2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市第六中学高一上学期12月测试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市第六中学高一上学期12月测试数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，单空题，计算题，解答题，问答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再根据交集的定义计算可得.
【详解】由，即，解得或，
所以或，又，
所以.
故选：B
2．“方程有两个不等实数根”的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C． D．
【答案】C
【分析】先求出的范围，再根据充分不必要条件的概念得答案即可.
【详解】由方程有两个不等实数根可得，
解得，
观察选项可得“方程有两个不等实数根”的一个充分不必要条件是，
故选：C.
3．函数的图像大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先判断出函数的奇偶性，再判断出函数为下凸函数，得到答案.
【详解】的定义域为R，且，
故为偶函数，排除AB，
因为，故函数在上增长速度越来越快，为下凸函数，C正确，D错误.
故选：C
4．若角的终边上有一点，则a的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用任意角的三角函数的定义结合诱导公式求解.
【详解】因为角的终边上有一点，所以，
又，所以，所以.
故选：A
5．已知，则a的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先由诱导公式化简，再由余弦两角和差公式即可求得.
【详解】
故选：A
6．已知角终边过点，且，则实数（ ）
A．2B．C．3D．
【答案】C
【分析】根据三角函数的定义求出，再根据同角三角函数的基本关系将弦化切，代入计算可得.
【详解】因为角的终边过点，所以，
所以，解得.
故选：C
7．已知，，，，则有（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据是偶函数且在上单调递减，利用奇偶性、单调性可得答案.
【详解】根据题意，的定义域为，关于原点对称，
且，所以是偶函数，
当时，单调递减，，
因为，，
所以，而在上单调递减，
故有，即.
故选：A.
8．已知是定义在R上的单调函数，关于对称，若实数m，n满足等式，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先判断函数为奇函数，然后根据单调性及条件得，从而，利用二次函数性质求解即可.
【详解】因为关于对称，所以关于对称，即为奇函数，
因为，所以，
因为奇函数是定义在上的单调函数，所以，
所以，即，所以，
因为，所以，所以，所以，
即的取值范围是.
故选：C
二、多选题
9．下列各式中值为的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】根据诱导公式和特殊角的函数值求解判断AD，利用二倍角公式化简计算判断BD.
【详解】对于A，，错误；
对于B，，正确；
对于C，，正确；
对于D，，正确；
故选：BCD
10．已知，且，则下列不等式一定成立的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】利用求解a的范围判断A，利用基本不等式及其变形求解最值判断BCD.
【详解】对于A：因为，，且，所以，所以，正确；
对于B：因为，，且，所以由基本不等式可得，则，当且仅当时，等号成立，正确；
对于C：，当且仅当时，等号成立，错误；
对于D：，
当且仅当即时，等号成立，正确.
故选：ABD.
11．已知下列等式的左右两边都有意义，则能够恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】利用诱导公式分析运算即可判断ABC，根据平方关系和商数关系分析计算即可判断D.
【详解】对于A，，正确；
对于B，
，正确；
对于C，，错误；
对于D，
，正确.
故选：ABD.
12．已知函数，则关于方程根的个数判断正确的是（ ）
A．当时，方程有2个根B．当时，方程有5个根
C．若方程有3个根，则D．若方程有4个根，则且
【答案】ABD
【分析】解方程得到或，画出的图像，根据图像逐一判断即可.
【详解】由得
解得或，
作出的图像如下：
对于A：当时，，根据图像得可产生2个根，无根，A正确；
对于B：当时，根据图像得可产生2个根，可产生3个根，共5个根，B正确；
对于C：根据图像得可产生2个根，若方程有3个根，则可产生1个根，故或，即或，C错误；
对于D：若方程有4个根，则可产生2个根，故且，即且，D正确；
故选：ABD.
三、单空题
13．函数 的定义域为 .
【答案】
【分析】解不等式组可得函数的定义域.
【详解】由题设有，故，
故函数的定义域为.
【点睛】函数的定义域一般从以下几个方面考虑：
（1）分式的分母不为零；
（2）偶次根号（，为偶数）中，；
（3）零的零次方没有意义；
（4）对数的真数大于零，底数大于零且不为1.
