，的标准差不小于的标准差
D．，，，，的极差不大于的极差
【答案】BD
【分析】根据平均数，中位数，标准差，极差的概念逐一判定即可
【详解】令样本数据为1，2，2，2，2，2，9
，，，，的平均数为，的平均数为，所以平均数不一定相等.故选项A错误.
不妨设，则的中位数为，而，，，，的中位数也为.故选项B正确.
设分别为1，2，2，2，2，2，3，则，，，，的标准差为0，的平均数为2，
标准差为，故选项C错误.
.不妨设，则的极差为，，，，，的极差为，且.故选项正确.
故选：BD
10．下列命题正确的是（ ）
A．的最小值是2
B．
C．
D．正实数，满足，则
【答案】CD
【分析】根据基本不等式，逐项分析，可得答案.
【详解】A.显然，所以，
当且仅当，即时取等号，但等号显然无法成立，故选项A错误；
B.当，异号时，，故选项B错误；
C.因为对任意的实数都有，所以，故选项C正确.
D.因为正实数，满足，即，
所以，
当且仅当，即，时取等号.故选项D正确.
故选：CD.
11．下列命题不正确的是（ ）
A．函数在定义域内是减函数
B．函数在区间上单调递增
C．函数的单调递减区间是
D．已知函数是上的增函数，则的取值范围是
【答案】AB
【分析】先求出函数定义域，再举反例可判断选项A；根据复合函数单调性的判断方法可判断选项B、C；根据分段函数单调性的判断方法列出不等式组求解即可判断选项D.
【详解】A：因为，即.
所以函数的定义域为.
因为，但是，
所以函数在定义域内不是减函数.故选项A不成立；
B：因为，解得.
所以函数的定义域为，且，.因为函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，函数单调递增，
所以由复合函数的单调性知函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.故选项B不成立；
C：因为，解得：.
所以函数的定义域为.
因为函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，函数单调递减，
所以由复合函数的单调性知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.故选项C成立.
D：因为函数是上的增函数，
所以各段均为增函数，且在分界点处前段函数的函数值不大于后段函数的函数值，
所以实数应满足，解得.故选项D成立.
故选：AB.
12．已知函数，以下结论正确的是（ ）
A．
B．在上单调递增
C．函数的图象关于直线轴对称
D．若函数在上有8个零点，则所有零点之和为24
【答案】ABD
【分析】首先画出函数的图象，对于A，根据周期性算得，进一步算出验证即可；对于BC，观察函数图象即可判断；对于D，根据图象的对称性计算即可.
【详解】由题意当时，，即是周期为3的周期函数，画出它的函数图象如图所示：
A.因为，，故.故选项A正确.
B.如图，函数在上单调递增，故选项B正确.
C.如图，函数的图象不是轴对称图形，故选项C错误.
D.若函数在上有8个零点，即函数与的图像在上有8个交点，
根据对称性可知其零点之和为，故选项D正确.
故选：ABD.
三、填空题
13．某车间有甲、乙两台机床同时加工直径为的零件，为检验质量，从中各抽取6件，测得甲、乙两组数据的均值为，两组数据的方差分别为，，则估计该车间这批零件的直径的方差 ．
【答案】/
【分析】根据给定条件，求出12件零件直径的平均数，再利用分层抽样的方差公式计算作答.
【详解】依题意，抽取的12件零件直径的平均数，
所以该车间这批零件的直径的方差.
故答案为：
14．学校组织秋季运动会，在一项比赛中，学生甲进行了8组投篮，得分（单位：分）分别为10，8，，8，7，9，6，8，如果学生甲的平均得分为8分，那么这组数据的75%分位数为 .
【答案】
【分析】由平均数求出的值，将这组数据从小到大的顺序排列，由百分位数的定义即可求解.
【详解】由题意可得，解得，将这组数据按从小到大的顺序排列为6，7，8，8，8，8，9，10，因为为整数，所以这组数据的75%分位数为.
故答案为：
15．已知幂函数的图象过点，则函数在区间上的最大值是 .
【答案】
【分析】利用幂函数性质求参数，再利用函数单调性求最值.
【详解】幂函数的图象过点，所以，得，
所以，在区间上单调递增，
所以.
故答案为：-2
16．记函数，其中表示不大于的最大整数，.若方程在区间上有8个不同的实数根，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】在同一直角坐标系内，画出、，的图像，结合图形，由题中条件，即可得出结果.
【详解】在同一平面直角坐标系内作出函数，的图象，如图所示：
则方程在区间上有4个实根，所以在区间上有4个不同实根.当直线经过点时，，经过点时，.若在区间上有4个不同实根，则的取值范围是.
故答案为：
四、解答题
17．（1）已知集合，.求能使成立的实数的取值范围；
（2）已知命题，为假命题，求实数的取值范围
【答案】（1），（2）
【分析】（1）首先求出集合，依题意可得，再分和两种情况讨论，分别求出参数的取值范围；
（2）依题意可得“，使”为真命题，则只需，结合一次函数的性质计算可得.
【详解】（1）由，解得，所以，
因为，所以，
当时，则，解得；
当时，则需满足，解得；
综上，的取值范围是.
（2）因为命题是假命题，
所以“，使”为真命题，
所以，，
所以，即，
所以的取值范围是.
18．为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成两组，每组100只，其中组小鼠给服甲离子溶液，组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：
记为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于”，根据直方图得到的估计值为.
（1）求乙离子残留百分比直方图中的值；
（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.
【答案】(1) ，；(2) ，.
【分析】(1)由及频率和为1可解得和的值；(2)根据公式求平均数.
【详解】(1)由题得，解得，由，解得.
(2)由甲离子的直方图可得，甲离子残留百分比的平均值为，
乙离子残留百分比的平均值为
【点睛】本题考查频率分布直方图和平均数，属于基础题.
19．已知函数f(x)=，.
（1）求函数g(x)的值域；
（2）求满足方程f(x)-=0的x的值.
【答案】（1）(1，4]；（2）x=ln3.
【解析】（1）由指数函数的值域求解函数g(x)的值域；
（2）由f(x)﹣g(x)=0，得ex2=0，对x分类求解得答案.
【详解】（1），因为|x|≥0，，所以，，即10时，，整理得(ex)2-2ex-3=0，(ex+1)(ex-3)=0，
因为ex>0，所以ex=3，即x=ln3.
【点睛】本题考查指数函数的值域，方程的根的问题，属于中档题.
20．已知定义域为的函数是奇函数，当时，.
(1)求函数的解析式；
(2)判断函数的单调性；
(3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)是上的减函数
(3)
【分析】（1）利用奇函数的定义求解析式；
（2）利用复合函数单调性判断即可；
（3）利用奇偶性和单调性解不等式.
【详解】（1）当时，，
∴
又∵是上的奇函数，
∴且
∴当时，
综上：.
（2）∵当时，单调递减，
因为是定义域为的奇函数，由对称性可知，在上单调递减，
∴，有，
又∵当时，单调递减，
∴，有，
∴是上的减函数.
（3）由得，
∵是奇函数，∴，
又∴是上的减函数，∴，
即对任意的恒成立
①当时，恒成立，满足条件
②当时，应满足即
综上：的取值范围是.
21．数据显示，某IT公司2023年2月—6月的月收入情况如下表所示：
根据上述数据，在建立该公司2023年月收入（万元）与月份的函数模型时，给出两个函数模型与供选择.
(1)你认为哪个函数模型较好，并简单说明理由；
(2)试用你认为较好的函数模型，分析大约从第几月份开始，该公司的月收入会超过100万元？（参考数据：，）
【答案】(1)用函数这一模型较好，理由见解析
(2)大约从第9月份开始，该公司的月收入会超过100万元
【分析】（1）由题意，描点并和函数图象比较，可得答案；
（2）解法一：根据题意建立不等式，利用对数运算即可；解法二：指数函数的单调性试根.
【详解】（1）对已知数据进行描点：
由图可知点，，，，基本上是落在函数的图像的附近，
因此用函数这一模型较好
（2）解法一：当时，即，∴，即，
∴，
故大约从第9月份开始，该公司的月收入会超过100万元.
解法二：当时，即，∵，，
故大约从第9月份开始，该公司的月收入会超过100万元
22．定义在非零实数集上的函数对任意非零实数，都满足.
（1）求的值；
（2）求的解析式；
（3）设函数，求在区间上的最大值.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】（1）分别令，和，，可得出关于和的方程组，即可解出的值；
（2）令，则，再用替换可得出，利用加减消元法可解出，即可得出函数的解析式；
（3）由题意得出，然后分和，分析二次函数在区间上的单调性，即可得出函数在区间上的最大值的表达式.
【详解】（1）令，，得；
令，，得.
由，解得；
（2）令，则，所以，
由以上两式，解得，
即，所以；
（3）.
当，即时，此时，函数在区间上单调递增，
；
当，即时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，则.
综上，.
【点睛】本题考查函数值的求解、利用方程组法求函数解析式，同时也考查了二次函数在区间上的最值的求解，考查分类讨论思想的应用，考查计算能力，属于中等题.
月份
2
3
4
5
6
月收入（万元）
1.4
2.56
5.31
11
21.3