14．已知扇形的半径为3，圆心角的弧度数是2，则扇形的面积与周长的比值为 .
【答案】/
【分析】根据扇形弧长及面积公式计算即可.
【详解】因为扇形的半径为3，圆心角的弧度数是2，所以扇形的面积为，
又扇形的弧长为，所以扇形的周长为，
所以扇形的面积与周长的比值为.
故答案为：
15．函数在区间上的值域为 .
【答案】
【分析】根据分段函数、指数函数性质求指数复合函数的值域.
【详解】函数由和复合而成，
当时，，所以，所以，
即函数在区间上的值域为.
故答案为：
16．定义在R上的函数满足（1）在上单调递减；（2）（3）.则不等式的解集为 .
【答案】
【分析】利用函数的性质作出示意图，换元后数形结合即可求解.
【详解】因为，所以函数关于对称，
又在上单调递减，且，作出函数的示意图如图：.
令，则不等式等价于，
则或，即或，解得，
即，所以，
即不等式的解集为.
故答案为：.
四、计算题
17．（1）已知，求的值；
（2）计算的值.
【答案】（1）（2）
【分析】（1）利用对数运算、换底公式计算即可；
（2）利用指数及对数运算法则、诱导公式和特殊角的三角函数值化简求值即可.
【详解】（1）因为，所以，
所以；
（2）
.
18．已知且为第三象限角.
(1)求；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据题意解方程求出，然后代入二倍角正切公式计算即可；
（2）结合诱导公式，利用常数代换化弦为切代入计算即可.
【详解】（1）由得，
又为第三象限角，所以，所以（舍），
所以.
（2）
.
五、解答题
19．已知，，，．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先根据确定的取值范围，再由同角三角函数的平方关系及诱导公式即可求得的值；
（2）由题意求得，再利用凑角即可求得的值.
【详解】（1）∵，∴，
又，，
∴，
∴
.
（2）∵，，
∴，，，
∴，
∴
.
六、问答题
20．已知关于x的方程的两个根为和，
(1)求的值；
(2)求m的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）结合韦达定理化弦为切化简求值即可；
（2）结合韦达定理，根据列式计算即可，注意检验满足有根的条件.
【详解】（1）因为，是方程的两个实根，
所以，，
所以
.
（2）因为，，
所以，所以，
因为，所以，所以符合，
所以.
七、解答题
21．设函数（且）是定义域为R的奇函数，．
(1)求实数k的值并直接写出函数的单调性；
(2)在（1）的条件下，使得不等式有解，求实数t的取值范围．
【答案】(1)，在定义域上为增函数
(2)
【分析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得，即可得到，再由条件可得，即可判断函数的单调性；
（2）根据题意，由函数的单调性以及奇偶性化简，转化为有解，结合换元法，转化为二次函数的最值问题，即可得到结果.
【详解】（1）∵为奇函数，∴
当时，
由为奇函数，可得即，
且在上递增，在上递增，
∴在定义域上为增函数
（2）由题意可知有解
∵为增函数，∴有解有解
∵∴令∴有解
令，∴
∵在上递增，∴∴
八、问答题
22．已知函数过原点且.
(1)求k值并证明为偶函数；
(2)若方程有且只有一个解，求实数a的取值范围.
【答案】(1)，证明见解析
(2)或
【分析】（1）利用建立方程求解即可，利用偶函数定义证明即可；
（2）令，把问题转化为方程仅有一个正根，对a进行分类讨论求解即可.
【详解】（1）由题意可知，所以，解得，
则，
证明如下：函数的定义域为R关于原点对称，
，
所以，所以为偶函数.
（2），
所以，令，所以方程仅有一个正根，
当时，与题意不符，
当时，，两根之积为，
即方程恒有一个正根一个负根符合题意，
当时，，
若，则或，
当时，两根之和为，两根之积为，则方程有两个负根与题意不符，
当时，两根之和为，两根之积为，则方程有两个正根与题意不符，
若，则或，当时，方程化简为，仅有一个根-2与题意不符，
当时，方程化简为，仅有一个根满足题意，
综上或.